1、4.3 等 比 数 列4.3.1 等比数列的概念第1课时 等比数列的概念必备知识自主学习1.等比数列 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的_的比都等于_常 数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用 字母q表示(显然q0).导思1.什么是等比数列？什么是等比中项？2等比数列的通项公式是什么？3等比数列与指数函数有什么关系？前一项 同一个(1)定义中为什么“从第 2 项起”，从第 1 项起可以吗？提示：因为数列的第 1 项没有前一项，因此必须“从第 2 项起”(2)怎样利用递推公式表示等比数列？提示：anan1q(n2)或an1anq(q0).2等比中项在 a
2、与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b 成_，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项等比数列 G 是 a 与 b 的等比中项，a 与 b 的符号有什么特点？a，G，b 满足的关系式是什么？提示：a 与 b 同号，满足的关系式是 G2ab.3等比数列的通项公式首项为 a1，公比是 q(q0)的等比数列的通项公式为_ana1qn1 等比数列的通项公式 ana1qn1 与指数函数 f(x)ax(a0，a1)有什么联系？提示：ana1qn1a1q qn，当 q0 且 q1 时，等比数列an的第 n 项 an 是指数型函数f(x)a1q qx(xR)在 xn 时的值，即 anf(n).数列an图象上
3、的点(n，an)都在指数函数 f(x)的图象上反之指数函数 f(x)axaax1(a0，a1)可以构成一个首项为 a，公比为 a 的等比数列aan11辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列()(2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零()(3)常数列一定为等比数列()(4)任何两个数都有等比中项()提示：(1)根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列(2)当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零(3)当常数列不为零时，该数列才是等比数列(4)当两数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项2(多
4、选题)下列数列为等比数列的有()A.2，22，322B.1a，1a2，1a3，1a4，1a5(a0)C.s1，(s1)2，(s1)3，(s1)4，(s1)5D.1，1，1，1，1【解析】选 BD.222 32222，所以 A 不是等比数列；B 是首项为1a，公比为1a 的等比数列；C 中，当 s1 时，数列为 0，0，0，0，0，所以不是等比数列；D 显然是等比数列3等比数列an中，a22，a514，则公比 q()A18B14C12D12【解析】选 C.由a2a1 a3a2 a4a3 a5a4 q 得 a2a1q2，a5a4qa3q2a2q3a1q414，所以得 q318，所以 q12.4等比
5、数列 x，3x3，6x6，的第 4 项是_【解析】由题意知(3x3)2x(6x6)，即 x24x30，解得 x3 或 x1(舍去)，所以等比数列的前 3 项是3，6，12，则第 4 项为24.答案：24关键能力合作学习类型一 等比数列的通项公式及应用(数学运算)1在等比数列an中，a112，q12，an 132，则项数 n 为()A3 B4 C5 D6【解析】选 C.因为 ana1qn1，所以12 12n1 132，即12n125，解得 n5.2已知等比数列an为递增数列，且 a25 a10，2(anan2)5an1，则数列an的通项公式 an_【解析】由 2(anan2)5an12q25q2
6、0q2 或12，由 a25 a10a1q90a10，又数列an递增，所以 q2.a25 a10(a1q4)2a1q9a1q2，所以数列an的通项公式为 an2n.答案：2n3在等比数列an中(1)已知 a13，q2，求 a6；(2)已知 a320，a6160，求 an.【解析】(1)由等比数列的通项公式得 a63(2)6196.(2)设等比数列的公比为 q，则a1q220，a1q5160，解得q2，a15.所以 ana1qn152n1.等比数列通项公式的求法1根据已知条件，建立关于 a1，q 的方程组，求出 a1，q 后再求 an，这是常规方法；2充分利用各项之间的关系，直接求出 q 后，再求
7、 a1，最后求 an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算 【补偿训练】1若等比数列的首项为 4，末项为 128，公比为 2，则这个数列的项数为()A4 B8 C6 D32【解析】选 C.由等比数列的通项公式，有 12842n1，2n132，所以 n6.2若an为等比数列，且 3a4a62a5，则公比是_【解析】设公比为 q(q0)，则 3a1q3a1q52a1q4，因为 a1q30，所以 q22q30，解得 q1 或 q3.答案：1 或 33在等比数列an中，(1)若它的前三项分别为 5，15，45，求 a5；(2)若 a42，a78，求 an.【解析】(1)因为 a5a1q4，而 a15，
8、qa2a1 3，所以 a5405.(2)因为a4a1q3，a7a1q6，所以a1q32，a1q68，由 得 q34，从而 q3 4，而 a1q32，于是 a12q3 12，所以 ana1qn12n 532类型二 等比中项的应用(数学运算、逻辑推理)【典例】已知 b 是 a，c 的等比中项，求证：abbc 是 a2b2 与 b2c2 的等比中项四步 内容理解题意条件：b是a，c的等比中项结论：abbc是a2b2与b2c2的等比中项思路探求 证明(abbc)2(a2b2)(b2c2)即可四步 内容书写表达证明：b是a，c的等比中项，则b2ac，且a，b，c均不为零，又(a2b2)(b2c2)a2b
9、2a2c2b4b2c2a2b22a2c2b2c2，(abbc)2a2b22ab2cb2c2a2b22a2c2b2c2，所以(abbc)2(a2b2)(b2c2)，即abbc是a2b2与b2c2的等比中项题后反思 a，G，b成等比数列等价于G2ab(ab0)等比中项应用需注意的问题1由等比中项的定义可知Ga bG G2abG ab，所以只有 a，b 同号时，a，b 的等比中项有两个，异号时，没有等比中项；2在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项1如果1，a，b，c，9 成等比数列，那么()Ab3，ac9 Bb3，ac9C.b3，ac9 Db3，
10、ac9【解析】选 B.因为 b2(1)(9)9，且 b 与首项1 同号，所以 b3，且 a，c 必同号所以 acb29.2.2 1 与 2 1 的等比中项是_【解析】设 x 为 2 1 与 2 1 的等比中项，则 x2(2 1)(2 1)1，所以 x1.答案：1类型三 等比数列的判定与证明(数学运算、逻辑推理)角度 1 已知递推公式证明等比数列【典例】已知数列an满足 a11，an12an1.(1)证明：数列an1是等比数列；(2)求数列an的通项公式【思路导引】(1)确定相邻两项的差为常数；(2)先求(1)中等比数列的通项公式【解析】(1)因为 an12an1，所以 an112(an1).由
11、 a11，知 a110，从而 an10.所以an11an12(nN*).所以数列an1是等比数列(2)由(1)知an1是以 a112 为首项，2 为公比的等比数列所以 an122n12n.即 an2n1.角度 2 已知前 n 项和判断是否为等比数列【典例】已知数列的前 n 项和为 Sn2na，试判断an是否是等比数列【思路导引】如何由前 n 项和公式得通项公式？a1 是否适合 anSnSn1(n2)？需要检验吗？【解析】anSnSn12na2n1a2n1(n2).当 n2 时，an1an 2n2n1 2；当 n1 时，an1ana2a1 22a.故当 a1 时，数列an成等比数列，其首项为 1
12、，公比为 2；当 a1 时，数列an不是等比数列 将例题中的条件“Sn2na”变为“Sn2an”求证数列an是等比数列【证明】因为 Sn2an，所以 Sn12an1，所以 an1Sn1Sn(2an1)(2an)anan1，所以 an112 an.又因为 S12a1，所以 a110.又由 an112 an 知 an0，所以an1an12，所以an是等比数列 判断一个数列an是等比数列的方法(1)定义法：若数列an满足an1anq(q 为常数且不为零)或 anan1q(n2，q 为常数且不为零)，则数列an是等比数列；(2)等比中项法：对于数列an，若 a2n1 anan2 且 an0，则数列an
13、是等比数列；(3)通项公式法：若数列an的通项公式为 ana1qn1(a10，q0)，则数列an是等比数列证明只能使用前两个方法，判断可以使用上述三个方法1数列an满足 a11，且 an3an12n3(n2，3，).(1)求 a2，a3，并证明数列ann是等比数列；(2)求数列an的通项公式【解析】(1)a23a12234，a33a223315.an1（n1）ann3an2（n1）3（n1）ann3an3nann3(n1，2，3，).又 a112，所以数列ann是以2 为首项，3 为公比的等比数列(2)由(1)知 ann23n1，所以 ann23n1.2已知数列an的前 n 项和 Sn2an1
14、，求证：an是等比数列，并求出通项公式【解析】因为 Sn2an1，所以 Sn12an11.所以 an1Sn1Sn(2an11)(2an1)2an12an.所以 an12an.又因为 S12a11a1，所以 a110，又由 an12an 知 an0，所以an1an2，所以an是首项为1，公比为 2 的等比数列所以 an12n12n1.备选类型 三个数或四个数成等比数列的设法(数学运算)【典例】设四个实数依次成等比数列，其积为 210，中间两项的和是 4，则这四个数分别为多少？【思路导引】利用等比数列的特征设出四个数，使它们相乘时式子简便【解析】设这四个数依次为aq，a，aq，aq2(q0)，根据
15、题意得a4q2210，aaq4，解得 q2 或12，当 q2 时，a4，所求四个数依次为 2，4，8，16.当 q12 时，a8，所求四个数依次为16，8，4，2，综上，这四个数依次为 2，4，8，16 或16，8，4，2.三个数或四个数成等比数列的设法解决这类题目通常用方程的思想，列方程首先应引入未知数，三个数或四个数成等比数列的设元技巧：若三个数成等比数列，可设三个数为aq，a，aq 或 a，aq，aq2(q0).若四个数成等比数列，可设为aq，a，aq，aq2 或 aq3，aq，aq，aq3(q0).1已知三个数成等比数列，其积为 512，如果第一个数与第三个数各减去 2，则此时的三个数
16、成等差数列，则原来的三个数的和等于_【解析】依题意设原来的三个数依次为aq，a，aq.因为aq aaq512，所以 a8.又因为第一个数与第三个数各减去 2 后的三个数成等差数列，所以aq2(aq2)2a，所以 2q25q20，所以 q2 或 q12，所以原来的三个数为 4，8，16 或 16，8，4.因为 4816168428，所以原来的三个数的和等于 28.答案：282在四个正数中，前三个数成等差数列，和为 48，后三个数成等比数列，积为 8 000，求这四个数【解析】设前三个数分别为 ad，a，ad，则有(ad)a(ad)48，即 a16.设后三个数分别为bq，b，bq，则有bq bbq
17、b38 000，即 b20，所以这四个数分别为 m，16，20，n，所以 m2162012，n20216 25.即所求的四个数分别为 12，16，20，25.课堂检测素养达标1下列各组数成等比数列的是()1，2，4，8；2，2，2 2，4；x，x2，x3，x4；a1，a2，a3，a4.ABCD【解析】选 D.由等比数列的定义，知是等比数列中当 x0 时，不是等比数列2等比数列 4，6，9，的公比为()A23 B32C2 D3【解析】选 B.由等比数列的定义知，q64 32.3(2021浙江高考)已知 a，bR，ab0，函数 f(x)ax2b(xR).若 f(st)，f(s)，f(st)成等比数
18、列，则平面上点(s，t)的轨迹是()A直线和圆B直线和椭圆C直线和双曲线D直线和抛物线【解析】选 C.因为 f(st)，f(s)，f(st)成等比数列，所以 f(st)f(st)f(s)2，即a(st)2ba(st)2b(as2b)2，整理得 t2(at22b2as2)0，所以 t0 或.at22b2as20.当 t0 时，平面上点(s，t)的轨迹为直线；当 at22b2as20 时，即s2ba t22ba1，平面上点(s，t)的轨迹为双曲线综上所述，平面上点(s，t)的轨迹为直线和双曲线4在数列 an中，a11，an13an，则 a4 等于()A9 B10 C27 D81【解析】选 C.由题意，在数列 an中，a11，an13an，即 a11，an1an3，可得数列 an表示首项 a11，公比 q3 的等比数列，所以 a4a1q313327.