1、1.5 函数 yAsin(x)的图象(一)学习目标 1.理解 yAsin(x)中，A 对图象的影响.2.掌握 ysin x 与 yAsin(x)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤知识点一(0)对函数 ysin(x)，xR 的图象的影响思考 1 如何由 yf(x)的图象变换得到 yf(xa)的图象？答案 向左(a0)或向右(a0)平移|a|个单位长度思考 2 如何由 ysin x 的图象变换得到 ysinx6 的图象？答案 向左平移6个单位长度梳理 如图所示，对于函数 ysin(x)(0)的图象，可以看作是把 ysin x 的图象上所有的点向左(当 0 时)或向右(当 0)的图象，可以看
2、作是把 ysin(x)的图象上所有点的横坐标缩短(当 1 时)或伸长(当 00，0)的图象，可以看作是把 ysin(x)图象上所有点的纵坐标伸长(当 A1 时)或缩短(当 0A1)倍，则得到函数 ysin x.若纵坐标伸长为原来的 A(A1)倍，则得到函数 yAsin x，两者可理解为横向伸缩是反比例伸缩变换，纵向伸缩是正比例伸缩变换跟踪训练 2(2017合肥高一检测)把 ysin 12x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的14倍(纵坐标不变)得到的解析式是_考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换题点 三角函数图象的伸缩变换答案 ysin 2x类型三 图象变换的综合应用例 3 把函数 yf(x)
3、的图象上的各点向右平移6个单位长度，然后把横坐标伸长到原来的 2 倍，再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图象的解析式是 y2sin12x3，求 f(x)的解析式考点 三角函数图象的综合应用题点 三角函数图象的综合应用解 y2sin12x3 纵坐标伸长到原来的32倍y3sin12x3 横坐标缩短到原来的12倍y3sinx3 向左平移6个单位长度y3sinx63 3sinx2 3cos x.所以 f(x)3cos x.反思与感悟(1)已知变换途径及变换后的函数解析式，求变换前函数图象的解析式，宜采用逆变换的方法(2)已知函数 f(x)图象的伸缩变换情况，求变换前后图象的解析式要明确伸缩的方向及量，
4、然后确定出 A 或 即可跟踪训练 3 将函数 y2sinx3 的图象向左平移 m(m0)个单位长度后，所得图象对应的函数为偶函数，则 m 的最小值为()A.12B.6C.3D.56考点 三角函数图象的综合应用题点 三角函数图象的综合应用答案 B解析 因为函数 y2sinx3 的图象向左平移 m 个单位长度，所得图象对应的函数为 y2sinx3m，所以3mk2，kZ，即 mk6，kZ.又 m0，所以 m 的最小值为6，故选 B.1将函数 y2sin2x6 的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为()Ay2sin2x4By2sin2x3Cy2sin2x4Dy2sin2x3考点 三角函数图象
5、的平移变换和伸缩变换题点 三角函数图象的平移变换答案 D解析 函数 y2sin2x6 的周期为 T22，向右平移14个周期，即向右平移4个单位长度后，得到图象对应的函数为 y2sin2x4 6 2sin2x3，故选 D.2要得到 ysinx23 的图象，只要将函数 ysin x2的图象()A向左平移3个单位长度B向右平移3个单位长度C向左平移23 个单位长度D向右平移23 个单位长度考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换题点 三角函数图象的平移变换答案 C3要得到函数 ycos2x3 的图象，只需将函数 ysin 2x 的图象()A向左平移512个单位长度B向右平移512个单位长度C向左平移5
6、6 个单位长度D向右平移56 个单位长度考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换题点 三角函数图象的平移变换答案 A解析 ycos2x3 sin22x3sin2x56 sin2x512.由题意知，要得到 ysin2x56 的图象，只要将 ysin 2x 的图象向左平移512个单位长度4将 函数 y sin(2x)的图象向左平移4 个单位长度，所得 函数图象的解析式 为_考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换题点 三角函数图象的平移变换答案 ycos 2x解析 ysin(2x)左移4个单位长度ysin2x4，即 ysin2x2 sin2x2 cos 2x.5将函数 f(x)3cos 2x 的图象纵
7、坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)，再向左平移6个单位长度后得到函数 g(x)的图象，则 g 3 _.考点 三角函数图象的综合应用题点 三角函数图象的综合应用答案 2 3解析 将函数 f(x)3cos 2x 的图象纵坐标伸长到原来的 2 倍，所得图象对应的解析式为 y2 3cos 2x，则 g(x)2 3cos 2x6 2 3cos2x3，故 g 3 2 3cos233 2 3.1由 ysin x 的图象，通过变换可得到函数 yAsin(x)(A0，0)的图象，其变化途径有两条(1)ysin x 相位变换ysin(x)周期变换ysin(x)振幅变换yAsin(x)(2)ysin x 周期变
8、换ysin x 相位变换ysinxsin(x)振幅变换yAsin(x)注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|个单位长度(2)是先周期变换后相位变换，平移|个单位长度，这是很易出错的地方，应特别注意2类似地，yAcos(x)(A0，0)的图象也可由 ycos x 的图象变换得到.一、选择题1(2017湖州期末)要得到函数 ysin2x3 的图象，只需将函数 ysin 2x 的图象()A向右平移6个单位长度B向左平移6个单位长度C向右平移3个单位长度D向左平移3个单位长度考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换题点 三角函数图象的平移变换答案 A解
9、析 因为函数 ysin2x3 sin2x6，所以只需将函数 ysin 2x 的图象向右平移6个单位长度即可2若把函数 ysinx3 的图象向右平移 m(m0)个单位长度后，得到 ysin x 的图象，则 m的最小值为()A.6B.56C.3D.23考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换题点 三角函数图象的平移变换答案 C解析 依题意，ysinxm3 sin x，m32k(kZ)，m32k(kZ)，又 m0，m 的最小值为3.3为得到函数 ycosx3 的图象，只需将函数 ysin x 的图象()A向左平移6个单位长度B向右平移6个单位长度C向左平移56 个单位长度D向右平移56 个单位长度考点
10、 三角函数图象的平移变换和伸缩变换题点 三角函数图象的平移变换答案 C解析 ycosx3 sinx3 2sinx56，所以只需将函数 ysin x 的图象向左平移56 个单位长度4把函数 ysin2x4 的图象向右平移8个单位长度，所得图象对应的函数是()A非奇非偶函数B既是奇函数又是偶函数C奇函数D偶函数考点 三角函数图象的综合应用题点 三角函数图象的综合应用答案 D解析 ysin2x4 的图象向右平移8个单位得到 ysin2x8 4 sin2x2 cos 2x的图象，ycos 2x 是偶函数5(2017荆州高一检测)把函数 ycos 2x1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐
11、标不变)，然后向右平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到的图象是()考点 三角函数图象的综合应用题点 三角函数图象的综合应用答案 B解析 把函数 ycos 2x1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，得 y1cos x1，向右平移 1 个单位长度，得 y2cos(x1)1，再向下平移 1 个单位长度，得 y3cos(x1)令 x0，得 y30，令 x21，得 y30，观察即得答案6函数 f(x)sin(x)的图象上所有的点向左平移2个单位长度若所得图象与原图象重合，则 的值不可能等于()A4B6C8D12考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换题点 三角函数
12、图象的平移变换答案 B解析 对于 B 选项，f(x)sin(6x)的图象向左平移2个单位长度，得 ysin6x2 sin(6x)sin(6x)的图象7为了得到函数 y2sinx36，xR 的图象，只需把函数 y2sin x，xR 的图象上所有的点()A向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)B向右平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)C向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变)D向右平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变)考点 三角函数图象的综合应用题点 三角函数图象
13、的综合应用答案 C解析 先将 y2sin x，xR 的图象向左平移6个单位长度，得到函数 y2sinx6，xR的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变)，得到函数 y2sinx36，xR 的图象二、填空题8函数 y12sin2x4 的图象可以看作把函数 y12sin 2x 的图象向_平移_个单位长度得到的考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换题点 三角函数图象的平移变换答案 右 89将函数 ycos 2x 的图象向右平移3个单位长度，所得图象对应的解析式为_考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换题点 三角函数图象的平移变换答案 ycos2x23解析 由题意得所得图象对
14、应的解析式为 ycos 2x3 cos2x23.10将函数 f(x)sin(x)0，22 的图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移6个单位长度得到 ysin x 的图象，则 f 6 _.考点 三角函数图象的综合应用题点 三角函数图象的综合应用答案 22解析 ysin x 的图象向左平移6个单位长度，得到 ysinx6 的图象，再对每一点的横坐标伸长为原来的 2 倍，得到 ysin12x6 的图象，即为 f(x)sin(x)的图象，所以 f(x)sin12x6，f 6 22.11要得到 ysinx23 的图象，需将函数 ycosx2的图象上所有的点至少向左平移_个单位长度考
15、点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换题点 三角函数图象的平移变换答案 113解析 cosx2sinx22，将 ysinx22 的图象上所有的点向左平移(0)个单位长度得 ysinx222 的图象令222k3，kZ.4k3，kZ.当 k1 时，113 是 的最小正值12某同学给出了以下判断：将 ycos x 的图象向右平移2个单位长度，得到 ysin x 的图象；将 ysin x 的图象向右平移 2 个单位长度，可得到 ysin(x2)的图象；将 ysin(x)的图象向左平移 2 个单位长度，得到 ysin(x2)的图象；函数 ysin2x3 的图象是由 ysin 2x 的图象向左平移3个单位长
16、度而得到的其中正确的结论是_(将所有正确结论的序号都填上)考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换题点 三角函数图象的平移变换答案 三、解答题13使函数 yf(x)的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12倍，然后再将其图象沿 x 轴向左平移6个单位长度得到的曲线与 ysin 2x 的图象相同，求 f(x)的表达式考点 三角函数图象的综合应用题点 三角函数图象的综合应用解 方法一(正向变换)yf(x)横坐标缩短到原来的12倍 yf(2x)沿x轴向左平移6个单位长度yf2x6，即 yf2x3，f2x3 sin 2x.令 2x3t，则 2xt3，f(t)sint3，即 f(x)sinx
17、3.方法二(逆向变换)根据题意，ysin 2x 沿x轴向右平移6个单位长度ysin 2x6 sin2x3横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变ysinx3.四、探究与拓展14(2017绍兴柯桥区期末)将函数 f(x)12sin(2x)的图象向左平移6个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，所得图象关于直线 x3对称，则|的最小值为_考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换题点 三角函数图象的平移变换答案 6解析 f(x)12sin(2x)向左平移6个单位长度后得到12sin2x3，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到12sinx3，此函数图象关于
18、 x3对称，所以令 x3得 sin33 sin23 1，所以23 2k，kZ，得 6k，kZ，则|的最小值为6.15已知函数 f(x)2sin x，其中常数 0.(1)若 yf(x)在4，23 上单调递增，求 的取值范围；(2)令 2，将函数 yf(x)的图象向左平移6个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到函数 yg(x)的图象，区间a，b(a，bR 且 a0，根据题意有42，23 2，解得 034.所以 的取值范围为0，34.(2)由题意知 f(x)2sin 2x，g(x)2sin2x612sin2x3 1，由 g(x)0 得，sin2x3 12，解得 xk4或 xk 712，kZ，即 g(x)的零点相离间隔依次为3和23，故若 yg(x)在a，b上至少含有 30 个零点，则 ba 的最小值为 1423 153433.