1、第八章 机械能守恒定律一、功的正、负判断和计算方法及功率的计算【典例1】(多选)如图所示，一端可绕O点在竖直面内自由转动的长木板上方放一个物块，手持木板的另一端，使木板从水平位置沿顺时针方向缓慢旋转，则在物块相对于木板滑动前的过程中()A.重力做正功B.摩擦力做负功C.摩擦力不做功D.支持力不做功【解析】选A、C。重力与速度方向成锐角，重力做正功；摩擦力与速度方向垂直，摩擦力不做功；支持力与速度方向成钝角，支持力做负功。综上所述，A、C项正确。【方法技巧】1.如何判断力F做功的正负：(1)利用功的计算公式W=Flcos。此法常用于判断恒力做功的情况。(2)利用力F与物体速度v之间的夹角情况来判
2、断，设其夹角为，若090，则力F做正功；若=90，则力F不做功； 若90v2时，物体受摩擦力向前，传送带对物体先做正功后不做功，C正确。当v1v2时，物体受摩擦力向后，传送带对物体先做负功后不做功，B错、D对。5.水平面上一质量为m的物体，在水平力F作用下开始加速运动，力F的功率P保持恒定，运动过程所受的阻力f大小不变，物体速度最终达到稳定值vm，F作用过程物体的速度v的倒数与加速度a的关系图像如图所示，仅在已知功率P的情况下，根据图像所给的信息()A.可求出m，f和vmB.不能求出mC.不能求出fD.可求出加速运动时间【解析】选A。由F-f=ma，P=Fv可得=+，对应图线可知，=k=，可求
3、出汽车的质量m，由a=0时，=0.1可得vm=10 m/s，再由vm=，可求出汽车受到的阻力f，但无法求出汽车加速运动时间，A正确。6.(多选)在平直的公路上，汽车由静止开始做匀加速运动。当速度达到vm后，立即关闭发动机而滑行直到停止。v -t图线如图所示，汽车的牵引力大小为F1，摩擦力大小为F2。全过程中，牵引力做的功为W1，克服摩擦阻力做功为W2。以下有关F1、F2及W1、W2间关系的说法正确的是()A.F1F2=13B.F1F2=43C.W1W2=11D.W1W2=13【解析】选B、C。由v -t图线知，汽车在前后两阶段的加速度大小之比为a1a2=13。由于F1-F2=ma1，F2=ma
4、2，所以F1F2=43，B正确，A错误；汽车存在牵引力时前进的位移为x1，牵引力做的功W1=F1x1，汽车整个过程前进的位移为x2，整个过程汽车克服摩擦力做功W2=F2x2。又由v -t图线知x1x2=34，故W1W2=11，C正确，D错误。7.物体放在水平地面上，在水平拉力的作用下，沿水平方向运动，在06 s内其速度与时间关系的图像和拉力的功率与时间关系的图像如图所示，由图像可以求得物体的质量为()A. kgB. kgC. kgD. kg【解析】选B。在2 s时刻汽车的功率增大到最大，由P=Fv可知此时牵引力F=5 N，之后以10 W的功率，6 m/s的速度匀速运动，此时牵引力等于阻力，由P
5、=Fv和F=f可知阻力为 N，在匀加速阶段加速度为3 m/s2，由牛顿第二定律F-f=ma，m= kg，B对。8.(多选)用一水平拉力使质量为m的物体从静止开始沿水平面运动，物体的v -t图像如图所示。若t2 =2t1 ，则下列表述正确的是()A.在0t1 时间内物体做曲线运动B.在0t1 时间内物体受到的合力逐惭变小C.物体在0t1 时间位移小于在t1t2 时间内位移D.在t1t2 时间内合力做功【解析】选B、C。v -t图像中速度只有两个方向即正方向和负方向，不可能是曲线运动，曲线运动速度方向时刻变化，选项A错。速度时间图像斜率代表加速度，在0t1 时间内斜率逐渐减小，即加速度变小，根据牛
6、顿第二定律F=ma ，加速度逐渐变小，合力逐渐变小，选项B对。速度时间图像的面积代表位移，在0t1 时间位移小于在t1t2 时间内位移选项C对。在t1t2 时间内速度不变，物体做匀速直线运动，合力为0，做功为0，选项D错。9.如图所示，一个表面光滑的斜面体M置于在水平地面上，它的两个斜面与水平面的夹角分别为、，且，M的顶端装有一定滑轮，一轻质细绳跨过定滑轮后连接A、B两个小滑块，细绳与各自的斜面平行，不计绳与滑轮间的摩擦，A、B恰好在同一高度处于静止状态。剪断细绳后，A、B滑至斜面底端，M始终保持静止。则()A.滑块A的质量大于滑块B的质量B.两滑块到达斜面底端时的速度相同C.两滑块到达斜面底
7、端时，A滑块重力的瞬时功率较大D.在滑块A、B下滑的过程中，斜面体受到水平向左的摩擦力【解析】选A、D。滑块A和滑块B沿着斜面方向的分力等大，故：mAgsin =mBgsin；由于mB，故A正确；滑块下滑过程机械能守恒，有：mgh=mv2，故v=，由于两个滑块的高度相等，故到达斜面底端速度相等，故B错误；滑块到达斜面底端时，滑块重力的瞬时功率：PA=mAgsinv，PB=mBgsinv；由于mAgsin=mBgsin，故PA=PB，故C错误；滑块A对斜面体压力等于重力的垂直分力mAgcos，滑块B对斜面体压力也等于重力的垂直分力mBgcos，如图所示NAsin-NBsin=mAgcossin-
8、mBgcossin0，故静摩擦力向左，故D正确；故选A、D。二、功能关系及摩擦力做功特点【典例2】如图所示，绷紧的传送带与水平面间的夹角=30，传送带在电动机的带动下，始终保持v=2 m/s的速率运行。 现把一质量为m=10 kg的工件(可看为质点)轻轻放在传送带的底端，经时间t=1.9 s，工件被传送到h =1.5 m的高处，取g取10 m/s2求：(1)工件与传送带间的动摩擦因数；(2)电动机由于传送工件多消耗的电能。【解析】(1)图中斜面长s=3 m，设工件经时间t1速度达到v，做匀加速运动的位移s1=vt1，工件速度达到v后做匀速运动的位移为s-s1=v(t-t1)，匀加速运动的加速度
9、a=，工件受的支持力F=mg cos，由牛顿第二定律，有F-mgsin=ma，解得动摩擦因数=；(2)在时间t1内：传送带运动位移s传送带=vt1，工件箱相对传送带位移s箱=s传送带-s1，摩擦发热Q=Fs箱，工件增加的动能Ek=mv2，工件增加的重力势能Ep=mgh电动机多消耗的电能W=Q+Ek+Ep，解得W=230 J。答案：(1)(2)230 J【方法技巧】1.力学中几种常用的功能关系：合力的功动能变化重力的功重力势能变化弹簧弹力的功弹性势能变化除重力、系统内弹力外的其他力的功机械能变化一对滑动摩擦力的总功内能变化2.动能定理的应用技巧：(1)明确研究对象和研究过程，找岀初、末状态的速度
10、。(2)对物体进行正确的受力分析(包括重力、弹力等)，明确各力的做功大小及正、负情况。(3)在计算功时，要注意有些力不是全过程都做功，必须根据不同情况分别对待，求岀总功。(4)若物体运动过程中包含几个不同的物理过程，解题时，可以分段考虑，也可视为一个整体过程，列岀动能定理求解。3.判断系统机械能是否守恒的方法：(1)方法一：用做功来判定，对某一系统，只有重力和系统内弹力做功，其他力不做功。(2)方法二：用能量转化来判定，系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化。4.静摩擦力做功的特点：(1)静摩擦力可以做正功、负功，还可以不做功。(2)在静摩擦力做功的过程中，只有机械能从一
11、个物体转移到另一个物体(静摩擦力起着传递机械能的作用)，而没有机械能转化为其他形式的能量。(3)相互摩擦的系统，一对静摩擦力所做功的代数和总等于零。5.滑动摩擦力做功的特点：(1)滑动摩擦力对物体可以做正功、负功，还可以不做功(如相对运动的两物体之一相对地面静止，滑动摩擦力对该物体不做功)。(2)一对滑动摩擦力在做功的过程中，能量的转化和转移的情况：一是相互摩擦的物体通过摩擦力做功，将部分机械能从一个物体转移到另一个物体；二是部分机械能转化为内能，此部分能量就是系统机械能损失的能量。(3)在相互摩擦的物体系统中，一对相互作用的滑动摩擦力所做功的代数和总是负值，其绝对值等于滑动摩擦力与相对路程的
12、积，即Wf=Ffx相对，表示物体克服了摩擦力做功，系统损失机械能，转变成内能，即E损=Ffx相对=Q相对(摩擦生热)【素养训练】1.如图，abc是竖直面内的光滑固定轨道，ab水平，长度为2R，bc是半径为R的四分之一圆弧，与ab相切于b点。一质量为m的小球，始终受到与重力大小相等的水平外力的作用，自a点处从静止开始向右运动，重力加速度大小为g。小球从a点开始运动到其轨迹最高点，机械能的增量为()A.2mgRB.4mgRC.5mgRD.6mgR【解析】选C。设小球运动到c点的速度大小为vc，则对小球由a到c的过程，由动能定理得：F3R-mgR=m，又F=mg，解得：=4gR，小球离开c点后，在水
13、平方向做初速度为零的匀加速直线运动，竖直方向在重力作用力下做匀减速直线运动，由牛顿第二定律可知，小球离开c点后水平方向和竖直方向的加速度大小均为g，则由竖直方向的运动可知，小球从离开c点到其轨迹最高点所需的时间为：t=2，小球在水平方向的加速度a=g，在水平方向的位移为x=at2=2R。由以上分析可知，小球从a点开始运动到其轨迹最高点的过程中，水平方向的位移大小为5R，则小球机械能的增加量E=F5R=5mgR，选项C正确，A、B、D错误。2.如图所示，A物体放在B物体的左侧，用水平恒力F将A拉至B的右端，第一次B固定在地面上，F做功为W1，产生热量为Q1，第二次让B在光滑地面上自由滑动，F做功
14、为W2，产生热量为Q2，则应有()A.W1W2，Q1=Q2B.W1=W2，Q1=Q2C.W1W2，Q1Q2D.W1=W2，Q1W1对A应用动能定理：(F-f)sA=EkA对B应用动能定理：fsB=EkB两式相加得(F-f)sA+fsB=EkA+EkB所以：Q2=FsA-EkA-EkB=fl=mgl=Q13.如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态。现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2 L(未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中()A. 圆环的机械能守恒B. 弹
15、簧弹性势能变化了mgLC. 圆环下滑到最大距离时，所受合力为零D. 圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变【解析】选B。圆环在下滑过程中，弹簧对其做负功，故圆环机械能减小 ，选项A错误； 圆环下滑到最大的距离时，由几何关系可知，圆环下滑的距离为L，圆环的速度为零，由能量守恒定律可知，弹簧的弹性势能增加量等于圆环重力势能的减小量，为mgL，故选项B正确； 圆环下滑过程中，所受合力为零时，加速度为零，速度最大，而下滑至最大距离时，物体速度为零，加速度不为零，所以选项C错误； 在下滑过程中，圆环的机械能与弹簧弹性势能之和保持不变，即系统机械能守恒，所以选项D错误。4.飞机场上运送行李的装置为一水平放
16、置的环形传送带，传送带的总质量为M，其俯视图如图所示。现开启电动机，传送带达到稳定运行的速度v后，将行李依次轻轻放到传送带上。若有n件质量均为m的行李需通过传送带运送给旅客。假设在转弯处行李与传送带无相对滑动，忽略传送带轮、电动机损失的能量。求从电动机开启，到运送完行李需要消耗的电能为多少？【解析】设行李与传送带间的动摩擦因数为，则传送带与行李间由于摩擦产生的总热量Q=nmgs由运动学公式得：s=s传-s行=vt-=又v=gt联立解得：Q=nmv2由能量守恒得：E=Q+Mv2+nmv2所以：E=Mv2+nmv2答案：Mv2+nmv25.(多选)行驶中的汽车制动后滑行一段距离，最后停下；流星在夜
17、空中坠落并发出明亮的火焰；降落伞在空中匀速下降。上述不同现象所包含的相同物理过程是()A.物体克服阻力做功B.物体的动能转化为其他形式的能量C.物体的势能转化为其他形式的能量D.物体的机械能转化为其他形式的能量【解析】选A、D。汽车主要是制动阻力，流星、降落伞是空气阻力，因而物体都是克服阻力做功，A对；三个物体运动过程中，汽车是动能转化成了内能，流星、降落伞是重力势能转化成其他形式的能，总之是机械能转化成了其他形式的能，D对。6.如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直。一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距
18、离最大时。对应的轨道半径为(重力加速度大小为g)()A.B.C.D. 【解析】选B。物块由最低点到最高点有： mv2=2mgr+m；物块做平抛运动：x=v1 t， t=，联立解得： x=，由数学知识可知，当r=时，x最大。7.如图所示，质量均为m，半径均为R的两个完全相同的小球A、B，在水平轨道上以某一初速度向右冲上倾角为的倾斜轨道，两轨道通过一小段圆弧平滑连接。若两小球运动过程中始终接触，不计摩擦阻力及弯道处的能量损失，在倾斜轨道上运动到最高点时两球机械能的差值为()A.0B.mgRsinC.2mgRsinD.2mgR【解析】选C。两球运动到最高点时速度相等，动能相等，则两球机械能的差值等于
19、重力势能的差值，为E=mg2Rsin=2mgRsin，故C项正确。8.如图是安装在列车车厢之间的摩擦缓冲器结构图，图中和为楔块，和为垫板，楔块与弹簧盒、垫板间均有摩擦，在车厢相互撞击使弹簧压缩的过程中()A.缓冲器的机械能守恒B.摩擦力做功消耗机械能C.垫板的动能全部转化为内能D.弹簧的弹性势能全部转化为动能【解析】选B。由于车厢相互撞击弹簧压缩的过程中存在克服摩擦力做功，所以缓冲器的机械能减少，选项A错误，B正确；弹簧压缩的过程中，垫板的动能转化为内能和弹簧的弹性势能，选项C、D错误。9.如图所示，质量为m的滑块以一定初速度滑上倾角为的固定斜面，同时施加一沿斜面向上的恒力F=mgsin；已知
20、滑块与斜面间的动摩擦因数=tan，取出发点为参考点，能正确描述滑块运动到最高点过程中产生的热量Q、滑块动能Ek、势能Ep、机械能E随时间t、位移x关系的是()【解析】选C、D。根据滑块与斜面间的动摩擦因数=tan可知，滑动摩擦力等于重力沿斜面向下的分力。施加一沿斜面向上的恒力F=mgsin，滑块机械能保持不变，重力势能随位移x均匀增大，选项C、D正确；产生的热量Q=Ffx，随位移均匀增大，滑块动能Ek随位移x均匀减小，选项A、B错误。10.以恒定速率运动，传送带始终是绷紧的，将m=1 kg的货物放在传送带上的A处，经过1.2 s到达传送带的B端。用速度传感器测得货物与传送带的速度v随时间t变化
21、图像如图乙所示，已知重力加速度g取10 m/s2，由v -t图像可知()A.A、B两点的距离为2.4 mB.货物与传送带的动摩擦因数为0.5C.货物从A运动到B过程中，传送带对货物做功大小为12.8 JD.货物从A运动到B过程中，货物与传送带摩擦产生的热量为4.8 J【解析】选B、D。货物在传送带上先做匀加速直线运动，当速度达到传送带速度，一起做匀速直线运动，所以货物由A到B的间距为对应图像所围梯形的“面积”x=20.2 m+(2+4)1 m=3.2 m，故A错误；由v -t图像可知，货物在传送带上先做加速度为a1的匀加速直线运动，加速度为a1=10 m/s2，对货物受力分析受摩擦力，方向向下
22、，重力和支持力，mgsin+mgcos=ma1，同理，做a2的匀加速直线运动，对货物受力分析受摩擦力，方向向上，重力和支持力，加速度为：a2=2m/s2，mgsin-mgcos=ma2 联立解得cos=0.8，=0.5，故B正确；第一阶段：f=mgcos=4N ，由图像知位移为：x1=20.2 m=0.2 m ，摩擦力做正功为：Wf1=fx1=40.2 J=0.8 J，同理第二阶段：由图像知位移为x2=(2+4)1 m=3 m，摩擦力做负功为：Wf2=-fx2=-43 J=-12 J，所以整个过程，传送带对货物做功大小为：12 J-0.8 J=11.2 J，故C错误；根据功能关系，货物与传送带摩擦产生的热量等于摩擦力乘以相对位移，第一阶段x1=x传-x1=0.2 m，第二阶段，x2=x2-x传=(3-2) m=1 m，故两者之间的总相对位移为：x=x1+x2=(1+0.2) m=1.2 m， 货物与传送带摩擦产生的热量为：Q=W=fx=41.2 J=4.8 J，故D正确。