1、南开中学2020届高三数学统练（5）一、选择题1.设命题，则为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C.2.设x、y、z为正数，且，则A. 2x3y5zB. 5z2x3yC. 3y5z2xD. 3y2x5z【答案】D【解析】令，则，则，则，故选D.点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.3.有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同
2、已知三个房间的粉刷面积（单位：）分别为，且，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/）分别为，且在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由，所以，故；同理，故.因为，故.故最低费用为.故选B.4.已知函数，函数为奇函数，则函数的零点个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】试题分析：为奇函数，则的两根为，所以，的极小值为又，存在，使综上，函数的零点个数为,故应选B考点：函数的零点和导数的有关知识的运用【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值问题的重要工具，也高考和各级各类考试的重要内容和考点解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息
3、，先求出函数的解析表达式，运用题设中的是奇函数，求出函数解析式中的参数的值，进而运用导数求得函数的两个极值点，通过计算分析算得和，从而判定函数的零点在区间内从而使得问题获解，本题具有一定的难度，难点在于如何判定函数的图象的走向，这里求导计算分析函数的极值起到的重要作用5.设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设，问题转化为存在唯一的整数使得满足，求导可得出函数的极值，数形结合可得且，由此可得出实数的取值范围.【详解】设，由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数， ，当时，；当时，.所以，函数的最小值为.又，
4、直线恒过定点且斜率为，故且，解得，故选D.【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题.6.设函数满足则时，( )A. 有极大值，无极小值B. 有极小值，无极大值C. 既有极大值又有极小值D. 既无极大值也无极小值【答案】D【解析】【详解】函数满足，令，则，由，得，令，则在上单调递减，在上单调递增，的最小值为.又在单调递增，既无极大值也无极小值，故选D.考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值及函数的求导法则.【方法点睛】本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象
5、、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题通过观察导函数的“形状”，联想到函数，再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论.7.若函数为奇函数，则使不等式成立的的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用为奇函数，求出，由此求出该函数的定义域，不等式，即，由在区间s递减，可得的取值范围.【详解】由函数为奇函数，可得.即：，则，所以，得，解得.当时，函数的定义域为，定义域不关于原点对称，不合乎题意；
6、当时，由，解得，该函数的定义域为，定义域关于原点对称，且满足，函数为奇函数.对于函数，内层函数在上单调递增，外层函数在上单调递增，所以，函数在上单调递增.所以，函数在上单调递减，且，由得，解得.故选：B.【点睛】本题主要考查函数的单调性、奇偶性及利用函数单调性解不等式，综合性大，属于中档题型.8.定义“规范01数列”an如下：an共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有A. 18个B. 16个C. 14个D. 12个【答案】C【解析】【详解】试题分析：由题意，得必有，则具体的排法列表如下：,01010011;01010101
7、1,共14个【点睛】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树状图将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果9.已知f(x)为偶函数，且在上为增函数，满足不等式的x取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系，将不等式转化为，即可得到结论.【详解】解：由题意：f(x)为偶函数，且在上为增函数，可得f(x) 在上为减函数，且，等价于，即，则，解得：或，故选：C.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的性质及奇偶性与单调性的综合,注意灵活运用函数性质解题.二、填空题（共6小题：共30
8、分）10.对于复数，若，则_【答案】【解析】，故答案为.11.在二项式的展开式中，的系数为_【答案】.【解析】【分析】由题意结合二项式定理展开式的通项公式得到的值，然后求解的系数即可.【详解】结合二项式定理通项公式有：，令可得：，则的系数为：.【点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中和的隐含条件，即、均为非负整数，且，如常数项指数为零、有理项指数为整数等）)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解12.已知，
9、则的值为_.【答案】6.【解析】【分析】令，可得为奇函数, ,且，可得的值.【详解】解：令，可得为奇函数，且，由，可得，可得，可得，由为奇函数，可得，故，故答案为：6.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性及函数的综合应用问题，相对不难.13.已知函数，若函数f(x)在处取得极大值，则实数a的取值范围是_.【答案】.【解析】【分析】求出函数的导数，讨论a的取值范围，得到函数的单调区间，结合函数的最大值，可得a的取值范围.【详解】解：由，可得，设，当，函数单调递增，当，函数单调递增；，函数单调递减；由f(x)在处取得极大值，可得，当时，单调递增，当，单调递减；当，单调递增，所以f(x)在处取得极小值，
10、与题意不符；当时，即，可得：在单调递增，所以当，当，即f(x)在单调递减，在单调递增，所以f(x)在处取得极小值，与题意不符；当时，即，在单调递增，在单调递减，所以当，单调递减，与题意不符；当，即可，当，函数单调递增；当，函数单调递减，所以f(x)在处取得极大值，符合题意，故答案为：.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的参数及含参函数的极值问题，综合性大，属于难题.14.给出下列结论：已知函数是定义在上的奇函数，若，则；函数的单调递减区间是；已知函数是奇函数，当时，则当时，；若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则对任意实数都有.则正确结论的序号是_（请将所有正确结论的序号填在横线上）【答案
11、】【解析】正确，根据函数是奇函数，可得 ，而，所以 ；错，根据复合函数的单调性可知函数的单调递减区间为； 正确，奇函数关于原点对称，所以可根据的解析式，求得 的解析式；，根据对数函数的定义域，不能是任意实数，而需，由，所以正确的序号是.【点睛】本题以多项选择题的形式考查函数的某些性质，综合性比较高，选项错的比较多，涉及复合函数单调区间的问题，谨记“同增异减”，同时函数的定义域，定义域是比较容易忽视的问题，做题时要重视.15.已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是_.【答案】【解析】【分析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究入手，令，从而使问题加
12、以转化，通过绘制函数图象，观察得解.【详解】使得，使得令，则原不等式转化为存在，由折线函数，如图只需，即，即的最大值是【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.三、解答题（共5小题：共65分）16.设的内角，的对边分别为，且为钝角. （1）证明：； （2）求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：()运用正弦定理将化简变形,再解三角方程即可获解；()将角用表示,换元法求函数值域即可.试题解析：()由及正弦定理，得，即，又为钝角，因此，故，即；()由（1）知，于是，因此，由此可知的取值范围是考点：正弦定理、三角变换，二次函数有关知识和公式的应用.17
13、.如图,是边长为的正方形，平面平面，,.（1）求证：面面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】【详解】试题分析：（1）由平面平面，可推出，再根据是正方形，可推出平面，从而可证平面；（2）根据题设条件建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，即可求出直线与平面所成角的正弦值；（3）点在线段上，设，求出平面的法向量，根据二面角的大小为，即可求出.试题解析：(1)证明：，. 又是正方形，平面. 又 . (2)解：因为两两垂直，所以建立空间直角坐标系如图所示，则， ，设平面的
14、法向量为，,即，,则 . 直线与平面所成角的正弦值为. (3)解：点在线段上，设，则，设平面的法向量为，则,即，令则， ，整理得：解得：， 此时.18.设数列的前n项和为.已知.（）求的通项公式；（）若数列满足，求的前n项和.【答案】（）; （）.【解析】【分析】（）利用数列前项和与通项的关系求解；（）结合第（）问的结果，利用关系式求出数列的通项公式，并结合其通项的结构特征，采用错位相减法求其前n项和.【详解】（）因为，所以，故当时，此时，即所以，（）因为，所以，当时，所以，当时，所以，两式相减，得所以，经检验，时也适合，综上可得：.【点睛】本题考查数列前项和与通项的关系，特殊数列的求和问题，
15、关键在于运用错位相减法进行数列求和，注意考虑的情况，属于中档题.19.已知函数（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】分析：(1)首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间；(2)根据存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定，令，得到两个极值点是方程的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果.详解：（1）的定义域为，.（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.（ii）若，令得，或.当时，；当时，.所以在单调递减，在单调递增.（2）由（1）知，存在
16、两个极值点当且仅当.由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于，所以等价于.设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，.所以，即.点睛：该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件，在解题的过程中，需要明确导数的符号对单调性的决定性作用，再者就是要先保证函数的生存权，先确定函数的定义域，要对参数进行讨论，还有就是在做题的时候，要时刻关注第一问对第二问的影响，再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确.20.设函数xR，其中a,bR.（）求f（x）的单调区间；（）若f（x）存极值点x0，且f（x1）= f（x0）
17、，其中x1x0，求证：x1+2x0=3；（）设a0,函数g（x）= |f（x）|,求证：g（x）在区间0,2上的最大值不小于.【答案】（）详见解析；（）详见解析；（）详见解析.【解析】试题分析：（）先求函数的导数，再根据导函数零点是否存在，分类讨论；（）由题意得，计算可得.再由及单调性可得结论；（）实质研究函数最大值：主要比较，的大小即可，可分三种情况研究：；.试题解析：（）解：由，可得.下面分两种情况讨论：（1）当时，有恒成立，所以的单调递增区间为.（2）当时，令，解得，或.当变化时，的变化情况如下表：00单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以的单调递减区间为，单调递增区间为，.（）证明：
18、因为存在极值点，所以由（）知，且，由题意，得，即，进而.又，且，由题意及（）知，存在唯一实数满足，且，因此，所以.（）证明：设在区间上的最大值为，表示两数的最大值.下面分三种情况讨论：（1）当时，由（）知，在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此，所以.（2）当时，由（）和（）知，所以在区间上的取值范围为，因此.（3）当时，由（）和（）知，所以在区间上的取值范围为，因此.综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.【考点】导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式【名师点睛】1求可导函数单调区间的一般步骤：（1）确定函数f（x）的定义域（定义域优先）；（2）求导函数f （x）；（3）在函数f（x）的定义域内求不等式f （x）0或f （x）0的解集；（4）由f （x）0（f （x）0）的解集确定函数f（x）的单调增（减）区间若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间2由函数f（x）在（a，b）上的单调性，求参数范围问题，可转化为f （x）0（或f （x）0）恒成立问题，要注意“”是否可以取到