1、31.3概率的基本性质1问题导航(1)两个集合之间存在着包含与相等的关系，集合可以进行交、并、补运算，你还记得子集、交集、并集和补集等的含义及其符号表示吗？(2)如何理解事件A包含事件B？事件A与事件B相等？(3)什么叫做并事件？什么叫做交事件？(4)什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件？互斥事件与对立事件的联系与区别是什么？(5)概率的基本性质有哪些？2例题导读通过P121例题的学习，学会互斥事件的概率加法公式，对立事件的概率公式1事件的关系(1)包含关系一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)，记作BA(或AB)不可能事件
2、记作，任何事件都包含不可能事件类比集合，事件B包含事件A用图表示(2)相等关系如果事件A发生，那么事件B一定发生，反过来也对，这时我们说这两个事件相等，记作AB.一般地，若BA，且AB，那么称事件A与事件B相等，记作AB.2事件的运算(1)并事件若某事件C发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作CAB(或AB)类比集合，事件A与事件B的并事件用图表示(2)交事件若某事件C发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)，记作CAB(或AB)类比集合，事件A与事件B的交事件用图表示(3)互斥事件、对立事件若事件AB
3、为不可能事件(AB)，那么称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生若AB为不可能事件，AB为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生3概率的几个性质(1)范围任何事件的概率P(A)0，1(2)必然事件的概率必然事件的概率P(A)1(3)不可能事件的概率不可能事件的概率P(A)0(4)概率加法公式如果事件A与事件B互斥，则有P(AB)P(A)P(B)(5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，那么AB为必然事件，则有P(AB)P(A)P(B)1.扫一扫进入91导学网()概率的基本性质1判断下列各题
4、(对的打“”，错的打“”)(1)互斥事件一定对立；()(2)对立事件一定互斥；()(3)互斥事件不一定对立；()(4)事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率；()(5)事件A与B互斥，则有P(A)1P(B)()解析：对立必互斥，互斥不一定对立(2)(3)正确，(1)错；又当ABA时，P(AB)P(A)，(4)错；只有A与B为对立事件，才有P(A)1P(B)，(5)错答案：(1)(2)(3)(4)(5)2口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是()A0.42B0.28C0.3 D0.7解析：选C.摸出
5、红球、白球、黑球是互斥事件，所以摸出黑球的概率是10.420.280.3.3设A、B为两个事件，且P(A)0.3，若P(B)0.7，则表示A与B关系正确的是_(填序号)A与B互斥A与B对立A与B互斥，但不对立A与B不一定互斥答案：4在同一试验中，对任意两个事件A、B，P(AB)P(A)P(B)一定成立吗？解：不一定，只有A与B互斥时，P(AB)P(A)P(B)才一定成立1在一次试验中，两个互斥事件不能同时发生，它包括一个事件发生而另一个事件不发生，或者两个事件都不发生，两个对立事件有且仅有一个发生2事件AB或AB，表示事件A与事件B至少有一个发生，事件AB或AB，表示事件A与事件B同时发生3概
6、率加法公式是对互斥事件而言的，一般地，P(AB)P(A)P(B)4如果事件A与事件B互斥，那么P(A)P(B)1.5如果事件A1，A2，An中任何两个都互斥，那么事件(A1A2An)表示事件A1，A2，An中至少有一个发生；P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)互斥事件、对立事件的判断判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从110各10张)中，任取一张(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”解(1)是互斥事件，不是对立事件理由是：
7、从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件(2)既是互斥事件，又是对立事件理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件方法归纳判断事件间的关系时
8、，一是要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的条件都是一样的，二是考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对于较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析1(1)一个射手进行一次射击，有下面四个事件：事件A：命中环数大于8；事件B：命中环数小于5；事件C：命中环数大于4；事件D：命中环数不大于6.则()AA与D是互斥事件 BC与D是对立事件CB与D是互斥事件 D以上都不对解析：选A.由互斥事件、对立事件的定义可判断A正确故选A.(2)某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为
9、“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”判断下列事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件A与C；B与E；B与D；B与C；C与E.解：由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故事件B与E是互斥事件；由于事件B发生会导致事件E一定不发生，且事件E发生会导致事件B一定不发生，故B与E还是对立事件事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件事件B“至少订一种报纸”中包括“只订甲报”“
10、只订乙报”“订甲、乙两种报”事件C“至多订一种报纸”中包括“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件由的分析，事件E“一种报纸也不订”仅仅是事件C中的一种可能情况，事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件事件的运算盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取三个球，设事件A3个球中有1个红球，2个白球，事件B3个球中有2个红球，1个白球，事件C3个球中至少有1个红球，事件D3个球中既有红球又有白球问(1)事件D与A、B是什么样的运算关系？(2)事件C与A的交事件是什么事件？解(1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球，或2个红球1个白球，故
11、DAB.(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球，三个均为红球，故CAA.互动探究在本例中，设事件E3个红球，事件F3个球中至少有一个白球，那么事件C与A、B、E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？解：由本例的解答可知CABE；CFAB.方法归纳(1)事件间的运算：(2)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析2(1)下列结论：A、B为两个事件，则P(AB)P(A)P(B)；若事件A、B、C两两互斥，则P(A)P(B)P(C)1；事件A、B满足P(A)P(B)1，则A、
12、B是对立事件其中错误结论的个数是()A0 B1C2 D3解析：选D.、错误故选D.(2)设A、B是两个任意的事件，是A的对立事件，下面关系式正确的是()AABA BABBCAABA D.BA解析：选C.结合集合的Venn图解决，知C正确故选C.概率加法公式的实际应用(2015吉林高一检测)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示：一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y
13、的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)(链接教材P121例题)解(1)由已知得顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均值估计为1.9(分钟)(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，将频率视为概率，由互斥事件的概率加法公式得P(A).故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.方法归纳(1)应用概率加法公式时要保证事件互斥，复杂事件要拆分成若干个互斥事件，以化繁为简：注意不重不漏(2)当事件本身包含的情况较多，而其对立事件包含的结果较少时，就应该利用对立事件间的关系求解，即贯彻“正难则反”的思想
14、3(1)由经验得知，在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：排队人数012344人以上概率0.10.160.30.350.050.04至多2个人排队的概率；至少2个人排队的概率解：设“排队人数为0”，“排队人数为1”，“排队人数为2”，“排队人数为3”，“排队人数为4”，“排队人数为4人以上”为事件A，B，C，D，E，F，它们两两互斥“至多2个人排队”的概率为P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.160.30.56.“至少2个人排队”的概率为1P(AB)1P(A)P(B)10.10.160.74.(2)某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1 000张奖券为一
15、个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：P(A)，P(B)，P(C)；1张奖券的中奖概率；1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率解：P(A)，P(B)，P(C).故事件A，B，C的概率分别为，.1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖设“1张奖券中奖”这个事件为M，则MABC.A、B、C两两互斥，P(M)P(ABC)P(A)P(B)P(C).故1张奖券的中奖概率为.设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，P(N)1P(AB)1().故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的
16、概率为.数学思想转化与化归思想在求解概率问题中的应用2014年6月19日，隆回麻塘山乡开始出现强降雨，此次洪水灾害中，麻塘山乡是全县降雨量最大的乡镇，也是全县洪水重灾区之一某地区年降水量(单位：mm)在下列范围内的概率如下表：年降水量600800)，800，1 000)1 000，1 200)1 200，1 400)1 400，1 600)概率0.120.260.380.160.08(1)求年降水量在800，1 200)范围内的概率；(2)如果年降水量1 200 mm就可能发生涝灾，求该地区可能发生涝灾的概率解(1)记事件A为“年降水量在800，1 000)”，B为“年降水量在1 000，1
17、200)”，则所求事件为互斥事件A和B的并事件，所以年降水量在800，1 200)范围内的概率是P(AB)P(A)P(B)0.260.380.64.(2)记事件C为“年降水量在1 200，1 400)”，事件D为“年降水量在1 400，1 600)”，则所求事件为互斥事件C和D的并事件，所以年降水量1 200 mm的概率是P(CD)P(C)P(D)0.160.080.24.感悟提高转化与化归思想的核心是把陌生问题转化为熟悉的问题，事实上解题过程就是一个缩小已知与求解的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程在本节中运用加法公式及对立思想把复杂概率问题转化为易求解的概率问题当一个事件的概率较难
18、求，而对立事件易求时，应用对立事件公式转化成求对立事件的概率，或是转化成几个易求解的互斥事件的和事件去求解1某射手在一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为()A0.5 B0.3C0.6 D0.9解析：选A.此射手在一次射击中不超过8环的概率为10.20.30.5.故选A.2从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为，那么所选3人中都是男生的概率为_解析：设A3人中至少有1名女生，B3人都为男生，则A与B为对立事件，所以P(B)1P(A)1.答案：3如图所示，靶子由一个中心圆面和两个同心圆环、
19、构成，射手命中、的概率分别为0.35、0.30、0.25，则不命中靶的概率是_解析：不中靶与中靶互为对立事件答案：0.104抛掷一枚骰子，记A为事件“落地时向上的数是奇数”，B为事件“落地时向上的数是偶数”，C为事件“落地时向上的数是3的倍数”其中是互斥事件的是_，是对立事件的是_解析：A，B既是互斥事件，也是对立事件答案：A，BA，BA.基础达标1下列说法正确的是()A事件A、B中至少有一个发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率大B事件A、B同时发生的概率一定比事件A、B恰有一个发生的概率小C互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件D互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事
20、件解析：选D.由互斥事件和对立事件的定义易知，D正确2如果事件A、B互斥，记A、B分别为事件A、B的对立事件，那么()AAB是必然事件BAB是必然事件CA与B一定互斥 DA与B一定不互斥解析：选B.用Venn图解决此类问题较直观3(2015淄博高一检测)某小组有5名男生和3名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是()A至少有1名男生与全是女生B至少有1名男生与全是男生C至少有1名男生与至少有1名女生D恰有1名男生与恰有2名女生解析：选D.A中两事件互斥且对立，B、C中两个事件能同时发生故不互斥，D中两事件互斥不对立，故选D.4一组试验仅有四个互斥的结果A、B、C、D，则
21、下面各组概率可能成立的是()AP(A)0.31，P(B)0.27，P(C)0.28，P(D)0.35BP(A)0.32，P(B)0.27，P(C)0.06，P(D)0.47CP(A)，P(B)，P(C)，P(D)DP(A)，P(B)，P(C)，P(D)解析：选D.由已知得P(A)P(B)P(C)P(D)1，故选D.5(2015延边高一检测)掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为.事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A(表示事件B的对立事件)发生的概率为()A. B.C. D.解析：选C.由题意可知表示“大于等于5的点数出现”，事件A与事件互斥由概
22、率的加法公式可得P(A)P(A)P().故选C.6(2015临沂高一检测)一个盒子中有10个相同的球，分别标有号码1，2，3，10，从中任选一球，则此球的号码为偶数的概率是_解析：取2号，4号，6号，8号，10号是互斥事件，且概率均为，故有.答案：7(2015合肥高一检测)为维护世界经济秩序，我国在亚洲经济论坛期间积极倡导反对地方贸易保护主义，并承诺包括汽车在内的进口商品将最多在5年内把关税全部降低到世贸组织所要求的水平，其中21%的进口商品恰好5年关税达到要求，18%的进口商品恰好4年关税达到要求，其余进口商品将在3年或3年内达到要求，则包括汽车在内的进口商品不超过4年的时间关税达到要求的概
23、率为_解析：设“包括汽车在内的进口商品恰好4年关税达到要求”为事件A，“不到4年达到要求”为事件B，则“包括汽车在内的进口商品在不超过4年的时间关税达到要求”是事件AB，而A，B互斥，P(AB)P(A)P(B)0.18(10.210.18)0.79.答案：0.798若A，B为互斥事件，P(A)0.4，P(AB)0.7，则P(B)_解析：A，B为互斥事件，P(AB)P(A)P(B), P(B)P(AB)P(A)0.70.40.3.答案：0.39(2015台州高一检测)某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：医生人数012345人及以上概率0.10.16xy0.2z(1)若派出医生不
24、超过2人的概率为0.56，求x的值；(2)若派出医生最多4人的概率为0.96，至少3人的概率为0.44，求y，z的值解：(1)由派出医生不超过2人的概率为0.56，得0.10.16x0.56，x0.3.(2)由派出医生最多4人的概率为0.96，得0.96z1，z0.04.由派出医生至少3人的概率为0.44，得y0.2z0.44，y0.440.20.040.2.10向三个相邻的军火库投一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.2，炸中第二个军火库的概率为0.12，炸中第三个军火库的概率为0.28，三个军火库中，只要炸中一个另两个也会发生爆炸，求军火库发生爆炸的概率解：设A、B、C分别表示炸弹炸中第一
25、、第二及第三个军火库这三个事件，事件D表示军火库爆炸，已知P(A)0.2，P(B)0.12，P(C)0.28.又因为只投掷了一枚炸弹，故不可能炸中两个及以上军火库，所以A、B、C是互斥事件，且DABC，所以P(D)P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.20.120.280.6，即军火库发生爆炸的概率为0.6.B.能力提升1从1，2，9中任取两数，恰有一个偶数和恰有一个奇数；至少有一个奇数和两个数都是奇数；至少有一个奇数和两个都是偶数；至少有一个奇数和至少有一个偶数在上述事件中，是对立事件的是()A B C D解析：选C.从1，2，9中任取两数，有以下三种情况：(1)两个奇数；(2)两个偶数；(3)一个奇数和一个偶数至少有一个奇数是(1)和(3)，其对立事件显然是(2)故选C.2(2015北京西城质检)如图所示茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为()A. B.C. D.解析：选C.记其中被污损的数字为x，依题意得甲的五次综合测评的平均成绩是(80290389210)90，乙的五次综合测评的平均成绩是(803902337x9)(442x)，令90(442x)，解得xP(D)，故三个臭皮匠方为胜方，即三个臭皮匠能顶上一个诸葛亮；如果三个臭皮匠A、B、C能答对的题目不互斥，则三个臭皮匠未必能顶上一个诸葛亮