1、2020-2021学年广东省汕尾市高二（下）期末教学质量测试数学试卷一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1设集合A1，0，1，2，3，Bx|x23x0，则AB（）A1，2B0，1，2C1，2，3D0，1，2，32在等差数列an中，已知a3+a5+a715，则该数列前9项和S9（）A18B27C36D453已知直线x+y0与圆（x1）2+（yb）22相切，则b（）A3B1C3或1D4已知函数，下面结论错误的是（）A函数f（x）的最小正周期为2B函数（x）在区间上是增函数C函数f（x）的图象关于直线x0对称D函数f（x）是偶函数5某校
2、高三年级1班有45名学生，经初步计算，今年广东一模数学考试全班平均分为70分，标准差为s，后来发现甲、乙两名同学的成绩录入有误，甲实际为60分，被误录入为50分，乙实际为40分，被误录入为50分更正后重新计算，得到全班数学成绩的标准差为s1，则s与s2的大小关系为（）Ass1Bss1Css1D不能确定6若直线yx+1与曲线相切，则a的值为（）A0B1C1D27如图所示，为平行四边形对角线上一点，若，则（ ）A. B. C. D. 8. 已知双曲线左右焦点分别为，过点作直线交双曲线的右支于两点，其中点在第一象限，且.若，则双曲线的离心率为（ ）A. B. 2C. D. 4二、选择题：本题共4小题
3、，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9已知复数zi（2+i），则（）A12iB|z|5Cz对应的点位于第二象限Dz虚部为2i10已知抛物线C：y24x的焦点为F，则下列结论正确的有（）A抛物线C上一点M到焦点F的距离为4，则点M的横坐标为3B过焦点F的直线被抛物线所截的弦长最短为4C过点（0，2）与抛物线C有且只有一个公共点的直线有2条D过点（2，0）的直线1与抛物线c交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2811. 已知函数，则（ ）A. 函数的增区间为B. 函数的极小值为C. 若方程有三个
4、互不相等的实数根，则D. 函数图像关于点对称12. 下列命题中，正确的是（ ）A. 已知随机变量服从正态分布，若，则B. 已知随机变量的分布列为，则C. 用表示次独立重复试验中事件发生的次数，为每次试验中事件发生的概率，若，则D. 已知某家系有甲和乙两种遗传病，该家系成员患甲病的概率为，患乙病的概率为，甲乙两种病都不患的概率为.则家系成员在患甲病的条件下，患乙病的概率为三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分。13命题：“xN，x3x2”的否定是 、14已知的展开式中各项的二项式系数的和为128，则这个展开式中x3项的系数是 15某中学举行“唱响红色主旋律，不忘初心跟党走”的文艺活动活
5、动共有9个节目，其中高中部有4个参演节目，初中部有5个参演节目根据节目内容，第一个节目一定是初中部的，且高中部的4个参演节目均不相邻演出，则共有 种不同的演出顺序（用数字回答）16如图，一个圆锥形物体的母线长为6，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为则该圆锥形物体的底面半径等于 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答写出文字说明、证明过程或演算步骤。17在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2，c4（1）若acosB（2cb）cosA，求ABC的面积；（2）若A2B，求边a18已知数列an的前n项和Sn满足Sn2n+12（
6、nN+）（1）求an；（2）已知_，求数列bn的前n项和Tn从下列三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，然后对第（2）问进行解答条件：bn（2n+1）an（nN+）；bn（1）nlog2a2n+1（nN+）19汕尾市陆河县因盛产青梅，被誉为“中国青梅之乡”该县某企业旗下的青梅产品深受广大消费者的青睐该企业产品分正品和次品两种，每箱产品有200件，每件产品为次品的概率为0.1，且是否为次品相互独立近期该企业举办了“青梅节”抽奖活动和促销活动（1）“青梅节”抽奖活动，共有10张奖券，其中一等奖1张，每张价值500元；二等奖3张，每张价值100元；其余6张没有奖励、顾客A从10张奖券中随机抽出
7、2张求顾客A获奖的总价值X（单位：元）的分布列；（2）“青梅节”促销活动，每箱产品交付给顾客前都要进行检验，每件产品的检验费为2元若检验出次品，则要更换为正品（更换的产品无需再付检验费）若因没有检验导致次品流入顾客手中，每件流入顾客手中的次品，企业要向顾客支付25元的赔偿费现有以下两种方案，请你以检验费与赔偿费之和的期望值为决策依据，帮助企业决定应该选择那种方案？方案一：从每箱200件产品中随机抽查检验20件产品；方案二：对每箱200件产品进行逐一检验20如图1所示，在凸四边形ABCD中，AB4，点E为AB的中点，M为线段AC上的一点，且MEAB，沿着AC将DAC折起来，使得平面DAC平面BA
8、C，如图2所示（1）证明：BCAD；（2）求平面MDE与平面DEB所成锐二面角的余弦值21李华找了一条长度为8的细绳，把它的两端固定于平面上两点F1，F2处，|F1F2|8，套上铅笔，拉紧细绳，移动笔尖一周，这时笔尖在平面上留下了轨迹C，当笔尖运动到点M处时，经测量此时，且F1MF2的面积为4（1）以F1，F2所在直线为x轴，以F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，求李华笔尖留下的轨迹C的方程（铅笔大小忽略不计）；（2）若直线1与轨迹C交于A，B两点，且弦AB的中点为N（2，1），求OAB的面积22已知函数（1）若函数f（x）在定义域上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若f（x）存
9、在两个极值点x1，x2，且，证明：|f（x1）f（x2）|10ln26参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1设集合A1，0，1，2，3，Bx|x23x0，则AB（）A1，2B0，1，2C1，2，3D0，1，2，3解：集合A1，0，1，2，3，Bx|x23x0x|0x3，AB1，2故选：A2在等差数列an中，已知a3+a5+a715，则该数列前9项和S9（）A18B27C36D45解：由等差数列的性质可得：a3+a5+a7153a5，解得a55则该数列的前9项和9a545故选：D3已知直线x+y0与圆（x1）2+（yb）22相切，则b（）A3B1C3或1D解：圆（x1）2+（y
10、b）22的圆心坐标为（1，b），半径为由圆心到切线的距离等于半径，得，|1+b|2，解得b1或b3故选：C4已知函数（x）sin（x+）（xR），下面结论错误的是（）A函数f（x）的最小正周期为2B函数（x）在区间0，上是增函数C函数f（x）的图象关于直线x0对称D函数f（x）是偶函数解：对于函数（x）sin（x+）cosx（xR），它的最小正周期为2，故A正确；显然，函数（x）在区间0，上是减函数，故B错误；由于f（x）为偶函数，故它的图象关于直线x0对称，故C、D正确，故选：B5某校高三年级1班有45名学生，经初步计算，今年广东一模数学考试全班平均分为70分，标准差为s，后来发现甲、乙两名
11、同学的成绩录入有误，甲实际为60分，被误录入为50分，乙实际为40分，被误录入为50分更正后重新计算，得到全班数学成绩的标准差为s1，则s与s2的大小关系为（）Ass1Bss1Css1D不能确定解：由题意可知，改动前后的平均分不变，还是70分，但是计算方差的时候，因为（5070）2+（5070）2（6070）2+（4070）2，所以ss1故选：A6若直线yx+1与曲线y+a相切，则a的值为（）A0B1C1D2解：直线yx+1与曲线yf（x）+a相切，设切点为P（x0，y0），f（x）（）1，lnx01，x01，y0+aax0+12，故选：D7如图所示，F为平行四边形ABCD对角线BD上一点，若
12、x+y，则xy（）ABCD解：，由图可得：+（），则x，y，所以xy，故选：C8已知双曲线C：1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，且|AF2|3|BF2|若|AB|AF1|，则双曲线C的离心率为（）AB2CD4解：设|BF2|x，因为|AF2|3|BF2|，则|AF2|3x，由双曲线的定义可得|AF1|2a+3x，|BF1|2a+x，因为|AB|AF1|4x2a+3xx2a，所以|BF2|2a，|AF2|6a，|AF1|8a，|BF1|4a，因为F1F2B+F1F2A，所以cosF1F2B+cosF1F2A0，由余弦定
13、理可得，即，解得故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9已知复数zi（2+i），则（）A12iB|z|5Cz对应的点位于第二象限Dz虚部为2i解：zi（2+i）1+2i，12i，|，A对B错；复数z对应点坐标为（1，2）在第二象限，C对；z的虚部为2，D错故选：AC10已知抛物线C：y24x的焦点为F，则下列结论正确的有（）A抛物线C上一点M到焦点F的距离为4，则点M的横坐标为3B过焦点F的直线被抛物线所截的弦长最短为4C过点（0，2）与抛物线C有且只有一个公共点的直线有2条D过点（
14、2，0）的直线1与抛物线c交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y28解：抛物线C：y24x的焦点为F（1，0），准线方程为x1，对于A，设M的横坐标为x0，则由抛物线的定义可得，MFx0+14，解得x03，故选项A正确；对于B，过焦点F的直线被抛物线所截的弦长最短为通径长，又通径长为2p4，故选项B正确；对于C，当直线的斜率不存在时，直线为x0，与抛物线有一个公共点；当直线与抛物线的对称轴平行，即直线为y2时，与抛物线有一个公共点；当直线斜率存在且不为0时，设直线的方程为ykx+2，联立方程组，可得k2x2+4（k1）x+40，则16（k1）216k20，解得，此时直线方程
15、为，与抛物线有一个公共点综上所述，过点（0，2）与抛物线C有且只有一个公共点的直线有3条，故选项C错误；设过点（2，0）的直线方程为xmy+2，联立方程组，可得y24my80，则y1y28，故选项D正确故选：ABD11已知函数f（x）3x3x+1，则（）A函数f（x）的增区间为（，）（，+）B函数f（x）的极小值为C若方程f（x）a有三个互不相等的实数根，则aD函数f（x）的图像关于点（0，1）对称解：f（x）3x3x+1，f（x）9x21，令f（x）0，得x或x，令f（x）0，得x，所以f（x）的单调递增区间为（，），（，+），单调递减区间为（，），故A错误；f（x）极小值f（）3（）3+1
16、，故B正确；f（x）极大值f（）3（）3+1，作出f（x）的图象：由图可知f（x）a有三个互不相等的实数根，所以a，故C错误；f（0x）f（x）3（x）3（x）+13x3+x+1，f（0+x）f（x）x3x+1，所以f（0x）+f（0+x）2，所以f（x）的图象关于点（0，1）对称，故D正确故选：BD12下列命题中，正确的是（）A已知随机变量X服从正态分布N（1，2），若P（X0）0.2，则P（X2）0.8B已知随机变量X的分布列为P（Xi）（i1，2，3，100），则aC用X表示n次独立重复试验中事件A发生的次数，P为每次试验中事件A发生的概率，若E（X）50，D（X）30，则PD已知某家系
17、有甲和乙两种遗传病，该家系成员A患甲病的概率为，患乙病的概率为，甲乙两种病都不患的概率为则家系成员A在患甲病的条件下，患乙病的概率为解：对于A：随机变量X服从正太分布N（1，2），所以P（X0）0.2，所以P（0X1）0.50.20.3，所以P（1X2）P（0X1）0.3，所以P（X2）0.5+0.30.8，故A正确；对于B：由于已知随机变量X的分布列为P（Xi）（i1，2，3，100），所以P（X1）+P（X2）+P（X3）+.+P（X100）1，所以+.+1，所以a（1）+（）+.+（）1，所以a（1）1，所以a，故B错误；对于C：因为随机变量服从二项分布B（n，p），E（X）50，D（X
18、）30，所以np50，np（1p）30，解得p，故C正确；对于D：设甲乙两种病都患的概率为p，p+p+p+1，解得p，所以家系成员A在患甲病的条件下，患乙病的概率为，故D正确，故选：ACD三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分。13命题：“xN，x3x2”的否定是xN，x3x2、解：由一个命题的否定的定义可知：改变相应的量词，然后否定结论故答案是xN，x3x214已知（2x）n的展开式中各项的二项式系数的和为128，则这个展开式中x3项的系数是 672解：2n128，n7（2x）7的展开式的通项Tr+1（2x）7r27r（1）rx72r，令72r3，得r2，T325x33221672
19、，故答案为：67215某中学举行“唱响红色主旋律，不忘初心跟党走”的文艺活动活动共有9个节目，其中高中部有4个参演节目，初中部有5个参演节目根据节目内容，第一个节目一定是初中部的，且高中部的4个参演节目均不相邻演出，则共有 14400种不同的演出顺序（用数字回答）解：根据题意，分2步进行分析：将初中部的5个节目全排列，有120种安排方法，排好后，除去前端空位不可用，有5个空位可用，在其中任选4个，安排高中部的4个节目，有120种安排方法，则有12012014400种安排方法，故答案为：1440016如图，一个圆锥形物体的母线长为6，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点
20、P处，若该小虫爬行的最短路程为6则该圆锥形物体的底面半径等于 解：根据圆锥的侧面展开图：得知OAOB6，AB6，所以OA2+OB2AB2，所以AOB，设圆锥的底面半径为r，所以62r，解得r，故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分。解答写出文字说明、证明过程或演算步骤。17在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2，c4（1）若acosB（2cb）cosA，求ABC的面积；（2）若A2B，求边a解：（1）acosB（2cb）cosA，acosB+bcosA2ccosA，即sinAcosB+cosAsinB2sinCcosA，则sin（A+B）2sinCcosA，sin（A+B
21、）sinC0，cosA，又A（0，），A，则SABCbcsinA2（2）A2B，sinAsin2B2sinBcosB，即有a2bcosB，又cosB，整理可得8a4（a+12），即a12，解得a218已知数列an的前n项和Sn满足Sn2n+12（nN+）（1）求an；（2）已知_，求数列bn的前n项和Tn从下列三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，然后对第（2）问进行解答条件：bn（2n+1）an（nN+）；bn（nN+）；bn（1）nlog2a2n+1（nN+）解：（1）根据题意，当n1时，有a12222；当n2时，anSnSn12n+12（2n2）2n，又a12满足上式，所以an2n
22、；（2）若选择条件：由（1）可知an2n；所以bn（2n+1）an（2n+1）2n，所以Tnb1+b2+bn321+522+（2n+1）2n；2Tn322+523+（2n+1）2n+1，两式相减得Tn6+2（21+22+2n）（2n+1）2n+16+2（2n+1）2n+1，即Tn62（42n+1）（2n+1）2n+12（2n1）2n+1，所以Tn（2n1）2n+1+2；若选择条件：由（1）可知an2n；所以bn（nN+），所以Tnb1+b2+bn（）+（）+（）1；若选择条件：由（1）可知an2n；所以bn（1）nlog2a2n+1（1）n（2n+1），所以当n为偶数时，Tn（b1+b2）+（
23、b3+b4）+（bn1+bn），即Tn（3+5）+（7+9）+（2n1）+（2n+1）2n；当n为奇数时，Tnb1+（b2+b3）+（b4+b5）+（bn1+bn），即Tn（3）+（2）+（2）+（2）3+（2）n2，综上所述，Tn（nN+）19汕尾市陆河县因盛产青梅，被誉为“中国青梅之乡”该县某企业旗下的青梅产品深受广大消费者的青睐该企业产品分正品和次品两种，每箱产品有200件，每件产品为次品的概率为0.1，且是否为次品相互独立近期该企业举办了“青梅节”抽奖活动和促销活动（1）“青梅节”抽奖活动，共有10张奖券，其中一等奖1张，每张价值500元；二等奖3张，每张价值100元；其余6张没有奖励
24、、顾客A从10张奖券中随机抽出2张求顾客A获奖的总价值X（单位：元）的分布列；（2）“青梅节”促销活动，每箱产品交付给顾客前都要进行检验，每件产品的检验费为2元若检验出次品，则要更换为正品（更换的产品无需再付检验费）若因没有检验导致次品流入顾客手中，每件流入顾客手中的次品，企业要向顾客支付25元的赔偿费现有以下两种方案，请你以检验费与赔偿费之和的期望值为决策依据，帮助企业决定应该选择那种方案？方案一：从每箱200件产品中随机抽查检验20件产品；方案二：对每箱200件产品进行逐一检验解：（1）X的所有可能值为0，100，200，500，600，奖品总价值X的分布列为X 0 100 200 500
25、 600 P （2）设检验费用与赔偿费用之和为W，当选择方案一时，设剩下的180件产品中，次品数为，由题意可得，B（180，0.1），E（）1800.118，W40+2518490，当选项方案二时，W2200400，由于400490，故选方案二20如图1所示，在凸四边形ABCD中，ACBADC，DACCAB，AB4，点E为AB的中点，M为线段AC上的一点，且MEAB，沿着AC将DAC折起来，使得平面DAC平面BAC，如图2所示（1）证明：BCAD；（2）求平面MDE与平面DEB所成锐二面角的余弦值【解答】（1）证明：如图，平面DAC平面BAC，且平面DAC平面BACAC，BC平面BAC，且BC
26、AC，BC平面DAC，而AD平面DAC，BCAD；（2）解：以C为原点，分别以CA、CB所在直线为x、y轴建立空间直角坐标系，在图1中，ACBADC，DACCAB，AB4，BC2，AC，CD，CMACAM，M（，0，0），E（，1，0），B（0，2，0），D（，0，），设平面MDE的一个法向量为，由，取z11，可得；设平面DEB的法向量为，由，取x21，得设平面MDE与平面DEB所成锐二面角为，则cos故平面MDE与平面DEB所成锐二面角的余弦值为21李华找了一条长度为8的细绳，把它的两端固定于平面上两点F1，F2处，|F1F2|8，套上铅笔，拉紧细绳，移动笔尖一周，这时笔尖在平面上留下了轨迹
27、C，当笔尖运动到点M处时，经测量此时F1MF2，且F1MF2的面积为4（1）以F1，F2所在直线为x轴，以F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，求李华笔尖留下的轨迹C的方程（铅笔大小忽略不计）；（2）若直线1与轨迹C交于A，B两点，且弦AB的中点为N（2，1），求OAB的面积解：（1）设椭圆的标准方程为，由椭圆的定义知2a8，故a216在RtF1MF2中，|F1F2|2c，假设|MF1|x，|MF2|y（x，y0），又F1MF2的面积为4cm2，故4c2x2+y2（x+y）22xy48，c212，b2a2c24，椭圆的标准方程为（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点
28、为N（2，1），x1+x24，y1+y22 且 x1x2又A，B均在椭圆上，得，即（x1+x2）（x1x2）4（y1+y2）（y1y2）（x1x2）2（y1y2）x1x2，故直线AB的方程为：x+2y40联立 ，整理得x24x0得 x10，x24，A（0，2），B（4，0），OAB 的面积为4cm222已知函数f（x）alnx+2x（aR）（1）若函数f（x）在定义域上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且|x1x2|，证明：|f（x1）f（x2）|10ln26解：（1）因为f（x）alnx+2x （aR），所以f（x）+2（x0），因为f（x）在（0，+）
29、上为增函数，所以任意x（0，+），有f（x）+20，整理得a（2x+）恒成立，因为x0，所以由基本不等式知，2x+4，从而有（2x+）4，当且仅当x1时等号成立，所以（2x+）max4，所以a4，所以实数a的取值范围为4，+）（2）因为f（x）有两个极值点x1，x2，所以方程2x2+ax+20有两个正根x1，x2，从而有a2160且x1+x2，x1x21，因为x1x21且x1，x2均为正数，所以可设0x11x2，当x（x1，x2）时，f（x）0恒成立，所以f（x）在（x1，x2）上为减函数，从而有f（x1）f（x2），令Z|f（x1）f（x2）|f（x1）f（x2），则Zalnx1+2x1alnx2+2x2aln+4（x1x2）2（x1+x2）lnx22+4（x1x2）4（x1+x2）lnx2+4（x1x2）4x1（x1+）lnx1，又因为|x1x2|，所以x1，即2x12+3x120，由，得x11，令h（x）x（x+）lnx（x1），则h（x）（1）lnx，因为x1，所以h（x）0，所以h（x）在，1上为减函数，所以h（x）maxh（）2lnln2，所以Zmax4h（x）max10ln26，所以|f（x1）f（x2）|10ln26，得证