1、专题滚动练(五)一、选择题1(2015吉林实验中学模拟)设a，b，c分别是ABC中A，B，C所对边的边长，则直线sin Axayc0与bxsin Bysin C0的位置关系是()A平行B重合C垂直D相交但不垂直2(2015潍坊模拟)若过点P(2，2)的直线与圆x2y24有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是()A. B C. D3(2015西北工业大学附中模拟)圆x2y22x4y10关于直线2axby20(a，bR)对称，则ab的取值范围是()A.BC.D4(2015广东高考)平行于直线2xy10且与圆x2y25相切的直线的方程是()A2xy50或2xy50B2xy0或2xy0C2xy50或2
2、xy50D2xy0或2xy05(2015天津高考)已知双曲线1(a0，b0)的一个焦点为F(2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x2)2y23相切，则双曲线的方程为()A.1B1C.y21Dx216(2015宝鸡九校联考)已知双曲线y21的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且满足|PF1|PF2|2，则PF1F2的面积为()A. B C1 D7(2015九江模拟)过抛物线y28x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交抛物线的准线于C，若|AF|6，则的值为()A. B C. D38(2015黄冈模拟)点P是双曲线1(a0，b0)左支上一点，其右焦点为F(c，0)，若M是线段FP的中点且M
3、到坐标原点距离为，则双曲线离心率e的取值范围是()A. B C. D9已知双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2，若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为()Ax2yBx2yCx28yDx216y10已知点A(1，0)，椭圆C：1，过点A作直线交椭圆C于P，Q两点，2，则直线PQ的斜率为()A. B C D11如图1，已知椭圆C1：y21，双曲线C2：1(a0，b0)，若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A，B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为()图1A5 B C. D12(2015广州模拟)已知圆O的圆心
4、为坐标原点，半径为1，直线l：ykxt(k为常数，t0)与圆O相交于M，N两点，记MON的面积为S，则函数Sf(t)的奇偶性为()A偶函数B奇函数C既不是偶函数，也不是奇函数D奇偶性与k的取值有关二、填空题13(2015济南模拟)已知直线l：2mxy8m30和圆C：x2y26x12y200相交于A，B两点，当线段AB最短时直线l的方程为_14已知点P(0，2)，抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，线段PF与抛物线C的交点为M，过M作抛物线准线的垂线，垂足为Q，若PQF90，则p_15(2015青岛模拟)如图2，正六边形的两个顶点为某双曲线的两个焦点，其余四个顶点都在该双曲线上，则该双曲线的
5、离心率为_图216已知点A，D分别是椭圆1(ab0)的左顶点和上顶点，点P是线段AD上的任意一点，点F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，且的最大值是1，最小值是，则椭圆的标准方程为_三、解答题17(2015全国卷)已知过点A(1，0)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于M，N两点(1)求k的取值范围；(2)12，其中O为坐标原点，求|MN|.18(2015唐山模拟)已知圆O：x2y24，点A(，0)，以线段AB为直径的圆内切于圆O，记点B的轨迹为.(1)求曲线的方程；(2)直线AB交圆O于C，D两点，当B为CD中点时，求直线AB的方程图319(2015青岛模拟)已知抛物线C1：y
6、22px上一点M(3，y0)到其焦点F的距离为4；椭圆C2：1(ab0)的离心率e，且过抛物线的焦点F.(1)求抛物线C1和椭圆C2的标准方程；(2)过点F的直线l交抛物线C1于A、B两不同点，交y轴于点N，已知，求证：为定值20(2015信阳模拟) 已知椭圆C：1(ab0)过点P，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C交于不同两点M，N，记F1MN的内切圆的面积为S，求当S取最大值时直线l的方程，并求出最大值21(2015商丘模拟)已知椭圆C：1(ab0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线xy10与以椭圆C的
7、右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切(1)求椭圆C的方程；(2)设P为椭圆C上一点，若过点M(2，0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点S和T，满足t(O为坐标原点)，求实数t的取值范围22(2015青岛模拟)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，且经过点.(1)求椭圆C的方程；(2)动直线l：yxm与椭圆C相切，点M，N是直线l上的两点，且F1Ml，F2Nl.求四边形F1MNF2的面积；(3)过椭圆C内一点T(t，0)作两条直线分别交椭圆C于点A，C和B，D，设直线AC与BD的斜率分别为k1、k2，若|AT|TC|BT|TD|，试问k1k2是否为定值，若是，求
8、出此定值；若不是，说明理由【详解答案】1. 【解析】由已知直线sin Axayc0的斜率为，直线bxsin Bysin C0的斜率为，又由正弦定理得，故1，两直线垂直，故选C.【答案】C2. 【解析】设直线l过点P(2，2)，直线l的倾斜角为，当时，直线l的斜率ktan ，则直线l的方程可写成：y2k(x2)，即kxy2k20，由直线l与圆x2y24有公共点，得2，即k(k)0，解得0k，即0tan .又0，0，故选B.【答案】B3. 【解析】圆x2y22x4y10关于直线2axby20(a，bR)对称，则该直线过圆心(1，2)，所以2a2b20，即a1b，则ab(1b)bb2b，故当b时，a
9、b取得最大值，则ab的取值范围是，故选A.【答案】A4. 【解析】所求直线与直线2xy10平行，设所求的直线方程为2xym0.所求直线与圆x2y25相切，m5.即所求的直线方程为2xy50或2xy50.【答案】A5. 【解析】由双曲线的渐近线yx与圆(x2)2y23相切可知解得故所求双曲线的方程为x21.【答案】D6. 【解析】设|PF1|m，|PF2|n，由双曲线定义得|mn|2，又mn2，由可得mn2，m2n216|F1F2|2，所以PF1PF2, S|PF1|PF2|mn1，故选C.【答案】C7. 【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(2，x3)，则x126，解得x14，y1
10、4，直线AB的方程为y2(x2)，令x2，得C(2，8)，联立方程组解得B(1，2)，|BF|123，|BC|9，3，故选D.【答案】D8. 【解析】根据题意设双曲线的左焦点为F1，则在F1FP中，点M，O(O为坐标原点)分别为PM，F1F的中点，所以|PF1|2|MO|2，即在双曲线的左支上存在P点使|PF1|，同时|PF1|ca，即ca，解得，即e且e1，所以1e，故选A.【答案】A9. 【解析】由题意得双曲线C1：1(a0，b0)的渐近线方程为：yx，即bxay0.又因为离心率e2，即ba，c2a，又抛物线C2：x22py(p0)的焦点为，故焦点到bxay0的距离d2p8，所以抛物线的方
11、程为x216y.故选D.【答案】D10. 【解析】设点P，Q坐标分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则(x11，y1)，(1x2，y2)因为2，所以x112(1x2)，整理得x12x23.设直线PQ的斜率为k，则其方程为yk(x1)，代入椭圆方程，得(4k23)x28k2x4k2120.于是x1x2，x1x2.联立，解得k，故选D.【答案】D11. 【解析】设椭圆与双曲线的渐近线相交于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点(设M在x轴的上方)以及A(x3，y3)，由题意，可得OA3OM，即x33x1.联立得x.联立得x，即11b2a29(a2b2)，即b24a2，即c25a2，即e，故选
12、C.【答案】C12. 【解析】圆心O到直线l的距离d，|MN|22，所以MON的面积是Sf(t)|MN|d(t0)函数f(t)的定义域是(，0)(0，)，关于原点对称，因为f(t)f(t)，所以f(t)是偶函数，故选A.【答案】A13. 【解析】将2mxy8m30化成y32m(x4)，即直线l恒过点M(4，3)，圆的方程可化为(x3)2(y6)225；当ABCM时，圆心到直线AB的距离最大，此时线段AB最短，则kCM3，kAB2m，所以直线l的方程为y3(x4)，即x3y50.【答案】x3y5014. 【解析】由抛物线的定义可得|MQ|MF|，F，又PQQF，故M为线段PF的中点，所以M，把M
13、代入抛物线y22px(p0)得，12p，解得p.【答案】15. 【解析】连接AD，AE(图略)，设正六边形ABCDEF的边长为m，则2c|AD|2m，|AE|，由双曲线定义，得2amm，故e1.【答案】116. 【解析】设点P(x，y)，F1(c，0)，F2(c，0)，则(cx，y)，(cx，y)，所以x2y2c2.因为点P在线段AD上，所以x2y2可以看作原点O到点P的距离的平方，易知当点P与点A重合时，x2y2取最大值a2，当OPAD时，x2y2取最小值.由题意得解得a24，b21.即椭圆的标准方程为y21.【答案】y2117. 【解】(1)由题设，可知直线l的方程为ykx1.因为l与C交
14、于两点，所以1.解得k.所以k的取值范围是.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)将ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(k1)x70，所以x1x2，x1x2.x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18.由题设可得812，解得k1，所以l的方程为yx1.故圆心在直线l上，所以|MN|2.18. 【解】(1)设AB的中点为M，切点为N，连接OM，MN，则|OM|MN|ON|2，取A关于y轴的对称点A，连接AB，故|AB|AB|2(|OM|MN|)4.所以点B的轨迹是以A，A为焦点，长轴长为4的椭圆其中，a2，c，b1，则曲线的方程为y21.(2)因为B为C
15、D的中点，所以OBCD，则.设B(x0，y0)，则x0(x0)y0.又y1解得x0，y0.则kOB，kAB，则直线AB的方程为y(x)，即xy0或xy0.19. 【解】(1)抛物线C1：y22px上一点M(3，y0)到其焦点F的距离为4，抛物线的准线为x.抛物线上点M(3，y0)到其焦点F的距离|MF|等于到准线的距离d，所以d34，所以p2，抛物线C1的方程为y24x.椭圆C2：1(ab0)的离心率e，且过抛物线的焦点F(1，0)，所以b1，e2，解得a22.所以椭圆的标准方程为1.(2)直线l的斜率必存在，设为k，设直线l与椭圆C2交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线l的方程为y
16、k(x1)，N(0，k)联立方程组：整理得k2x2(2k24)xk20.16k2160，所以(*)由，得(1x1)x1，(1x2)x2，得，.所以.将(*)代入上式，得1.20. 【解】(1)由题意得1，a2b2c2，解得a2，b，c1.椭圆C的标准方程为1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，F1MN的内切圆半径为r，则S F1MN(|MN|F2M|F2N|)r8r4r，所以要使S取最大值，只需SF1MN最大，SF1MN|F1F2|y1y2|y1y2|，设直线l的方程为xty1，将xty1代入1，可得(3t24)y26ty90，(*)0恒成立，方程(*)恒有解，y1y2，y1y2，S
17、F1MN，记m(m1)，SF1MN在上递减，所以，当m1即t0时，(SF1MN)max3，此时l：x1，Smax.21. 【解】(1)由题意，以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为(xc)2y2a2，圆心到直线xy10的距离da，(*)椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，bc，abc，代入(*)式得bc1，ab，故所求椭圆方程为y21.(2)由题意知直线l的斜率存在，设直线l方程为yk(x2)，设P(x0，y0)，将直线方程代入椭圆方程得(12k2)x28k2x8k220，64k44(12k2)(8k22)16k280，k2.设S(x1，y1)，T(x2
18、，y2)，则x1x2，x1x2.由t，当t0时，直线l为x轴，P点在椭圆上适合题意；当t0时，得x0，y0.将上式代入椭圆方程得：1，整理得：t2，由k2，知0t24，所以t(2，0)(0，2)，综上可得t(2，2)22. 【解】(1)依题意，设椭圆C的方程为1(ab0)离心率e，又a2b2c2，所以b2a2，点在该椭圆C上，所以1.解得a24，b23.所以椭圆C的方程为1.(2)将直线的方程yxm代入椭圆C的方程3x24y212中，得7x28mx4m2120.由直线与椭圆C仅有一个公共点知，64m228(4m212)0，化简得：m27.设d1|F1M|，d2|F2N|，又因为|d1d2|MN| ，所以S|d1d2|(d1d2)|m|.(3)由T(t，0)，则直线AC的方程为yk1(xt)，设A(x1，y1)，C(x2，y2)，联立直线与椭圆方程得(34k)x28ktx4kt2120.则x1x2，x1x2.则|AT|x1t|，所以|AT|TC|(1k)|(x1t)(x2t)|(1k)|x1x2t(x1x2)t2|(1k)(1k)，又T(t，0)为椭圆C内一点，所以1，即t24，所以3t2120.所以|AT|TC|；同理|AT|TD|.所以，解得kk.又直线AC与BD不重合，所以k1k20为定值