1、第三章 导数及其应用第1讲导数的概念与运算一、填空题1函数f(x)(x2a)(xa)2的导数为_解析 f(x)(xa)2(x2a)2(xa)3(x2a2)答案 3(x2a2)2已知直线axby20与曲线yx3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则为_解析y(x3)3x2，k3，由题意，31，所以.答案3已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(1)x2，则f(1)_.解析 f(x)2f(1)2x，令x1，得f(1)2f(1)2，f(1)2.答案 24若函数f(x)excos x，则此函数图象在点(1，f(1)处的切线的倾斜角为_(填锐角、直角或钝角)解析f(x)excos xex
2、sin x，因为函数图象在点(1，f(1)处的切线斜率kf(1)e(cos 1sin 1)0，所以切线的倾斜角是钝角答案钝角5已知各项均为正数的等比数列an；满足a1a74，a68，函数f(x)a1xa2x2a3x3a10x10的导数为f(x)，则f_.解析设an公比为q，则由得q2，a1，所以an2n3，fa12a23a3210a1092310(12310).答案6若点P是曲线yx2ln x上任意一点，则点P到直线yx2的距离的最小值是_解析设P(t，t2ln t)，由y2x，得k2t1(t0)，解得t1.所以过点P(1,1)的切线方程为yx，它与yx2的距离d即为所求答案7函数f(x)在点
3、(x0，f(x0)处的切线平行于x轴，则f(x0)等于_解析 与x轴平行的切线，其斜率为0，来 所以f(x0)0，故x0e，f(x0).答案 8已知函数yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y2x1，则函数g(x)x2f(x)在点(2，g(2)处的切线方程为_解析由yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y2x1，得f(2)2，f(2)3，于是由g(x)x2f(x)，得g(x)2xf(x)，从而g(2)22f(2)7，g(2)22f(2)6，所以yg(x)在点(2，g(2)处的切线方程为y76(x2)，即6xy50.答案6xy509已知二次函数f(x)ax2bxc(a0)的导函数为f(x
4、)，且f(0)0，对于任意实数x，有f(x)0，则的最小值为_解析f(x)2axb，f(0)b0，又所以ac，所以c0，所以2.答案210与直线2x6y10垂直，且与曲线f(x)x33x21相切的直线方程是_解析 设切点的坐标为(x0，x3x1)，则由切线与直线2x6y10垂直，可得切线的斜率为3，又f(x)3x26x，故3x6x03，解得x01，于是切点坐标为(1,1)，从而得切线的方程为3xy20.答案 3xy20二、解答题11已知函数f(x)，g(x)aln x，aR，若曲线yf(x)与曲线yg(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程解f(x)，g(x)(x0)，由已知
5、得解得a，xe2.因为两曲线交点坐标为(e2，e)，切线的斜率为kf(e2)，所以切线方程为ye(xe2)，即x2eye20.12已知函数yf(x).(1)求函数yf(x)的图象在x处的切线方程；(2)求函数yf(x)的最大值解(1)因为f(x)，所以kf2e2.又fe，所以yf(x)在x处的切线方程为ye2e2，即2e2xy3e0.(2)令f(x)0，得xe.因为当x(0，e)时，f(x)0，当x(e，)时，f(x)0，所以f(x)在(0，e)上为增函数，在(e，)上为减函数，所以f(x)maxf(e).13已知曲线yx3x2在点P0处的切线l1平行于直线4xy10，且点P0在第三象限(1)
6、求P0的坐标；来源:Zxxk.Com(2)若直线ll1，且l也过切点P0，求直线l的方程解 (1)由yx3x2，得y3x21，由已知令3x214，解之得x1.当x1时，y0；当x1时，y4.又点P0在第三象限，切点P0的坐标为(1，4)(2)直线ll1，l1的斜率为4，直线l的斜率为.l过切点P0，点P0的坐标为(1，4)，直线l的方程为y4(x1)，即x4y170.14已知在函数f(x)mx3x的图象上，以N(1，n)为切点的切线的倾斜角为.(1)求m，n的值；(2)是否存在最小的正整数k，使得不等式f(x)k2 013对于x1,3恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k，如果不存在，请说明理由解(1)依题意，得f(1)tan，即3m11，m.因为f(1)n，所以n.(2)令f(x)2x210，得x.当1x时，f(x)2x210；当x时，f(x)2x210；当x3时，f(x)2x210.又f(1)，f，f，f(3)15，因此，当x1,3时，f(x)15.要使得不等式f(x)k2 013对于x1,3恒成立，则k152 0132 028.所以，存在最小的正整数k2 028，使得不等式f(x)k2 013对于x1,3恒成立.