1、数学（理科）试题第I卷（选择题)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有一项是符合要求的.1已知集合，则等于（ ）A BC D2已知复数，则下列说法正确的是（ ）A复数z的实部为3B复数z的共轭复数为：C复数z部虚部为：D复数z的模为53设，则，的大小关系是（ ）A.B.C.D.4记为等比数列的前n项和，若，则（ ）ABCD5某企业引进现代化管理体制，生产效益明显提高2018年全年总收入与2017年全年总收入相比增长了一倍，同时该企业的各项运营成本也随着收入的变化发生了相应变化下图给出了该企业这两年不同运营成本占全年总收入的比例，下列说法正确的是（ ）A该
2、企业2018年设备支出金额是2017年设备支出金额的一半B该企业2018年支付工资金额与2017年支付工资金额相等C该企业2018年用于研发的费用是2017年用于研发的费用的五倍D该企业2018年原材料的费用是2017年原材料的费用的两倍6函数的图象可能是下面的图象（ ）ABCD7执行如图所示程序框图，若输入的，则输出的（ ）A BC D8已知函数，若，则的值等于（ ）A或BCD9某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关的过关率分别为，只有通过前一关才能进入下一关，其中，第三关有两次闯关机会，且通过每关相互独立一选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为（ ）ABCD10关于函数 有下述三个结论
3、：函数的图象既不关于原点对称，也不关于轴对称；函数的最小正周期为；，其中正确结论的个数为（ ）A0B1C2D311设椭圆：的两焦点分别为，以为圆心，为半径的圆与交于，两点，若为直角三角形，则的离心率为（ ）ABCD12已知函数，方程有4个不同的实数根，则的取值范围是（ ）ABCD第II卷（非选择题)二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13函数的图象在点处的切线方程是 _14已知平面向量满足，且，则_15中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能（六艺）：礼、乐、射、御、书、数某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，排课有如下要求：“射”不能排在第一，“数”不能排
4、在最后，则“六艺”讲座不同的排课顺序共有_种16已知四面体内接于球O，且，若四面体的体积为，球心O恰好在棱DA上，则球O的表面积是_三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算过程第1721题为必答题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选做题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）在中，角的对边分别为，且（1）求的大小；（2）若的外接圆的半径为，面积为，求的周长18（12分）某高铁站停车场针对小型机动车收费标准如下：2小时内（含2小时）每辆每次收费5元；超过2小时不超过5小时，每增加一小时收费增加3元，不足一小时的按一小时计费；超过5小时至24小时内（含24小时）收
5、费15元封顶超过24小时，按前述标准重新计费为了调查该停车场一天的收费情况，现统计1000辆车的停留时间（假设每辆车一天内在该停车场仅停车一次），得到下面的频数分布表：T（小时）频数（车次）以车辆在停车场停留时间位于各区间的频率代替车辆在停车场停留时间位于各区间的概率（1）X表示某辆车在该停车场停车一次所交费用，求X的概率分布列及期望；（2）现随机抽取该停车场内停放的3辆车，表示3辆车中停车费用少于的车辆数，求的概率19（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，为正三角形，且侧面底面，为线段的中点，在线段上（1）当是线段的中点时，求证：平面；（2）是否存在点，使二面角的大小为，若存在，
6、求出的值；若不存在，请说明理由20（12分）已知点是椭圆C：上的一点，椭圆C的离心率与双曲线的离心率互为倒数，斜率为直线l交椭圆C于B，D两点，且A、B、D三点互不重合（1）求椭圆C的方程；（2）若分别为直线AB，AD的斜率，求证：为定值 21（12分）已知函数 （1）求函数的单调区间；（2）当时，证明：对任意的,（二）选考题：共10分请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22选修4-4：坐标系与参数方程（10分）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，若直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是，（为参数）（1）求直线的直角坐
7、标方程和曲线的普通方程；（2）设直线与曲线交于两点，求23选修4-5：不等式选讲（10分）已知，（1） 求证：；（2）求证：高三数学（理科）参考答案一、单选题1已知集合，则等于（ ）ABCD1【答案】D【解析】，则所以本题答案为D2已知复数，则下列说法正确的是（ ）A复数z的实部为3B复数z的共轭复数为：C复数z部虚部为：D复数z的模为52【答案】B【解析】，则实部为，虚部为，共轭复数为：，模为选B3设，则，的大小关系是（ ）A.B.C.D.3【答案】B【解析】B根据指数函数的单调性可得：，即， ，即，由于，根据对数函数的单调性可得：，即，所以，故答案选B.4记为等比数列的前n项和，若，则（
8、）ABCD4【答案】D【解析】设公比为q，有解得则故选D5某企业引进现代化管理体制，生产效益明显提高2018年全年总收入与2017年全年总收入相比增长了一倍同时该企业的各项运营成本也随着收入的变化发生了相应变化下图给出了该企业这两年不同运营成本占全年总收入的比例，下列说法正确的是（ ）A该企业2018年设备支出金额是2017年设备支出金额的一半B该企业2018年支付工资金额与2017年支付工资金额相当C该企业2018年用于研发的费用是2017年用于研发的费用的五倍D该企业2018年原材料的费用是2017年原材料的费用的两倍5【答案】C【解析】由折线图可知：不妨设2017年全年的收入为t，则20
9、18年全年的收入为2t，对于选项A，该企业2018年设备支出金额为022t04t，2017年设备支出金额为04t04t，故A错误，对于选项B，该企业2018年支付工资金额为022t04t，2017年支付工资金额为02t02t，故B错误，对于选项C，该企业2018年用于研发的费用是0252t05t，2017年用于研发的费用是01t01t，故C正确，对于选项D，该企业2018年原材料的费用是032t06t，2017年原材料的费用是015t015t，故D错误，故选：C6函数的图象可能是下面的图象（ ）ABCD6【答案】C【解析】因为，所以函数的图象关于点对称，排除当时，所以，排除。选。7执行如图所示
10、程序框图，若输入的，则输出的（ ）ABCD7【答案】C【解析】根据程序框图的循环语句可知第一次循环，此时，；第二次循环，此时，；第三次循环，此时，；第四次循环，此时，；第五次循环，此时，；第六次循环，不满足，循环停止，输出.故选项8已知函数，若，则的值等于（ ）A或BCD8【答案】A【解析】由题意有，当时，则，解得，当时，则，解得，综上可得或，故选A9某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关的过关率分别为，只有通过前一关才能进入下一关，其中，第三关有两次闯关机会，且通过每关相互独立一选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为（ ）ABCD9【答案】D【解析】第一种情况：该选手通过前三关，进入第四
11、关，所以,第二种情况：该选手通过前两关，第三关没有通过，再来一次通过，进入第四关，所以所以该选手能进入第四关的概率为故选：D10关于函数 有下述三个结论：函数的图象既不关于原点对称，也不关于轴对称；函数的最小正周期为；， 其中正确结论的个数为（ ）A0B1C2D310【答案】B【解析】依题意，故函数的图象关于轴对称，故错误；因为 故是函数的一个周期，且当时，故正确，错误故选B11设椭圆：的两焦点分别为，以为圆心，为半径的圆与交于，两点，若为直角三角形，则的离心率为（ ）ABCD11【答案】B【解析】如图所示，因为为直角三角形，所以，所以，则，解得，故选B 12已知函数，方程有4个不同的实数根，
12、则的取值范围是（ ）ABCD12【答案】A【解析】由图像分析可知，当时应有两解，即，解得，此时应满足，解得当，若与图像相切，设切点坐标为，由，又，即联立可得，综上所述，答案选A第II卷（非选择题)二、填空题13函数的图象在点处的切线方程是 _13【答案】【解析】，所以，切线方程为，即14已知平面向量满足，且，则_14【答案】【解析】，则，故答案为15中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能（六艺）：礼、乐、射、御、书、数某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，排课有如下要求：“射”不能排在第一，“数”不能排在最后，则“六艺”讲座不同的排课顺序共有_种15【答案】504【解
13、析】第一种情况，当“射”排最后一位时，共有种方法第二种情况，当“射”排中间4个位置中的1个时共有种方法不同的排列方式共有种所以“六艺”讲座不同的排课顺序共有504种16已知四面体内接于球O，且，若四面体的体积为，球心O恰好在棱DA上，则球O的表面积是_16【答案】【解析】如图:在三角形ABC中,因为,所以 为直角三角形,所以三角形ABC的外接圆的圆心为AC的中点,连,根据垂径定理,可得平面,因为 为的中点可知平面,所以为四面体的高所以,解得所以所以四面体的外接球的半径为,表面积为=三、解答题17在中，角的对边分别为，且（1）求的大小；（2）若的外接圆的半径为，面积为，求的周长17【答案】（1）
14、；（2）【解析】（1）因为，由正弦定理可得，.1分由三角形内角和定理和诱导公式可得，.2分代入上式可得，.3分所以因为，所以，即.4分由于，所以.5分（2）因为的外接圆的半径为，由正弦定理可得，.6分又的面积为，所以，即，所以.7分由余弦定理得，.8分则，.10分所以，即.11分所以的周长.12分18某高铁站停车场针对小型机动车收费标准如下：2小时内（含2小时）每辆每次收费5元；超过2小时不超过5小时，每增加一小时收费增加3元，不足一小时的按一小时计费；超过5小时至24小时内（含24小时）收费15元封顶超过24小时，按前述标准重新计费为了调查该停车场一天的收费情况，现统计1000辆车的停留时间
15、（假设每辆车一天内在该停车场仅停车一次），得到下面的频数分布表：T（小时）频数（车次）以车辆在停车场停留时间位于各区间的频率代替车辆在停车场停留时间位于各区间的概率（1）X表示某辆车在该停车场停车一次所交费用，求X的概率分布列及期望；（2）现随机抽取该停车场内停放的3辆车，表示3辆车中停车费用少于的车辆数，求的概率18【答案】(1)见解析； (2) 【解析】（1）由题意知，X的可取值为5，8，11，14，15，因此， .4分所以X的分布列为：X58111415 .6分（2）依题意得 .8分所以.12分19如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，为正三角形，且侧面底面，为线段的中点，在线段上（1
16、）当是线段的中点时，求证：平面；（2）是否存在点，使二面角的大小为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由19【答案】（1）见解析；（2）存在【解析】（1）证明：连接交于点，连接，四边形是菱形，点为的中点，又为的中点，又平面，平面，平面.4分（2）是菱形，是的中点，又平面，以为原点，分别以，为，轴，建立空间直角坐标系，.5分则，.6分假设棱上存在点，设点坐标为，则，.7分设平面的法向量为，则，解得令，则，得.8分平面，平面的法向量，.9分，.10分二面角的大小为，即，解得，或（舍去）.11分在棱上存在点，当时，二面角的大小为.12分20已知点是椭圆C：上的一点，椭圆C的离心率与双曲线的离心率互
17、为倒数，斜率为直线l交椭圆C于B，D两点，且A、B、D三点互不重合（1）求椭圆C的方程；（2）若分别为直线AB，AD的斜率，求证：为定值20【答案】（1）（2）详见解析【解析】（1）由题意，可得e=，代入A（1，）得，.2分又，解得，.3分所以椭圆C的方程.4分（2）证明：设直线BD的方程为y=x+m，又A、B、D三点不重合，设D（x1，y1），B（x2，y2），则由得4x2+2mx+m2-4=0.6分所以=-8m2+640，所以mx1+x2=-m，.7分设直线AB、AD的斜率分别为：kAB、kAD，则kAD+kAB=.9分=.11分所以kAD+kAB=0，即直线AB，AD的斜率之和为定值.1
18、2分21已知函数 （1）求函数的单调区间；（2）当时，证明：对任意的,21【答案】（1）函数在区间上单调递增，在区间上单调递减（2）见解析【解析】解：（1）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+），由已知得.1分当a0时，f（x）0，函数f（x）在（0，+）上单调递增，所以函数f（x）的单调递增区间为（0，+）.3分当a0时，由f（x）0，得，由f（x）0，得，所以函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为综上，当a0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+）；当a0时，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为 .5分（2） 证明：当a=1时，不等式f（x）+exx2+x+2可变为ex
19、lnx20，令h（x）=exlnx2，则，可知函数h（x）在（0，+）单调递增，.7分而，.8分所以方程h（x）=0在（0，+）上存在唯一实根x0，即.9分当x（0，x0）时，h（x）0，函数h（x）单调递减；当x（x0，+）时，h（x）0，函数h（x）单调递增； .10分所以.11分即exlnx20在（0，+）上恒成立，所以对任意x0，f（x）+exx2+x+2成立.12分（二）选考题：共10分请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。22选修4-4：坐标系与参数方程（10分）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，若直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是，（为参数）（1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；（2）设直线与曲线交于两点，求22【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）由，得，由，得，.2分因为，消去得，所以直线的直角坐标方程为，曲线的普通方程为.5分（2）点的直角坐标为，点在直线上，设直线的参数方程为（为参数），代入，得，.6分设点对应的参数分别为，则，.7分所以.10分23选修4-5：不等式选讲（10分）已知，（1） 求证：；（2）求证：23【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1），取等号.5分（2），所以，取等号.10分