1、课时分层作业(八)生活中的优化问题举例(建议用时：40分钟)一、选择题1某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)()A32,16B30,15C40,20D36,18A要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短，设场地宽为x米，则长为米，因此新墙总长L2x(x0)，则L2.令L0，得x16或x16(舍去)此时长为32(米)，可使L最短2将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为()A2和6B4和4C3和5D以上都不对B设一个数为x，则另一个数为8x，则其立方和yx3(8
2、x)383192x24x2(0x8)，y48x192.令y0，即48x1920，解得x4.当0x4时，y0；当40.所以当x4时，y最小3要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为()A cmB cmC cmD cmD设圆锥的高为x cm，则底面半径为 cm.其体积为Vx(202x2)(0x20)，V(4003x2)令V0，解得x1，x2(舍去)当0x时，V0；当x20时，V0.所以当x时，V取最大值4内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的边长为()A和RBR和RCR和RD以上都不对B设矩形与半圆直径垂直的一边的长为x，则另一边长为2，则l2x4(0xR)，l2.令l0
3、，解得x1R，x2R(舍去)当0xR时，l0；当RxR时，l0.所以当xR时，l取最大值，即周长最大的矩形的相邻两边长分别为R， R5某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的关系是R(x)则总利润最大时，每年生产的产品是()A100B150C200D300D由题意，得总成本函数为C(x)20 000100x，总利润P(x)R(x)C(x)所以P(x)令P(x)0，得x300，易知x300时，总利润P(x)最大二、填空题6某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y117x2(x0)，生产成本y2(万元)是产量x(千
4、台)的函数：y22x3x2(x0)，为使利润最大，应生产_千台6设利润为y，则yy1y217x2(2x3x2)2x318x2(x0)，y6x236x6x(x6)令y0，解得x0或x6，经检验知x6既是函数的极大值点又是函数的最大值点7电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为yx3x240x(x0)，为使耗电量最小，则其速度应定为_40由题设知yx239x40，令y0，解得x40或x1，故函数yx3x240x(x0)在40，)上递增，在(0,40上递减当x40时，y取得最小值由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40.8用总长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比
5、另一边长0.5 m，那么高为_时容器的容积最大1.2 m设容器底面短边长为x m，则另一边长为(x0.5)m，高为14.84x4(x0.5)(3.22x)m.由3.22x0及x0，得0x1.6.设容器容积为y，则有yx(x0.5)(3.22x)2x32.2x21.6x(0x1.6)，y6x24.4x1.6.由y0及0x1.6，解得x1.在定义域(0,1.6)内，只有x1使y0.由题意，若x过小(接近于0)或过大(接近于1.6)，y的值都很小(接近于0)因此当x1时，y取最大值，且ymax22.21.61.8(m3)，这时高为1.2 m三、解答题9一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比已知
6、速度为每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和最少？解设速度为每小时v千米时，燃料费是每小时p元，那么由题设知pkv3，因为v10，p6，所以k0.006.于是有p0.006v3.又设船的速度为每小时v千米时，行驶1千米所需的总费用为q元，那么每小时所需的总费用是(0.006v396)元，而行驶1千米所用时间为小时，所以行驶1千米的总费用为q(0.006v396)0.006v2.q0.012v(v38 000)，令q0，解得v20.当v20时，q0；当v20时，q0，所以当v20时，q取得最小值即当速度为20千米
7、/小时时，航行1千米所需的费用总和最少10某商店经销一种商品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元(a为常数，2a5)的税收设每件产品的售价为x元(35x41)，根据市场调查，日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件(1)求该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式；(2)当每件产品的日售价为多少元时，该商品的日利润L(x)最大，并求出L(x)的最大值解(1)设日销售量为，则10，k10e40，则日售量为件则日利润L(x)(x30a)10e40；答：该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数
8、关系式为L(x)10e40.(2)L(x)10e40.当2a4时，33a3135，当35x41时，L(x)0.当x35时，L(x)取最大值为10(5a)e5；当4a5时，35a3136，令L(x)0，得xa31，易知当xa31时，L(x)取最大值为10e9a.综合上得L(x)max.答：当2a4时，当每件产品的日售价35元时，为L(x)取最大值为10(5a)e5；当4a5时，每件产品的日售价为a31元时，该商品的日利润 L(x)最大，最大值为10e9a.1如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为()ABCDA设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r2hl，h，Vr2hr22r3.则
9、Vlr6r2，令V0，得r0或r，而r0，r是其唯一的极值点当r时，V取得最大值，最大值为.2用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个大小相同的小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接而成(如图所示)，当容器的体积最大时，该容器的高为()A8 cmB9 cmC10 cmD12 cmC设容器的高为x cm，容器的体积为V(x)cm3，则V(x)(902x)(482x)x4x3276x24 320x(0x24)，因为V(x)12x2552x4 320，由12x2552x4 3200，得x10或x36(舍)，因为当0x0，当10x24时，V(x)0，所以当x1
10、0时，V(x)在区间(0,24)内有唯一极大值，所以容器高x10 cm时，容器体积V(x)最大3海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30 n mile/h，当速度为10 n mile/h时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元如果甲乙两地相距800 n mile，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为_20 n mile/h由题意设燃料费y与航速v间满足yav3(0v30)，又25a103，a.设从甲地到乙地海轮的航速为v，费用为y，则yav340020v2.由y40v0，得v2030.当0v20时，y0；当2
11、0v0，当v20时，y最小4如图所示，内接于抛物线y1x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是_设CDx，则点C的坐标为，点B的坐标为，矩形ABCD的面积Sf (x)xx，x(0,2)由f (x)x210，得x1(舍)，x2，x时，f (x)0，f (x)单调递增，x时，f (x)0，f (x)单调递减，故当x时，f (x)取最大值.5如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40 km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50 km.两厂要在此岸边A，D之间合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，则供水站C建在何处才能使水管费用最省？解设C点距D点x km，则AC50x(km)，所以BC(km)又设总的水管费用为y元，依题意，得y3a(50x)5a(0x50)y3a.令y0，解得x30.在(0,50)上，y只有一个极小值点，根据问题的实际意义，函数在x30 km处取得最小值，此时AC50x20(km)故供水站建在A，D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省
