1、镇江市2020-2021学年高一下学期期中考试数学2021.04注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3. 考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知向量，且，那么实数的值是（ ）A. B. C. -2D. 22. 若，则实数（ ）A. 2B. 3C. 4D. 53. 已知，则的值
2、为（ ）A. -2B. C. 2D. 4. 已知向量，满足，则向量与的夹角为（ ）A. B. C. D. 5. 在中，角，所对的边分别为，则（ ）A. 2B. C. D. 6. 在中，点在线段上，且，若，则（ ）A. B. C. D. 7. 今年是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年.“红星闪闪放光彩”，正五角星是一个非常优美的的几何图形，庄严美丽的国旗和国徽上的大五角星是中国共产党的象征，如图为一个正五角星图形，由一个正五边形的五条对角线连结而成，已知，为的两个黄金分割点，即.则（ ）A. B. C. D. 8. 表示一个整数，该整数使得等式成立，这个整数为（ ）A. -1B. 1C.
3、 2D. 3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ）A. 在复平面内，对应的点在第四象限B. C. 复数和满足方程D. 10. 已知向量，是三个非零向量，则下列结论正确的有（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则11. 在中，角，的对边分别为，且，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. 如果为锐角，为虚数单位，则D. 12. 在中，内角，的对边分别为，已知，为边的中点，则下列结论正确的是（ ）A. B. 若的周长为C. 的长为D. 若是中
4、点，三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置上.13. 已知向量，是两个不共线的向量，且，若，三点共线，则实数_.14. 已知复数对应的点在复平面第三象限内，甲、乙、丙三人对复数的陈述如下（为虚数单位）：甲：；乙：；丙：；丁：.在甲、乙、丙、丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数_.15. 已知正六边形的边长为1，当点满足_时，.（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）16. 窗，古时亦称为牅，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件.如图，是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓是边长
5、为的正方形，它是由四个全等的直角三角形和一个边长为的小正方形拼接而成，则_；的值为_.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知，为锐角，.（1）求的值；（2）求的值.18. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.（为虚数单位），的面积为，在中，内角，的对边分别为，若，_.（1）求；（2）在（1）的结论下，若点为线段的一点且，求长.19. 若是边长为2的正三角形.请在内画一条线段，端点，都在的边上，并将正分成面积相等的两部分.（1）请给出线段的一种画法，并证明；（2）如果此时线段是所有画法中最短的，求此时该线段的长度；（3）请提出
6、一个类似（2）的问题（不需要解决你提出的问题）.20. 如图，正三角形的边长为6，分别是边，上的点，且，其中，为的中点.（1）若，求；（2）设为线段的中点，若，求的最小值.21. 已知，函数.（1）求函数的奇偶性；（2）是否存在常数，使得对任意实数，恒成立；如果存在，求出所有这样的；如果不存在，请说明理由.22. 如图，某湖有一半径为1百米的半圆形岸边，现决定在圆心处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距2百米的点处安装一套监测设备.为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点以及湖中的点处，再分别安装一套监测设备，且满足，设.（1）当，求四边形的面积；（2）当为何值时，线段最长并求出
7、此时的最大值.高一数学考试答案及评分标准一、单项选择题1-5：DCCBC6-8：AAB二、多项选择题9. ABC 10. BD 11. ABC 12. BCD三、填空题13. 1 14. 15. 为直线上任一点均可 16. ；0四、解答题：17. 解：（1）因为，为锐角，则，则，而.（2）由，得：，则.18. 解：（1）方案一：选择条件由，解得，则，则.方案二：选择条件，又，由，解得，则.方案三：选择条件，；，由，解得，则.（2）在中，由余弦定理得：，因为，则.在中，由余弦定理得：，则.19. 解：（1）当与重合，是中点时，线段将正分成面积相等的两部分.证明：易证，所以和的面积相等，此时线段将
8、正分成面积相等的两部分.（此题答案不唯一，其它合理表述和解法类似给分）（2）线段的两端点都在的边上，不妨设点在线段上，点在线段上.设，由（1）知，由得.在中，由余弦定理得：，（当且仅当“”时取等号），故，综上，当点在线段上，点在线段上，且时，线段将正分成面积相等的两部分.（此题答案不唯一，其它合理表述和解法类似给分）（3）如：在正内画一条线段，端点，都在的边上，并将分成面积相等的两部分，求此时三角形的周长的最小值；在正内画一条线段，端点，都在的边上，并将分成的一个三角形和一个四边形，若它们的周长相等，求此时三角形的面积的最大值.（此题答案不唯一，其它合理表述和解法类似给分）20. 解：【法一（
9、基底法）】（1）当时，.（2），则，则.当时，的最小值为.【法二（坐标法）】以所在直线为轴，其中垂线为轴建立平面直角坐标系，则，（1）由，得，则，.（2），为线段的中点，则，则，当时，的最小值为.21. 解：（法一）（1）定义域是，函数是偶函数.（2），移项得：，展开得：，对于任意实数上式恒成立，只有.，.（法二）.（1）定义域是，该函数在定义域内是偶函数.（2）由恒成立得：，化简可得：对于任意实数上式恒成立，则，.22. 解：（1）在中，由余弦定理得：，于是四边形的面积为.（2）当时在中，由余弦定理得，在中，由正弦定理得，即，又，所以为锐角，在中，由余弦定理得：.则当时，的最大值为3.当时，由余弦定理得：，此时，当时，此时，综上，当时，的最大值为3.