1、第2课时 等比数列的性质及应用必备知识自主学习1.推广的等比数列的通项公式an是等比数列，首项为a1，公比为q，则ana1qn1，anamqnm(m，nN*).2“子数列”性质对于无穷等比数列an，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为ak，公比为qk.导思 1.等比数列的项有哪些性质？2怎样应用等比数列的性质简化运算？如何推导 anamqnm?提示：由anam a1qn1a1qm1 qnm，所以 anamqnm.3.等比数列项的运算性质在等比数列an中，若 mnpq(m，n，p，qN*)，则 amanapaq.特
2、别地，当 mn2k(m，n，kN*)时，amana2k.对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即 a1ana2an1akank1.4两等比数列合成数列的性质若数列an，bn均为等比数列，c 为不等于 0 的常数，则数列can，a2n，anbn，anbn也为等比数列 等比数列an的前 4 项为 1，2，4，8，man(m 是非零常数)能成为等比数列吗？提示：不能，取前三项检验即可，若成等比数列，则2m21m4m，解得 m0，显然不合题意1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积()(2)当 q1 时，an为
3、递增数列()(3)当 q1 时，an为常数列()(4)若an，bn都是等比数列，则anbn是等比数列()提示：(1)根据等比数列的定义可以判定该说法正确(2)当 q1，a10 时，an才为递增数列(3)当 q1 时，数列中的每一项都相等，所以为常数列(4)如 an1，bn1，显然 anbn0，所以anbn不是等比数列2由公比为 q 的等比数列 a1，a2，依次相邻两项的乘积组成的数列 a1a2，a2a3，a3a4，是()A.等差数列B.以 q 为公比的等比数列C.以 q2 为公比的等比数列D.以 2q 为公比的等比数列【解析】选 C.因为an1an2anan1an2anq2 为常数，所以该数列
4、为以 q2 为公比的等比数列3已知等比数列an中，a47，a621，则 a8 的值为()A.35 B63 C21 3D21 3【解析】选 B.因为an成等比数列所以 a4，a6，a8 成等比数列，所以 a26 a4a8，即 a8212763.4在等比数列an中，各项都是正数，a6a10a3a541，a4a84，则 a4a8_【解析】因为 a6a10a28，a3a5a24，所以 a24 a28 41，又 a4a84，所以(a4a8)2a24 a28 2a4a841849，因为数列各项都是正数，所以 a4a87.答案：7关键能力合作学习类型一 由等比数列衍生的新数列(数学运算)【典例】已知各项均为
5、正数的等比数列an中，a1a2a35，a7a8a910，则 a4a5a6 等于()A4 2B6 C7 D5 2【思路导引】等比数列连续三项的积仍是等比数列【解析】选 D.因为an为等比数列，所以 a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9 也成等比数列，所以(a4a5a6)2(a1a2a3)(a7a8a9)50，又an各项均为正数，所以 a4a5a65 2.整体代换的作用从等比数列截取几段，每一片段的积仍能构成等比数列，借助新数列与原数列的关系，整体代换可以减少运算量 【补偿训练】1.等比数列an中，若 a124，a188，则 a36 为()A32 B64 C128 D256【解析】选 B.由等
6、比数列的性质可知，a12，a18，a24，a30，a36 成等比数列，且a18a12 2，故 a3642464.2在 1 与 2 之间插入 6 个正数，使这 8 个数成等比数列，则插入的 6 个数的积为_【解析】设这 8 个数组成的等比数列为an，则 a11，a82.插入的 6 个数的积为 a2a3a4a5a6a7(a2a7)(a3a6)(a4a5)(a1a8)3238.答案：8类型二 等比数列性质的应用(数学运算)【典例】已知an为等比数列(1)等比数列an满足 a2a412，求 a1a23 a5；(2)若 an0，a2a42a3a5a4a625，求 a3a5；(3)若 an0，a5a69，
7、求 log3a1log3a2log3a10 的值 等比数列性质的作用有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量 a1 和 q 的方程组，先解出 a1 和 q，然后利用通项公式求解但有时运算稍繁，而利用等比数列的性质解题，却简便快捷，为了发现性质，要充分发挥项的“下标”的指导作用抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质1设各项均为正数的等比数列an满足 a4a83a7，则 log3(a1a2a9)等于()A38B39C9 D7【解析】选 C.因为 a4a8a5a73a7 且 a70，所以 a53，所以 log3(a1a2a9)log3a95log3399.2已知an为等比数列
8、，a4a72，a5a68，则 a1a10()A.7 B5 C5 D7【解析】选 D.因为数列an为等比数列，所以 a5a6a4a78，联立4747aa2,a a8,解得47a4,a2 或47a2,a4,所以 q312 或 q32，故 a1a10a4q3 a7q37.3(1)已知数列an为等比数列，a33，a1127，求 a7；(2)已知an为等比数列，a2a836，a3a715，求公比 q.【解析】(1)方法一：21101a q3,a q27相除得 q89.所以 q43，所以 a7a3q49.方法二：因为 a27 a3a1181，所以 a79，又 a7a3q43q40，所以 a79.(2)因为
9、 a2a836a3a7，而 a3a715，所以 a33，a712 或 a312，a73.所以 q4a7a3 4 或14，所以 q 2 或 q 22.类型三 等比数列的实际应用(数学运算、数学建模)【典例】某工厂 2020 年 1 月的生产总值为 a 万元，计划从 2020 年 2 月起，每月生产总值比上一个月增长 m%，那么到 2021 年 8 月底该厂的生产总值为多少万元？【思路导引】每月生产总值比上一个月增长 m%，说明各月产值构成等比数列【解析】设从 2020 年 1 月开始，第 n 个月该厂的生产总值是 an 万元，则 an1ananm%，所以an1an1m%.所以数列an是首项 a1
10、a，公比 q1m%的等比数列所以 ana(1m%)n1.所以 2021 年 8 月底该厂的生产总值为 a20a(1m%)201a(1m%)19(万元).等比数列实际应用 数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式解；通过归纳得到结论，再用数列知识求解1在流行病学中，基本传染数 R0 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数初始感染者传染 R0 个人，为第一轮传染，这R0 个人中每人再传染 R0 个人，为第二轮传染，.R0 一般由疾病的感染周期
11、、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定假设新冠肺炎的基本传染数 R03.8，平均感染周期为 7 天，设某一轮新增加的感染人数为 M，则当 M1 000时需要的天数至少为(参考数据：lg 381.58)()A34 B35 C36 D37【解析】选 D.设第 n 轮感染人数为 an，则数列 an为等比数列，其中 a13.8，公比为 R03.8，所以 an3.8n1 000，解得 nlog3.81 0003lg 3.8 3lg 381 30.58 5.17，而每轮感染周期为 7 天，所以需要的天数为 5.17736.19，即需要的天数至少为 37 天2(2021兰州高二检测)一个蜂
12、巢有 1 只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了 5 个伙伴；第二天，6 只蜜蜂飞出去，各自找回了 5 个伙伴如果这个找伙伴的过程继续下去，第六天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中蜜蜂的只数为()A.55 989 B46 656C.216 D36【解析】选 B.设第 n 天蜂巢中的蜜蜂数量为 an，根据题意得数列 an成等比数列，它的首项为 6，公比 q6，所以 an的通项公式：an66n16n，到第 6 天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有 a66646 656 只蜜蜂课堂检测素养达标1若数列an是等比数列，则下列式子一定成立的是()Aa2a5a1a6Ba1a9a10Ca1a9a3a7 Da1a2a7a4a
13、6【解析】选 C.根据等比数列的性质，知 a1a9a3a7.2已知各项均为正数的等比数列an中，lg(a3a8a13)6，则 a1a15 的值为()A100 B100 C10 000 D10 000【解析】选 C.因为 a3a8a13a38，所以 lg(a3a8a13)lg a38 3lg a86.所以 a8100.又 a1a15a28 10 000.3(2021北京高二检测)已知等比数列an满足 a11，a48，则 a7 等于()A32 B32 C64 D64【解析】选 D.根据题意，设等比数列an的公比为 q，若 a11，a48，则有 q3a4a1 8，解得 q2，故 a7a1q664.4在等比数列an中，已知 a7a125，则 a8a9a10a11 的值为_【解析】因为 a7a12a8a11a9a105，所以 a8a9a10a1125.答案：255在等比数列an中，已知 a32，a158，则 a9 等于_【解析】因为 a9 是 a3 和 a15 的等比中项，所以 a9 a3a15 4，注意到在等比数列中奇数项的符号相同，偶数项的符号也相同，所以 a9 a3a15 4.答案：4