1、1正整数指数函数1正整数指数函数的概念、图像和性质(1)一般地，函数yax(a0，a1，xN)叫作正整数指数函数，其中x是自变量，定义域是正整数集N.(2)正整数指数函数的图像和性质图像特征共同特征：正整数指数函数的图像是由一些孤立的点组成的；分类特征：a当底数a1时，正整数指数函数的图像是上升的；b当底数0a1时，正整数指数函数的图像是下降的单调性a当底数a1时，正整数指数函数是增函数；b当底数0a1时，正整数指数函数是减函数2指数型函数把形如ykax(kR，a0，且a1)的函数称为指数型函数.1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若yax为正整数指数函数，则a为大于零且不等于1的常
2、数，xN.()(2)正整数指数函数的图像只能是第一象限内的一些孤立点()(3)正整数指数函数的图像与直线xT(T为常数且T0)最多只有一个交点()(4)指数型函数ykax(kR，a0，且a1)，当k1且xN时即为正整数指数函数()答案：(1)(2)(3)(4)2下列函数是正整数指数函数的是()Ay4x(xN)By(xN)Cy2x(xR)Dyx3(xN)解析：选B.y4x(xN)和yx3(xN)不是正整数指数函数，排除A、D；y2x(xR)的定义域不是N，故选B.3函数f(x)(xN)，则f(2)()A.B.C. D.解析：选D.f(2).4一种产品的年产量原来是10 000件，今后计划使年产量
3、每年比上一年增加p%，则年产量随经过年数x变化的函数关系式为_解析：经过1年的年产量为10 000(1p%)，经过2年的年产量为10 000(1p%)2，经过x(xN)年的年产量为10 000(1p%)x，xN.答案：y10 000(1p%)x(xN)正整数指数函数的特征(1)ax的系数为1；(2)底数a0且a1；(3)指数为自变量x；(4)xN.正整数指数函数的概念学生用书P43若xN，判断下列函数是否是正整数指数函数，若是，指出其单调性(1)y()x；(2)y；(3)y(3)x.【解】(1)不是因为y()x的底数0且a1)，得a2，所以a，y，xN.答案：(1)2(2)N正整数指数函数的图
4、像与性质学生用书P43画出函数y(xN)的图像，并说明函数的单调性和值域【解】(1)列表：x1234y(2)描点：图像如图所示根据图像知y(xN)在其定义域上是增函数，其值域为.解决正整数指数函数图像与性质问题的注意点(1)正整数指数函数的图像和性质分别从形、数两个方面对正整数指数函数加以剖析，因此在处理与正整数指数函数有关的问题时应注意数形结合思想的运用； (2)由于底数大于1时与底数大于零小于1时的单调性不同，所以也应注意分类讨论思想的运用2.(1)函数y，xN的图像是()A一条上升的曲线B一条下降的曲线C一系列上升的点 D一系列下降的点(2)函数f(x)ax(a0，a1，xN)在1，3上
5、是增加的，且最大值与最小值的差为a，则a_解析：(1)由于xN且底数为，所以函数y，xN的图像是一系列下降的点(2)因为f(x)在1，3上是增加的，所以a1，所以f(x)minf(1)a，f(x)maxf(3)a3.所以a3aa，即a(a22)0.又因为a0，且a1，所以a.答案：(1)D(2)正整数指数函数的实际应用学生用书P43某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：(1)写出该城市人口总数x(万人)与年份t(年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数【解】(1)1年后该城市的人口总数为x1001001.2%100(11.2%)(万人)，2年
6、后该城市的人口总数为x100(11.2%)100(11.2%)1.2%100(11.2%)2(万人)，那么t年后该城市的人口总数为x100(11.2%)t(万人)，tN.(2)10年后该城市的人口总数为x100(11.2%)101001.01210(万人)实际生活中与指数函数有关的函数模型(1)指数增长模型：在yN(1p)x型函数中N为原产值，p为平均增长率，y为总产值，x为时间(2)复利计算公式：ya(1r)x(a为本金，r为每期利率，x为期数，y为本利和)，我国现行定期储蓄中的自动转存业务类似复利计算 3.某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%.(1)写出
7、这种物质的剩留量y随时间x(xN)变化的函数关系式；(2)画出该函数的图像；(3)说明该函数的单调性解：(1)设这种物质最初的质量是1，经过x年，剩留量是y，由题意得经过1年，剩留量y184%0.841；经过2年，剩留量y184%84%0.842；一般地，经过x年，剩留量y随时间x变化的函数关系式为y0.84x(xN)(2)根据函数关系式列表如下：x12345y0.840.710.590.500.42用描点法画出正整数指数函数y0.84x(xN)的图像，它的图像是由一些孤立的点组成的(3)通过计算和观察图像可知，随着时间的增加，剩留量在逐渐减少，该函数为减函数思想方法数形结合思想在正整数指数函
8、数图像中的应用在同一坐标系中画出y12x(xN)，y23x(xN)的图像，试观察哪个函数增加得更快？【解】(1)列表：x123y1248y23927(2)描点得图像如图所示，由图像知两个函数的图像都是增加的，y23x增加得更快对于正整数指数函数yax(xN，a0，且a1)(1)当a1a21时，y1a(xN)比y2a(xN)增加得快；(2)当0a1a20，且a1，xN)且f(5)32，则()Af(2)f(1)Bf(1)f(2)Cf(2)f(1)Df(1)f(2)解析：选C.由题意a532(a0，且a1)，所以a2，f(x)2x(xN)为增函数，又2、1N，排除A、B，对C、D，因为21(2，1N
9、)，所以f(2)f(1)3正整数指数函数y(a1)x在xN上是增加的，则a的取值范围是_解析：由题意知a11，所以a2.答案：(2，)4光线通过一块玻璃板时，其强度要损失20%，把几块相同的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为1，通过x块玻璃板后的强度为y，则y关于x的函数关系式为_解析：当x1时，y1(10.2)0.8；当x2时，y0.8(10.2)0.82；当x3时，y0.82(10.2)0.83；所以y0.8x(xN)答案：y0.8x(xN),学生用书P121(单独成册)A基础达标1下列给出的四个正整数指数函数中，在定义域内是减少的是()Ay1.2x(xN)By3x(xN)Cy0.99x(
10、xN) Dy6x(xN)解析：选C.A、B、D中底数均大于1，对应函数均为增函数，C中底数0.99(0，1)，所以y0.99x(xN)是减少的2函数y5x，xN的值域是()AR BNCN D5，52，53，54，解析：选D.因为函数y5x，xN的定义域为正整数集N.所以当自变量x取1，2，3，4，时，其相应的函数值y依次是5，52，53，54，.因此，函数y5x，xN的值域是5，52，53，54，3若函数f(x)(a25a5)ax为正整数指数函数，则a的值为()A1 B6C1或6 D6解析：选B.由得a6.4某企业各年总产值预计以10%的速度增长，若2015年该企业全年总产值为1 000万元，
11、则2018年该企业全年总产值为()A1 331万元 B1 320万元C1 310万元 D1 300万元解析：选A.易知1 000(110%)31 331(万元)5正整数指数函数yax在1，2上的最大值与最小值之和为6，则a等于()A3 B2C3或2 D以上均不对解析：选B.因为正整数指数函数yax在1，2上单调，由题意得aa26(a0且a1)，解得a2.6已知0a1，则函数yax1(xN)的图像在第_象限解析：因为0a1，所以yax(xN)是减少的，其图像为第一象限内一系列孤立的点且分布在y1与y0之间，向下平移一个单位得yax1(xN)的图像，所以yax1(xN)的图像在第四象限答案：四7若
12、集合3，|x|，x2，2，y，则2x2y_解析：因为3，|x|，x2，2，y，所以y3，x2，所以2x2y2223.答案：8某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，这种细菌由1个繁殖成4 096个需经过_小时解析：细菌个数y与分裂次数x的关系为y2x，由题意知2x4 096，即2x212，所以x12，所需时间为1215180分钟，即3个小时答案：39求不等式32x(xN)的解集解：由32x得3x2332x.因为函数y3x，xN为增函数，所以x232x，即x22x30，所以(x3)(x1)0，解得1x1，xN)，g(x)bx(b1，xN)，当f(x1)g(x2)4时，有x1
13、x2，则a，b的大小关系是()Aab D不能确定a、b的关系解析：选A.由f(x1)g(x2)4，x1x2，且a1，b1，可知f(x)ax比g(x)bx增加得慢，故ab，选A.也可以找两个特殊函数y2x与y4x来验证12已知集合Ax|12x16，xN，Bx|0x3，xN，则AB_解析：由12x0，a1，xN)若f(2x3)f(1x)，求x的取值集合解：因为f(x)ax，所以由f(2x3)f(1x)得a2x3a1x.当a1时，yax在xN上是增函数，所以2x31x，即x4，所以x(4，)，xN.当0a1时，2x31x.所以x1时，x的取值范围是(4，)，xN.当0a0，且a1)是xN上的增函数，求实数a的取值范围解：f(x)ax(ax3a21)(ax)2(3a21)ax.因为函数f(x)在xN上是增函数所以当a1时，ax1，此时应有1，该不等式无解当0a1时，ax1，即a2.解得a或a，所以a1.综上可知，实数a的取值范围是.