1、第六章 万有引力与航天第4节 万有引力理论的成就 学 习 目 标1了解万有引力定律在天文学上的重要应用2掌握计算天体的质量和密度的方法3掌握解决天体运动问题的基本思路.填一填、做一做、记一记课前自主导学|基础知识填一填|一、计算天体的质量称量地球的质量计算太阳的质量方法 重力加速度法环绕法忽略地球 1影响，重力等于万有引力万有引力提供 2理论依据mgGMmR2GMmr2 mr42T2自转向心力结果MgR2GM42r3GT2(1)R 为地球半径(2)g 为地球表面的重力加速度(1)r 为行星绕太阳做匀速圆周运动的半径(2)T 为行星绕太阳做匀速圆周运动的周期说明(3)这两种方法同样适用于计算其他
2、天体的质量(4)求出天体的质量后，还可以进一步计算其密度二、发现未知天体应用万有引力定律可以计算天体的质量，还可以发现未知天体，海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位1海王星的发现英国剑桥大学的学生 3和法国年轻的天文学家4根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道.1846 年 9 月 23 日，德国的 5在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星海王星亚当斯勒维耶伽勒2其他天体的发现近 100 年来，人们在海王星的轨道之外又发现了 6、阋神星等几个较大的天体冥王星|基础小题做一做|1正误判断(1)地球表面的物体，重力就是物体所受的万有引力()(2)
3、绕行星匀速转动的卫星，万有引力提供向心力()(3)利用地球绕太阳转动，可求地球的质量()(4)海王星、冥王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性()(5)科学家在观测双星系统时，同样可以用万有引力定律来分析()2下列说法正确的是()A海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的B天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的C海王星是人们经过长期的太空观测而发现的D天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此人们发现了海王星解析：选 D 由行星的发现历史可知，天王星并不是根据万有引力定律计算出轨道而发现的；海王星不是通过观测发现
4、，也不是直接由万有引力定律计算出轨道而发现的，而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差，然后运用万有引力定律计算出“新”星的轨道，从而发现了海王星由此可知，A、B、C错误，D 正确32018 年 12 月 8 日凌晨 2 时 23 分“嫦娥四号”成功发射，标志着我国航空、航天技术取得突破性发展若测得“嫦娥四号”在月球(可视为密度均匀的球体)表面附近圆形轨道运行的周期为T，已知引力常量为 G，半径为 R 的球体，体积公式 V43R3，则可估算月球的()A密度 B质量 C半径 D自转周期解析：选 A 由万有引力提供向心力有 GMmr2 m42T2 r，由于在月球表面轨道有 rR，由球体体积公
5、式 V43R3，联立解得月球的密度 3GT2，故选项 A 正确思维拓展1969 年 7 月 21 日，美国宇航员阿姆斯特朗在月球上烙下了人类第一只脚印(如图所示)，迈出了人类征服宇宙的一大步已知月球半径为 R，引力常数为 G.(1)宇航员在月球上用弹簧秤测出质量为 m 的物体重力为 F.怎样利用这个条件估测月球的质量？提示：设月球质量为 M，半径为 R，则 FGMmR2，故 MFR2Gm.(2)宇航员驾驶指令舱绕月球表面飞行一周的时间为 T，怎样利用这个条件估测月球质量？提示：设月球质量为 M，半径为 R，由万有引力提供向心力得，GMmR2 m42T2 R，故 M42R3GT2.|核心知识记一
6、记|1若不考虑地球自转的影响，地面上物体所受重力等于地球对物体的引力，即 mgGMmR2，可得地球质量 MgR2G，该公式同样适用于其他天体2根据万有引力提供行星做圆周运动的向心力，只要测得某行星绕太阳运行的轨道半径 r 和周期 T，就可得太阳的质量为 M42r3GT2.3应用万有引力定律可以计算天体的质量，还可以发现未知天体，海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位析要点、研典例、重应用课堂互动探究要点一 天体质量和密度的计算|要点归纳|1求中心天体质量的思路绕中心天体运动的其他天体或卫星做匀速圆周运动，做圆周运动的天体(或卫星)的向心力等于它与中心天体的万有引力，利用此
7、关系建立方程求中心天体的质量2天体质量的计算(1)重力加速度法若已知天体(如地球)的半径 R 及其表面的重力加速度 g，根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的引力，得 mgGMmR2，解得天体的质量为 MgR2G，g、R 是天体自身的参量，所以该方法俗称“自力更生法”(2)环绕法借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”常见的情况如下：万有引力提供向心力中心天体的质量说明GMmr2 mv2rMrv2GGMmr2 mr2Mr32GGMmr2 mr42T2M42r3GT2r 为行星(或卫星)的轨道半径，v、T为行星(或卫星)的线速度、角速度和周期3.天
8、体密度的计算(1)若天体的半径为 R，则天体的密度 M43R3，将 M42r3GT2 代入上式可得 3r3GT2R3.(2)当卫星环绕天体表面运动时，卫星的轨道半径 r 可认为等于天体半径 R，则 3GT2.|例题展示|【例 1】如图所示，是美国的“卡西尼”号探测器经过长达 7 年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道，若“卡西尼”号探测器在半径为 R 的土星上空离土星表面高 h 的圆形轨道上绕土星飞行，环绕 n 周飞行时间为 t，已知引力常量为 G，则下列关于土星质量 M 和平均密度 的表达式正确的是()AM42Rh3Gt，3Rh3Gt2R3BM42Rh3Gt2，3Rh3Gt2R3CM42t2
9、Rh3Gn2，3t2Rh3Gn2R2DM42n2Rh3Gt2，3n2Rh3Gt2R3思路点拨 解此题可按以下思路：(1)根据环绕 n 周的时间 t 求周期 T.(2)由GMmr2mr2T2 求 M.(3)再由 V43R3 和 MV求密度解析 答案 D易 错 警 示天体质量和密度估算时的两种常见错误(1)根据轨道半径 r 和运行周期 T，求得 M42r3GT2 是中心天体的质量，而不是行星(或卫星)的质量(2)混淆或乱用天体半径 R 与轨道半径 r，只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时，如近地卫星，轨道半径 r 才可以认为等于天体半径 R.|对点训练|1(多选)由下列哪一组物理量可以计算地球的质量
10、()A月球的轨道半径和月球的公转周期B月球的半径和月球的自转周期C卫星的质量和卫星的周期D卫星离地面的高度、卫星的周期和地球的半径解析：选 AD 只要知道天体的一颗卫星或行星的周期和轨道半径，利用公式 GMmr2 mr42T2 就可以计算出中心天体的质量，故选项 A、D 正确2“嫦娥三号”携带“玉免”探测车在月球虹湾成功软着陆，在实施软着陆过程中，“嫦娥三号”离月球表面 4 m 高时最后一次悬停，确认着陆点若总质量为 M 的“嫦娥三号”在最后一次悬停时，反推力发动机对其提供的反推力为 F，已知引力常量为 G，月球半径为 R，则月球的质量为()A.FR2MG BFRMGC.MGFRDMGFR2解
11、析：选 A 设月球的质量为 M，由 GMMR2Mg 和 FMg，解得 MFR2MG，选项 A 正确3近年来，人类发射的火星探测器已经在火星上着陆，正在进行着激动人心的科学探索(如发现了冰)，为我们将来登上火星、开发和利用火星奠定了坚实的基础如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得它运动的周期为 T，则火星的平均密度 的表达式为(k 为某个常量)()AkTBkTCkT2D kT2解析：选 D 根据万有引力定律得 GMmR2 mR42T2，可得火星质量 M42R3GT2，又火星的体积 V43R3，故火星的平均密度 MV 3GT2 kT2，选项 D 正确要点二 分析天体运动问题的思路|要
12、点归纳|1解决天体运动问题的基本思路一般行星或卫星的运动都可看做匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，所以研究天体时可建立基本关系式：GMmR2 ma，式中 a 是向心加速度2四个重要结论项目推导式关系式结论v 与 r 的关系GMmr2 mv2rvGMrr 越大，v 越小 与 r 的关系GMmr2 mr2GMr3r 越大，越小T 与 r 的关系GMmr2 mr2T2T2 r3GMr 越大，T 越大a 与 r 的关系GMmr2 maaGMr2r 越大，a 越小|例题展示|【例 2】假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动，已知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离，那么()A地球
13、公转的周期大于火星公转的周期B地球公转的线速度小于火星公转的线速度C地球公转的加速度小于火星公转的加速度D地球公转的角速度大于火星公转的角速度解析 根据 GMmr2 m2T2rmv2r manm2r 得，公转周期 T2r3GM，故地球公转的周期较小，选项 A 错误；公转线速度 vGMr，故地球公转的线速度较大，选项 B 错误；公转加速度 anGMr2，故地球公转的加速度较大，选项 C 错误；公转角速度 GMr3，故地球公转的角速度较大，选项 D 正确答案 D规 律 方 法解决天体运动的关键点(1)紧扣一个物理模型：就是将天体(或卫星)的运动看成是匀速圆周运动(2)紧扣一个物体做圆周运动的动力学
14、特征：即天体或卫星的向心力由万有引力提供(3)记住一个结论：在向心加速度、线速度、角速度和周期四个物理量中，只有周期的值随着轨道半径的变大而增大，其余的三个都随轨道半径的变大而减小|对点训练|4据报道，天文学家近日发现了一颗距地球 40 光年的“超级地球”，名为“55 Cancrie”，该行星绕母星(中心天体)运行的周期约为地球绕太阳运行周期的 1480，母星的体积约为太阳的 60倍假设母星与太阳密度相同，“55 Cancrie”与地球均做匀速圆周运动，则“55 Cancrie”与地球的()A轨道半径之比约为360480B轨道半径之比约为3604802C向心加速度之比约为3604802D向心加
15、速度之比约为360480解析：选 B 由公式 GMmr2 m2T2r，可得通式 r5火星直径约为地球的一半，质量约为地球的十分之一，它绕太阳公转的轨道半径约为地球公转半径的 1.5 倍根据以上数据，以下说法中正确的是()A火星表面重力加速度的数值比地球表面的大B火星公转的周期比地球的长C火星公转的线速度比地球的大D火星公转的向心加速度比地球的大解析：选 B 由 GMmR2 mg 得 gGMR2，计算得火星表面的重力加速度约为地球表面的25，A 项错误；由 GMmr2 m2T2r 得 T2r3GM，公转轨道半径大的周期长，B 项正确；由 vGMr 判断轨道半径大的线速度小，C 项错误；公转向心加速度 aGMr2，可以判断火星的向心加速度小，D 项错误6“嫦娥一号”和“嫦娥二号”卫星相继完成了对月球的环月飞行，标志着我国探月工程的第一阶段已经完成设“嫦娥二号”卫星环绕月球的运动为匀速圆周运动，它距月球表面的高度为 h，已知月球的质量为 M、半径为 R，引力常量为 G，则卫星绕月球运动的向心加速度 a_，线速度 v_.解析：万有引力提供卫星运动的向心力，有 G MmRh2ma，解得 a GMRh2.由 G MmRh2m v2Rh，解得 vGMRh.答案：GMRh2 GMRh课堂小结word部分：请做：课时分层训练练规范、练能力、学业过关点此进入该word板块