1、函数与方程的思想北京四中 吕宝珠一、【高考真题感悟】已知函数f(x)若f(f(0)4a，则实数a_.解析f(f(0)f(2)42a，42a4a，a2.考题分析本小题考查了函数与方程的有关内容，体现了函数与方程的转化，突出了函数与方程思想的应用易错提醒(1)函数是分段函数，在求函数值时，注意自变量所在区间 (2)准确构建方程，计算要正确二、思想方法概述函数与方程是中学数学的重要概念，它们之间有着密切的联系函数与方程的思想是中学数学的基本思想，主要依据题意，构造恰当的函数，或建立相应的方程来解决问题，是历年高考的重点和热点1函数的思想用运动和变化的观点，集合与对应的思想分析和研究具体问题中的数量关
2、系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题使问题获得解决函数思想是对函数概念的本质认识4函数与方程的思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对函数yf(x)，当y0时，就化为不等式f(x)0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决这都涉及二次方程与二次函数的有关理论(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与
3、函数的关系更加密切三、热点分类突破题型一函数与方程思想在求最值或参数范围中的应用例1已知实数abc，abc1，a2b2c21，求ab与a2b2的范围解由abc1可得ab1c.由a2b2c21可得(ab)22abc210即(1c)22abc210故abc2c，且ab1c.构造一个一元二次方程x2(1c)xc2c0，a，b是该方程的两个不相等的根，且两根都大于c，令f(x)x2(1c)xc2c，(二次函数根的分布)则图象与x轴有两个交点且都在(c，)内的充分必要条件：解得：c0所以，11c，1c20，0，即a1或a0，a1，故a10.aba(a1)59.当且仅当a1，即a3时取等号又a3时，(a1
4、)5是关于a的单调增函数ab的取值范围是上有解，求a的取值范围思维启迪 可分离变量为acos2xsin x，转化为确定的相关函数的值域解方法一把方程变形为acos2xsin x.设f(x)cos2xsin x(x(0，)显然当且仅当a属于f (x)的值域时，af(x)有解f (x)(1sin2x)sin x(sin x)2，且由x (0，知sin x (0,1易求得f (x)的值域为(1,1故a的取值范围是(1,1方法二令tsin x，由x (0，可得t (0,1将方程变为t2t1a0.依题意，该方程在(0,1上有解设f(t)t2t1a.其图象是开口向上的抛物线，对称轴t，如图所示因此f (t)0在(0,1上有解等价于，即，12m4x恒成立，求x的取值范围思维启迪 求f(t)的值域变更主元，将m看作主元构造g(m)m(x2)x24x4.解t，8，f(t)，从而m，原题可转化为m(x2)(x2)20恒成立当x2时，不等式不成立x2，令g(m)m(x2)(x2)2为m的一次函数问题转化为g(m)在m上恒大于0.解得x2或x4xp3恒成立的x的取值范围是_
