1、江苏省东海县2019-2020学年上学期高二期中考试数学试题一、选择题（本大题共12小题）1. 命题“xR，x2-x0”的否定是（）A. ,B. ,C. ,D. ,2. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D. 3. “0x”是“0sinx”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 等差数列an的前三项依次为x，1-x，3x，则a2019的值为（）A. 672B. 673C. 674D. 6755. 对于下列四个条件：an=kn+b（k，b为常数，nN*）；an+2-an=d（d为常数，nN*）；an+2-2an
2、+1+an=0（nN*）；an的前n项和（nN*）能确定数列an是等差数列的条件的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 46. 已知数列an的通项公式，若“anan+1（nN*）”的充要条件是“aM”，则M的值等于（）A. B. 1C. D. 27. 如图，在四面体ABCD中，M，N分别是棱AD，BC的中点，AB=6，CD=4，则异面直线AB，CD所成角的余弦值为（）A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆（mR）的离心率的取值范围为（）A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系xOy中，设P是双曲线上不同于左顶点A、右顶点B的任意一点，记PAB=，PBA=，则tan
3、tan的值为（）A. B. C. D. 10. 已知数列an是等比数列，Sn表示其前n项和若a3=2，S4=3S2，则a5的值为（）A. B. 2C. 4D. 2或411. 已知等差数列an的前n项和为Sn，且a2+a3=8，S7=49；数列bn满足，则bn取最大值时n的值为（）A. 5B. 4C. 3D. 212. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1，过点P（0，2）作斜率为k（k0）的直线l与椭圆C交于A，B两点，当AOB=90时，k的值为（）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若命题“nN*，n2-nt+60”是真命题，则实数t的取值范围是_
4、14. 在正项等比数列an中，已知+，则的值为_15. 若数列an满足：a1=0，a2=1，a3=3，an+1-an为等差数列，则an=_16. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的焦点为F1（-2，0），F2（2，0），过F2的直线与椭圆C交于A，B两点若AF2=3F2B，AB=BF1，则椭圆C的标准方程为_三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知p：在平面直角坐标系xOy中，方程表示双曲线；q：实数m满足不等式m2-（2a+2）m+a2+2a0（1）若命题p为真，求实数m的取值范围；（2）若p是q的必要条件，求实数a的取值范围18. 在数列an中，（nN*）（1）求数列an
5、的通项公式；（2）设，数列bn的前n项和为Tn，求证：为定值19. 如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PBC底面ABCD，PB=PC=BC=2，AB=1（1）求二面角P-AD-B的大小；（2）求点B到平面PAD的距离20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆E上（1）若，点P的坐标为，求椭圆E的方程；（2）若点P横坐标为，点M为PF1中点，且OPF2M，求椭圆E的离心率21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：，过点P（0，1）的动直线l与椭圆C交于A，B两点（1）求证：为定值；（2）求AOB面积的最大值
6、22. 设数列an的前n项和为Sn，对任意nN*总有2Sn=an2+n，且anan+1（1）求a1，a2；（2）求数列an的通项公式；（3）若对任意nN*，R，不等式（n+2）恒成立，求实数的最小值答案和解析1.【答案】C【解析】解：全称命题的否定是特称命题，命题“xR，x2-x0”的否定是：xR，x2-x0故选：C全称命题的否定是特称命题写出结果即可本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查2.【答案】A【解析】解：双曲线的渐近线方程：y=2x故选：A直接利用双曲线的标准方程求出渐近线方程即可本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查3.【答案】A【解析】解：由0
7、x，得0sinx；反之，由0sinx，得或x+2k，kZ“0x”是“0sinx”的充分不必要条件故选：A由0x，得0sinx；反之不成立再由充分必要条件的判定得答案本题考查充分必要条件的判定，考查三角不等式的解法，是基础题4.【答案】B【解析】解：依题意，x，1-x，3x，成等差数列，所以2（1-x）=x+3x，解得x=，所以数列an的公差d=（1-x）-x=，所以a2019=a1+（2019-1）d=673故选：B根据等差中项的性质计算出x值，即可得到公差，进而得到所求本题考查了等差中项的性质考查了等差数列的通项公式，考查分析解决问题的能力和计算能力，属于基础题5.【答案】B【解析】解：an
8、=kn+b（k，b为常数，nN*）；数列an的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确，an+2-an=d（d为常数，nN*）；不符合从第二项起，相邻项的差为同一个常数，故错误an+2-2an+1+an=0（nN*）；对于数列an的关系式符合等差中项的形式，所以是等差数列，故正确an的前n项和（nN*）不符合所以，不为等差数列故错误故选：B直接利用数列的关系式的应用判断数列为等差数列本题考查的知识要点：等差数列的定义的应用，如何去判断数列为等差数列，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型6.【答案】C【解析】解：数列an的通项公式，必要性：若anan+1（nN*），则
9、=2n+1-2a0恒成立，即a对任意nN*恒成立，则a；充分性：当a时，=2n+1-2a0对任意nN*恒成立，即anan+1（nN*）“anan+1（nN*）”的充要条件是“a”，M的值等于故选：C求出anan+1（nN*）成立的a的范围，再由a时，anan+1（nN*）恒成立，可得M的值为本题考查充分必要条件的判定及其应用，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题7.【答案】C【解析】解：取BD中点E，连结ME，NE，在四面体ABCD中，M，N分别是棱AD，BC的中点，AB=6，CD=4，MEAB，ME=3，NECD，NE=2，MEN是异面直线AB，CD所成角（或所成角的补角），cosMEN
10、=-，异面直线AB，CD所成角的余弦值为故选：C取BD中点E，连结ME，NE，则MEAB，ME=3，NECD，NE=2，从而MEN是异面直线AB，CD所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线AB，CD所成角的余弦值本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题8.【答案】C【解析】解：直角坐标系xOy中，椭圆（mR），所以=1，当m=0时，故，整理得故选：C直接利用椭圆的方程和椭圆的离心率的应用求出结果本题考查的知识要点：椭圆的标准方程的应用，椭圆的离心率的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型9.
11、【答案】A【解析】解：双曲线的a=，A（-，0），B（，0），设P（m，n），m，则-=1，即n2=4（-1），则tan=，tan（-）=-tan=，则-tantan=，即tantan=-，故选：A求得双曲线的顶点A，B，设P（m，n），m，代入双曲线方程，结合直线的斜率公式，以及三角函数的诱导公式，计算可得所求值本题考查双曲线的标准方程及其性质、斜率的计算公式，考查计算能力，属于基础题10.【答案】D【解析】解：设等比数列an的公比为q，由a3=2，S4=3S2，可得：q1，a1q2=2，=3，解得：a1=2，q=-1；a1=1，q2=2则a5=2或4故选：D利用等比数列的通项公式与求和公式
12、即可得出本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11.【答案】D【解析】解：等差数列an的前n项和为Sn，设首项为a1，公差为d，且a2+a3=8，S7=49；所以，整理得解得，所以an=1+2（n-1）=2n-1，数列bn满足，当n2时，-得，所以，所以当n=1时，当n=2时，当n=3时，b4b5，故当n=2时，为最大值故选：D首先利用等差数列的关系式求出数列的通项公式，进一步利用数列的递推关系式的应用求出数列bn的通项公式，进一步利用数列的单调性的应用求出最大值本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的递推关系式的应用，主要考查学生的运算能力
13、和转换能力及思维能力，属于基础题型12.【答案】C【解析】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为y=kx+2；由，得：（1+2k2）x2+8kx+6=0；，；y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4；由AOB=90，即，即，解得k2=5；又k0，则；故选：CAOB=90，即，然后方程联立韦达定理代入即可得出本题考查了垂直关系的处理，考查设而不求的思想方法，属于基础题13.【答案】5，+）【解析】解：若nN*，n2-nt+60，则nN*，t，所以只需要t大于等于n+最小值即可当nN*时，n+5所以，t5，故答案为：5+）若nN*，n2-nt+
14、60，则nN*，t，存在性问题中，只需要t大于等于n+最小值即可，对于n+最小值可以结合对勾函数求，但是一定要注意n只能是正整数，故可以得最小值是5，进而得t的取值范围本题考查存在性问题求参数t取值范围，是中档题14.【答案】【解析】解：正项等比数列an中，由+，=+=，则=故答案为：利用等比数列的性质即可得出本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15.【答案】【解析】解：因为，an+1-an为等差数列，又因为其首项a2-a1=1，公差为（a3-a2）-（a2-a1）=2-1=1，所以an+1-an=1+（n-1）1=n，所以，所以an-a1=，所以an=，
15、故答案为：先根据题意计算出an+1-an的表达式，再用累加法求an即可本题考查了等差数列的通项公式，累加法求数列的通项公式，考查分析解决问题的能力和计算能力，属于中档题16.【答案】【解析】解：在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的焦点为F1（-2，0），F2（2，0），过F2的直线与椭圆C交于A，B两点若AF2=3F2B，AB=BF1，设F2B=x，则AF2=3x，AB=BF1=4x，根据椭圆的定义，整理得AF1=2x，由于AF1B为等腰三角形，所以，利用余弦定理，整理得，解得，故，所以2a=5x=，解得：a=，由于c=2，所以b=，所以椭圆的方程为故答案为：首先利用椭圆的定义求出a、b、c
16、的值，进一步求出椭圆的方程本题考查的知识要点：椭圆的定义和椭圆的方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型17.【答案】解：（1）若命题p为真，即方程表示双曲线，所以（m-3）（m+1）0，解得-1m3，即m（-1，3）（2）若命题q为真，即不等式m2-（2a+2）m+a2+2a0成立，解得ma，a+2，因为p是q的必要条件，所以a，a+2（-1，3），故解得-1a1所以实数a的取值范围为（-1，1）【解析】（1）结合命题p是真命题，以及双曲线方程的特点进行求解即可（2）根据条件分别求出命题为真命题的等价条件，结合必要条件的定义进行转化求解即可本题主要考查复合命题真假
17、关系的应用，根据条件求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键比较基础18.【答案】解：（1）由得，因为，所以an0，所以，所以是为首项，为公比的等比数列，所以，即，所以，数列an的通项公式为；证明：（2）由（1）知，所以，于是，所以，综上，为定值2【解析】（1）直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出结果本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题19.【答案】解：（1）在平面PBC内作POBC，O为垂足，在PBC中，PB=PC=BC=2，所以在底面
18、ABCD内作OEBC，OEAD=E，连结PE，由已知ABCD为矩形，易知AEOB也是矩形，故OE=1又平面PBC底面ABCD，平面PBC底面ABCD=BC，PO平面PBC，所以PO底面ABCD，而AD底面ABCD，所以POAD，又OEBC，ADBC，所以OEAD，而PO平面POE，OE平面POE，POOE=O，所以AD平面POE，因为PE平面POE，所以ADPE，又因为ADOE，所以OEP是二面角P-AD-B的平面角因为PO底面ABCD，OE底面ABCD，所以POOE，在RtPOE中，所以OEP=60，故二面角P-AD-B的大小为60（2）因为ADBC，而AD平面PAD，BC平面PAD，所以B
19、C平面PAD，又OBC，BBC，所以，点B到平面PAD的距离等于点O到平面PA的距离在RtPOE中作OHPE，H为垂足，由（1）知AD平面POE，而OH平面POE，所以ADOH，又ADPE=E，AD平面PAD，PE平面PAD，所以OH平面PAD，所以，点O到平面PAD的距离即为OH的长在RtPOE中，OHPE=OPOE，即，综上，点B到平面PAD的距离为【解析】（1）在平面PBC内作POBC，O为垂足，在底面ABCD内作OEBC，OEAD=E，连结PE，由已知ABCD为矩形，推导出PO底面ABCD，POAD，OEBC，从而OEAD，AD平面POE，ADPE，再由ADOE，得OEP是二面角P-A
20、D-B的平面角由此能求出二面角P-AD-B的大小（2）推导出BC平面PAD，从而点B到平面PAD的距离等于点O到平面PA的距离在RtPOE中作OHPE，H为垂足，推导出OH平面PAD，从而点O到平面PAD的距离即为OH的长由此能求出点B到平面PAD的距离本题考查二面角的求法，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20.【答案】解：（1）设椭圆E焦距为2c，则，所以c2=a2-b2=2又点在椭圆E：上，所以联立解得 或（舍去）故椭圆E的方程为（2）设椭圆E焦距为2c，则F1（-c，0），F2（c，0），由代入得，不妨设点P在x轴上方
21、，故点P坐标为，又点M为PF1中点，故点M坐标为；所以，由OPF2M得，即，化简得a2-6ac+3b2=0；将b2=a2-c2代入得3c2+6ac-4a2=0，即，所以3e2+6e-4=0，解得，因为e（0，1），故椭圆E的离心率为【解析】（1）由题意c=，然后将P点坐标代入方程，可求解出a，可得椭圆方程；（2）将P点横坐标代入椭圆方程可得P的坐标，可得PF1的中点M的坐标，再由，可得a，c的关系式，从而求解离心率本题考查椭圆方程的求法，考查了椭圆离心率的求法，属于中档题21.【答案】解：（1）证明：当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=kx+1，点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y
22、2）联立，得（2k2+1）x2+4kx-2=0，其判别式=（4k）2+8（2k2+1）0，所以，y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1，从而，=x1x2+（y1-1）（y2-1）+（x1x2+y1y2）=2（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+1=，=当直线AB斜率不存在时，所以当时，为定值-3（2）显然直线AB的斜率存在，设其方程为y=kx+1，由（1）知，所以AOB的面积=设，则0t1，因此，当且仅当t=1，即k=0时，AOB的面积取得最大值【解析】（1）将椭圆方程与直线方程联立，韦达定理表示出来，然后将的坐标表示出来，将韦达定理代入可得；（2）用（1
23、）中的结论表示出三角形的面积，然后求最值本题考查了向量的坐标运算，方程联立韦达定理的设而不求的思想，三角形面积的求法，属于中档题22.【答案】解：（1）令n=1得，故2a1=a12+1，于是a1=1令n=2得，故，又a1=1，故a2=2（2）由，可知，当n2时，-，得，故，于是an-1=an-1或an-1=-an-1，若an-1=-an-1，则an+an-1=1，不合题意；于是an-1=an-1，即an-an-1=1，即数列an是公差为1的等差数列又a1=1，an=1+（n-1）1=n故an=n（3）依题意知nN*，都成立，由基本不等式得=2，当且仅当|tan|=1时取“=”，所以的最大值为2，所以2，实数的最小值为2【解析】（1）令n=1得，令n=2求解数列的前两项（2）通过数列的递推关系式推出，转化求解数列的通项公式an=n（3）依题意知nN*，都成立，然后通过基本不等式化简求解即可本题考查数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题