1、南开中学2020届高三数学统练（8）一、选择题（共9小题）1.已知全集U=R，集合A=x|x+10，B=x|x-40，则U（AB）=（）A. 或B. 或C. D. 【答案】C【解析】【分析】可求出集合A，B，然后进行交集、补集的运算即可【详解】解：A=x|x-1，B=x|x4； AB=x|x-1； U（AB）=x|x-1 故选C【点睛】考查描述法表示集合的概念，以及交集、补集的概念及运算2.设，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合表达式的性质进行判断即可【详解】解：若a0，
2、b1，满足ab，但（ab）a20不成立，若“（ab）a20，则ab且a0，则ab成立，故“ab”是“（ab）a20”的必要不充分条件，故选B【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系进行判断即可3.已知函数 ,令，则的大小关系为()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数解析式可判断出函数为偶函数且在上单调递增；将的自变量都转化到内，通过比较自变量大小得到的大小关系.【详解】定义域为且为上的偶函数当时，则上单调递增；，即本题正确选项：【点睛】本题考查利用函数性质比较大小的问题，能够通过函数的解析式得到函数的奇偶性、单调性，将问题转化为自变量之间的比较是解决
3、问题的关键.4.已知抛物线，恒过第三象限上一定点A，且点A在直线上，则的最小值为（ ）A. 4B. 12C. 24D. 36【答案】B【解析】【分析】由题意可知，代入直线，变形整理得与相乘变形整理，再利用均值不等式，求解即可.【详解】由抛物线，令即，根据定点在第三象限，可知，点A在直线上，即，当且仅当时等号成立的最小值为，故选：B【点睛】本题考查均值不等式，定点的求解，是解决本题的关键，属于中档题.5.已知函数满足，则等于（ ）A. B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】将代入，变形整理为，再将代入，变形整理为.可知是以8为周期的周期函数，求解即可.【详解】则是以8为周期的周期函数
4、.所以故选：D【点睛】本题考查函数的周期性，对于周期的求解，是本题的关键，属于中档题.6.已知函数的零点为，函数的最小值为，且，则函数的零点个数是（ ）A. 2或3B. 3或4C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】由题意可知，函数的零点个数，等价于方程或的根的个数，等价于函数的图象与直线，的交点个数，画图求解，即可.【详解】如图所示，因为函数的零点为所以因为，所以或因为函数的最小值为，且，画出直线，则直线与必有两个交点，此时有2个实数根.即函数由两个零点直线与可能有一个交点或无交点，此时有一个实数根或无实数根综上可知：函数的零点有2个或3个故选：A【点睛】本题考查函数零点的个数问题，属于较
5、难题.7.定义在上的函数满足，且当时，对，使得，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题知问题等价于函数在上的值域是函数在上的值域的子集当时，由二次函数及对勾函数的图象及性质，得此时，由，可得，当时，则在的值域为当时，则有，解得，当时，不符合题意；当时，则有，解得综上所述，可得的取值范围为 故本题答案选点睛：求解分段函数问题应对自变量分类讨论，讨论的标准就是自变量与分段函数所给出的范围的关系，求解过程中要检验结果是否符合讨论时的范围讨论应该不重复不遗漏8.已知函数的图象过点，且在上单调，把的图象向右平移个单位之后与原来的图象重合，当且时，则( )A. B. C.
6、D. 【答案】B【解析】分析】代入点求出，根据平移关系和在上单调，确定，从而得到；找到区间内的对称轴，由对称性可得的值，进而代入求得结果.【详解】过点 ，即又 又的图象向右平移个单位后与原图象重合 在上单调 令，解得，当时，为的一条对称轴又当，且时，本题正确选项：【点睛】本题考查三角函数值的求解，关键是能够通过三角函数的图象平移、周期、特殊点等求解出函数解析式，再利用三角函数的对称性将问题转化为特定角的三角函数值求解.9.已知函数，且存在不同的实数x1，x2，x3，使得f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1x2x3的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】作出yf（
7、x）的函数图象，设x1x2x3，f（x1）f（x2）f（x3）t，1t2，求得x1，x2，x3，构造函数g（t）（t1）（2+log2t），1t2，求得导数，判断单调性，即可得到所求范围【详解】函数的图象如图所示：设x1x2x3，又当x2，+）时，f（x）2x2是增函数，当x3时，f（x）2，设f（x1）f（x2）f（x3）t，1t2，即有x12+2x1+1x22+2x2+1t，故x1x2x3（1）（1）（2+log2t）（t1）（2+log2t），由g（t）（t1）（2+log2t），1t2，可得g（t）2+log2t0，即g（t）在（1，2）递增，又g（1）0，g（2）3，可得g（t）的范
8、围是（0，3）故选A【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，考查转化思想和构造函数法，数形结合思想，难度中档二、填空题（共6小题）10.已知函数，把函数的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的对称轴方程为_【答案】【解析】【分析】将函数经过变换后，得函数，令，求解即可.【详解】把函数的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍.得的图象.再向右平移个单位.得到函数的图象.令，求得，所以函数的对称轴方程为故答案为：【点睛】本题考查正弦型三角函数的图象和性质，三角函数的图象变换是解决本题的关键.属于中档题.11.对于，有如下命题：若，则一定为等腰三角形若，
9、则一定为等腰三角形若，则一定为钝角三角形若，则一定为锐角三角形则其中正确命题的序号是_ 把所有正确的命题序号都填上【答案】，【解析】【分析】三角形中首先想到内角和为，每个内角都在内，然后根据每一个命题的条件进行判定【详解】或，为等腰或直角三角形正确；由可得由正弦定理可得再由余弦定理可得，为钝角，命题正确全为锐角，命题正确故其中正确命题的序号是，【点睛】本题主要考查了借助命题考查三角形的有关知识，在运用正弦、正切解三角形时注意角之间的转化，三角形内角和为，然后代入化简12.已知函数（）的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为 【答案】16【解析】【分析】利用值域为可得，从而可得的解集，再结
10、合已知的解集可求实数的值.【详解】因为函数（，）的值域为，所以判别式，故不等式即为，其解集为，因为的解集为，所以，故即.故答案为：16【点睛】本题考查一元二次函数值域以及一元二次不等式的解注意根据值域得到的解析式为完全平方式，从而方便地求出不等式的解集，本题属于基础题.13.在中，若，则的最大值为_【答案】【解析】【详解】设，最大值为考点：解三角形与三角函数化简点评：借助于正弦定理，三角形内角和将边长用一内角表示，转化为三角函数求最值，只需将三角函数化简为的形式【此处有视频，请去附件查看】14.已知函数，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围为 .【答案】或【解析】试题分析：对任意的，都有成立
11、，即.观察的图象可知，当时，函数；因为，所以所以，解得或，故答案为或考点：分段函数，对数函数、二次函数的性质.15.已知函数且函数在定义域内恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是_.【答案】或【解析】【分析】先作出函数图象，再根据函数图象确定满足条件的位置，进而得参数的取值范围.【详解】由与相切得由与相切得由与相切得作出函数图象，如图，所以要使得函数有三个不同零点，需满足或，【点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调
12、性、周期性等三、解答题（共5小题）16.已知函数的最小正周期为求的值和函数的单调增区间；求函数在区间上的取值范围【答案】，；【解析】【分析】先对函数化简整理，再由，即可求出，进而求出函数的单调增区间；先由，结合确定函数单调性，进而可求出其取值范围.【详解】因为所以函数最小正周期为，所以由，得，函数的单调增区间为，在区间单调递增，在区间单调递减，因此的取值范围为【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，熟记三角函数的图像和性质即可求解，属于基础题型.17.如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，为棱上的点，且（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）设为棱上的点（不与，重合），且直线
13、与平面所成角的正弦值为，求的值【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，确定各点坐标，得到，根据线面垂直的判定定理，即可证明.（2）由（1）可知，平面的法向量，确定平面的法向量，根据，求解即可.（3）设，确定，根据直线与平面所成角的正弦值为，求解，即可.【详解】（1）因为平面，平面，平面所以，因为则以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知可得，.所以，.因为，.所以，又，平面，平面.所以平面（2）设平面的法向量，由（1）可知，设平面的法向量因为，.所以，即不妨设，得所以二面角的余弦值为（3）设，即.所以，即.因为直线与平面所成角的正弦值为所
14、以即解得即【点睛】本题考查空间向量在立体几何中的应用，属于较难题.18.已知数列前项和，数列满足.（）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（）设，数列的前项和为，求满足的的最大值.【答案】() ；()4.【解析】【分析】()利用，整理可得数列是首项和公差均为1的等差数列，求出的通项公式可得数列的通项公式；() 由()可得 ，利用裂项相消法求得，解不等式可得结果.【详解】() ，当时，化为，即当时,，令,可得,即.又,数列是首项和公差均为1的等差数列.于是，.()由()可得,可得，因为是自然数，所以的最大值为4.【点睛】本题主要考查利用递推公式求通项以及裂项相消法求数列的和，属于难题. 由
15、数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数列）；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；（4）构造法.19.已知f（x）=log4（4x+1）+kx是偶函数（1）求k的值；（2）判断函数y=f（x）-x在R上的单调性，并加以证明；（3）设g（x）=log4（a2x-a），若函数f（x）与g（x）的图象有且仅有一个交点，求实数a的取值范围【答案】（1）k=- (2)见证明；(3) （1，+）-3【解析】【分析】（1）由偶函数的定义可得f（-x）=f（x），结合
16、对数函数的运算性质，解方程可得所求值；（2）函数h（x）=f（x）-x=log4（4x+1）-x在R上递减，运用单调性的定义和对数函数的单调性，即可证明；（3）由题意可得log4（4x+1）-x=log4（a2x-a）有且只有一个实根，可化为2x+2-x=a2x-a，即有a=，化为a-1=，运用换元法和对勾函数的单调性，即可得到所求范围【详解】（1）f（x）=log4（4x+1）+kx是偶函数，可得f（-x）=f（x），即log4（4-x+1）-kx=log4（4x+1）+kx，即有log4=2kx，可得，即由xR，可得；（2）函数h（x）=f（x）-x=log4（4x+1）-x在R上递减，理
17、由：设x1x2，则h（x1）-h（x2）=log4（4x1+1）-x1-log4（4x2+1）+x2=log4（4-x1+1）-log4（4-x2+1），由x1x2，可得-x1-x2，可得log4（4-x1+1）log4（4-x2+1），则h（x1）h（x2），即y=f（x）-x在R上递减；（3）g（x）=log4（a2x-a），若函数f（x）与g（x）的图象有且仅有一个交点，即为log4（4x+1）-x=log4（a2x-a）有且只有一个实根，可化为2x+2-x=a2x-a，即有a=，化为a-1=，可令t=1+2x（t1），则2x=，则a-1=，由9t+-34在（1，）递减，（，+）递增，可
18、得9t+-34的最小值为2-34=-4，当a-1=-4时，即a=-3满足两图象只有一个交点；当t=1时，9t+-34=0，可得a-10时，即a1时，两图象只有一个交点，综上可得a的范围是（1，+）-3【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查对数的运算性质和函数方程的转化思想，以及运算能力，属于中档题20.已知函数有两个零点.（）求a的取值范围；（）设x1，x2是的两个零点，证明：.【答案】（）；（）见解析【解析】试题分析：（）求导，根据导函数的符号来确定（主要要根据导函数零点来分类）；（）借助（）的结论来证明，由单调性可知等价于，即设，则则当时，而，故当时，从而，故试题解析：（）
19、（）设，则，只有一个零点（）设，则当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增又，取满足且，则，故存在两个零点（）设，由得或若，则，故当时，因此在单调递增又当时，所以不存在两个零点若，则，故当时，；当时，因此在单调递减，在单调递增又当时，所以不存在两个零点综上，的取值范围为（）不妨设，由（）知，在单调递减，所以等价于，即由于，而，所以设，则所以当时，而，故当时，从而，故【考点】导数及其应用【名师点睛】对于含有参数的函数单调性、极值、零点问题,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简.解决函数不等式的证明问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.【此处有视频，请去附件查看】