1、北京市海淀区首都师范大学附属中学2019-2020学高一数学下学期期中试题（B）（含解析）一、单选题1.已知函数,的部分图象如图所示,则 ( )A. 3B. C. 1D. 【答案】A【解析】【分析】由可求得，由可求得，再由可求得，从而可得的解析式，进而可求.【详解】，代入得，又，故选A.【点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.2.的展开式中的常数项为（ ）A. 12B. 12C. 6D. 6【答案】A【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中,令的幂指数等于0,求出的值,进而求得常数项.
2、【详解】解:展开式中的通项公式为,令,解得,故展开式中的常数项为,故选:A【点睛】本题考查二项式展开式的常数项,属于基础题.3.已知，则（ ）A. B. -8C. D. 8【答案】D【解析】【详解】根据题意，从而得到，而 ，故选D.4.已知函数，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析： 因为，设的最小正周期为，则，所以的最小值为，故选C.考点：三角函数的周期和最值5.某颜料公司生产两种产品，其中生产每吨产品，需要甲染料1吨，乙染料4吨，丙染料2吨，生产每吨产品，需要甲染料1吨，乙染料0吨，丙染料5吨，且该公司一条之内甲、乙
3、、丙三种染料的用量分别不超过50吨、160吨和200吨，如果产品的利润为300元/吨，产品的利润为200元/吨，则该颜料公司一天之内可获得的最大利润为（ ）A. 14000元B. 16000元C. 16000元D. 20000元【答案】A【解析】依题意，将题中数据统计如下表所示：设该公司一天内安排生产产品吨、产品吨，所获利润为元，依据题意得目标函数为，约束条件为欲求目标函数的最大值，先画出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示，则点，作直线，当移动该直线过点时，取得最大值，则也取得最大值（也可通过代入凸多边形端点进行计算，比较大小求得）.故.所以工厂每天生产产品40吨，产品10吨时，才可获得
4、最大利润，为14000元.选A.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.6.不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先得到内满足不等式的的范围，再根据正切函数的周期性，得到答案.【详解】当时，且单调递增，所以，因为的周期为，所以不等式的解集为.故选：A.【点睛】本题考查解三角函数不等式，正切函数周期性，属于简单题.7.函数的定义域是（ ）A. B. C. D.
5、【答案】B【解析】试题分析：，故选B.考点：函数的定义域.8.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示若将运动员按成绩由好到差编为135号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间上的运动员人数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【详解】试题分析：抽样方法为系统抽样，总数是人，抽人，也就是个人抽一个，有人，包含第3、4、5四个组，所以抽取个考点：1、茎叶图；2.系统抽样【易错点晴】在系统抽样中，首先要对样本进行编号，本次是由小到大编号；抽样的方法是个个的抽，这个题目易错的地方就是题目给定的区间，这个区间的长度仅为，但是里面有个样本，这个必
6、须从茎叶图里面分析出来，区间端点必须包括进去.9.已知x，则“x”是“sin（sinx）cos（cosx）成立”的（ ）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：当x时，sinxcosx所以0sinxcosx于是sin（sinx）sin（cosx）cos（cosx），充分性成立.取x，有sin（sinx）sin（）sin0cos（cosx）cos（）cos0所以sin（sinx）cos（cosx）也成立，必要性不成立故选C考点：三角函数的性质，充要条件10.设集合A.=,则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】
7、直接利用交集、并集的定义求解即可.【详解】集合,又,故选C.【点睛】考查的是集合交、并、补的简单基本运算.属于集合简单运算问题.此类问题只要审题清晰、做题时按部就班基本上就不会出错.二、填空题11.已知向量，的夹角为，则_.【答案】2【解析】，的夹角为故答案为2.12.函数的定义域为_.【答案】【解析】【分析】根据对数函数的真数大于0，列出不等式求解集即可详解】对数函数f（x）log2（x1）中，x10，解得x1；f（x）的定义域为（1，+）故答案为（1，+）【点睛】本题考查了求对数函数的定义域问题，是基础题13.在闭区间 1，1上任取两个实数，则它们的和不大于1的概率是 .【答案】【解析】设
8、这两个数分别为x,y，则试验的区域，事件发生的区域.14.命题：“若，则”逆否命题是_.【答案】若，则【解析】【分析】根据逆否命题的定义即可得到结论【详解】命题“若，则”的逆否命题是：若，则故答案为若，则【点睛】本题主要考查四种命题之间的关系，即原命题与逆否命题的形式15.已知函数f(x)=其中为常数，且，则_.【答案】3【解析】【分析】由为奇函数，可得，从而得到结果.【详解】令，又为奇函数，为奇函数，为奇函数，又，故答案为：3点睛】本题考查函数奇偶性，考查整体思想，属于中档题.三、解答题16.现有甲、乙两个投资项目，对甲项目投资十万元，据对市场份样本数据统计，年利润分布如下表：年利润万元万元
9、万元频数对乙项目投资十万元，年利润与产品质量抽查的合格次数有关，在每次抽查中，产品合格的概率均为，在一年之内要进行次独立的抽查，在这次抽查中产品合格的次数与对应的利润如下表：合格次数次次次年利润万元万元万元记随机变量分别表示对甲、乙两个项目各投资十万元的年利润（1）求的概率；（2）某商人打算对甲或乙项目投资十万元，判断哪个项目更具有投资价值，并说明理由【答案】（1）；（2）从长期投资来看，项目甲更具有投资价值【解析】【分析】（1）由的所有情况共有,由此能求出的概率；（2）求出随机变量的分布列和及随机变量的分布列和,由,且的概率比的概率更大,得到从长期投资来看,项目甲更具有投资价值【详解】（1）
10、的所有情况有:,所以.（2）随机变量的分布列为:1.21.00.9所以,随机变量的分布列为：1.31.10.6所以,因为,且的概率比的概率更大,所以从长期投资来看,项目甲更具有投资价值.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和期望,考查概率公式的应用,考查数据分析能力.17.已知集合，集合.（1）当，求；（2）若，求实数取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）化简集合，得到，或，求交集即可.（2），分类讨论和，解不等式即可.【详解】解：（1）因为，所以.或，.（2）.当时，.当时，.综上：【点睛】本题主要考查了集合的运算，同时考查了子集关系和对数不等式，计算能力是解题的关键，属于
11、简单题.18.已知是实数, 关于的方程在区间上有实根, 求的取值范围.【答案】【解析】【详解】（1）当时, 令得,在上无零点, 故.（2）当时,的对称轴为. 当,即时,须使,即的解集为.当,即时,须使,即,解得,的取值范围是.（3）当时, 当,即时,须有,即,解得或,又的取值范围是.当时,即时,须有,即,解集为.综上所述 ,的取值范围是.19.如图所示，已知，试用、表示下列各式：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】将（1）、（2）、（3）中的每个向量利用共起点的向量的差向量表示，再利用平面向量加法和减法运算可得出结果.【详解】（1）；（2）；（3）.【点睛】
12、本题考查平面向量减法的三角形法则，以及平面向量的加减法运算，解题时要将问题的向量利用共起点的向量加以表示，属于基础题.20.已知不共线，向量，且，求k的值.【答案】【解析】【分析】由向量平行，得存在，使得，再利用不共线可得【详解】，由共线向量，知存在，使得，即不共线，即.【点睛】本题考查平面向量共线定理，掌握平面向量共线的充要条件是解题基础21.若，设其定义域上的区间（）.（1）判断该函数的奇偶性，并证明；（2）当时，判断函数在区间（）上的单调性，并证明；（3）当时，若存在区间（），使函数在该区间上的值域为，求实数的取值范围.【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）在（）为增函数，证明见解析；
13、（3）【解析】【分析】（1）首先求出函数的定义域，再根据定义法证明函数的奇偶性；（2）利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；（3）由（1）得，当时，在为减函数，故若存在定义域，使值域为，则有，从而问题可转化为，是方程的两个解，进而问题得解【详解】解：（1）因为由解得或，即的定义域为，关于原点对称为奇函数.（2）在（）为增函数；证明：的定义域为，则设，则，且，即，因为时，所以，即，所以在（）为增函数 （3）由（1）得，当时，在（）为递减函数，若存在定义域（），使值域为，则有，是方程在上的两个相异的根，即，即在上两个相异的根，令，则在有2个零点，解得即当时，当时，方程组无解，即（）不存在【点睛】本题主要考查函数奇偶性的证明以及函数单调性和值域的关系，结合对数函数的性质转化为一元二次方程，利用根的分布是解决本题的关键，考查学生的转化能力，属于难题
