1、(时间：45分钟满分：60分)一、选择题1已知两个不同的平面，和两条不重合的直线a，b，则下列说法正确的是()A若ab，b，则aB若a，b，a，b，则C若，b，ab，则aD若a，b，则ab解析：选D.对于A，根据线面平行的判定，ab，b，则a或a，故A不正确；对于B，根据面面平行的判定，a，b相交时，故B不正确；对于C，根据面面垂直的性质，当a，b，ab时，a，故C不正确；对于D，若a，b，则由直线与平面垂直的性质定理知ab，故D正确故选D.2在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点P在对角线BD1上，且BPBD1，则()AMN平面APCBC1Q平面
2、APCCA，P，M三点共线D平面MNQ平面APC解析：选C.由题知，MNAC，连接AM，CN，易得AM，CN交于点P，所以选项A错误，选项C正确；连接AN，易知ANC1Q，所以C1Q平面ACMN，即C1Q平面APC，选项B错误；由题意易知MN平面APC，所以平面MNQ与平面APC相交故选C.3已知a、b为异面直线，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，且ACAD，BCBD，则直线a、b所成的角为()A90 B60C45 D30解析：选A.取CD的中点E，连接AE、BE，因为ACAD，BCBD，所以CDBE，CDAE，则CD平面ABE，又AB平面ABE，所以CDAB，即直线a、b所成的角为90
3、.故选A.4. 在三棱锥SABC中，ABC是边长为6的正三角形，SASBSC12，平面DEFH分别与AB、BC、SC、SA交于D、E、F、H，且它们分别是AB、BC、SC、SA的中点，如果直线SB平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为()A18 B18C36 D36解析：选A.D、E、F、H分别是AB、BC、SC、SA的中点，DEAC，FHAC，DHSB，EFSB，则四边形DEFH是平行四边形，且HDSB6，DEAC3.取AC的中点O，连接OB、SO，SASC12，ABBC6，ACSO，ACOB，又SOOBO，AO平面SOB，AOSB，则HDDE，即四边形DEFH是矩形，四边形DEFH的面积
4、S6318，故选A.5已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为8，侧棱长为6，D为AC的中点，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.BC.D解析：选C.如图所示，连接B1C交BC1于E，连接DE，四边形BCC1B1是平行四边形，B1EEC.又ADDC，DEAB1，则DEB或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角，在DEB中，DE5，BD4，BE5，cosDEB.故选C.6正四棱锥SABCD中，SAAB2，则直线AC与平面SBC所成角的正弦值为()A.BC.D解析：选B.正四棱锥SABCD中，SAAB2，正四棱锥SABCD的高为，在三棱锥SABC中，SABC2，VSABC2.又在三棱
5、锥ASBC中，SSBC，VSABCVASBC，三棱锥ASBC的高h，直线AC与平面SBC所成角的正弦值为.故选B.7. 如图，在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下面命题正确的是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABC解析：选D.由题知，在平面图形中CDBD，折起后仍有CDBD，由于平面ABD平面BCD，故CD平面ABD，CDAB，又ABAD，故AB平面ADC，所以平面ABC平面ADC.8如图，四边形ABCD中，ABADCD1，B
6、D，BDCD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，则BC与平面ACD所成的角的正弦值为()A.BC.D解析：选B.ABAD1，BD，AB2AD2BD2，BAAD.平面ABD平面BCD，BDCD，平面ABD平面BCDBD，CD平面ABD，BA平面ABD，BACD.ADCDD，BA平面ACD，BCA为BC与平面ACD所成的角CD1，BD，BC，BC与平面ACD所成的角的正弦值为.故选B.9如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则BB1与平面AB1C1所成的角的大小为()A.BC.D解析：选A.如图，取B1C1的
7、中点D，连接AD，A1D，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱，BB1AA1，AA1与平面AB1C1所成的角即是BB1与平面AB1C1所成的角，B1C1A1D，B1C1AA1，B1C1平面AA1D，平面AA1D平面AB1C1，AA1与平面AB1C1所成的角为A1AD，AA13，A1D，tanA1AD，A1AD，BB1与平面AB1C1所成的角为.故选A.10. 如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，动点P在对角线BD1上，过点P作垂直于BD1的平面，记这样得到的截面多边形(含三角形)的周长为y，设BPx，则当x1，5时，函数yf(x)的值域为()
8、A2，6 B2，18C3，18 D3，6解析：选D.当P点从B点向D1运动时，截面的周长y越来越大，当截面经过平面AB1C时，周长最大，当P点继续移动时，在截面AB1C到截面A1DC1之间，截面周长不变，当P点继续移动时，截面周长越来越小，所以截面周长的最大值就是AB1C的周长因为正方体的棱长为2，所以AC2，即周长为6，当x1时，截面的周长最小，如图，设EFG的边长为，BF2BE2EF2，又BFBE，所以BE，连接EP交FG于M点，连接BM，因为P是等边EFG的中心，所以FM，所以EM2EF2FM2()2，因为EPEM，所以EP.又BP2EP2BE2，即12()2()2，得y3，所以f(x)
9、的值域为3，6故选D.二、填空题11已知l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下列命题：若l，l，m，则lm；若，l，则l；若l，ml，则m.其中真命题是_(写出所有真命题的序号)解析：由直线与平面平行的性质定理，知命题正确；若，l，则l或l，命题错误；l，lm，m.又，m，命题正确答案：12在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD2AB.若E，F分别为线段A1D1，CC1的中点，则直线EF与平面ABB1A1所成角的余弦值为_解析：取BB1的中点M，连接FM，A1M，易知FM平面ABB1A1，EA1平面ABB1A1，所以线段A1M是线段EF在平面ABB1A1上的射影连接C1E，设A
10、B1，直线EF与平面ABB1A1所成的角是，则有EF，A1M，因此cos ，即直线EF与平面ABB1A1所成角的余弦值是.答案：13已知矩形ABCD的顶点都在半径为2的球O的球面上，且AB3，BC，过点D作DE垂直于平面ABCD，交球O于E，则棱锥EABCD的体积为_解析：如图所示，BE过球心O，DE2，VEABCD322.答案：214在直三棱柱ABCA1B1C1中，若BCAC，BAC，AC4，M为AA1中点，点P为BM中点，Q在线段CA1上，且A1Q3QC，则PQ的长度为_解析：由题意知，AB8，过点P作PDAB交AA1于点D，连接DQ(图略)，则D为AM中点，PDAB4.又3，DQAC，P
11、DQ，DQAC3，在PDQ中，PQ.答案：三、解答题15如图，在四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，AB2AD2CD2，E是PB的中点求证：(1)EC平面PAD；(2)平面EAC平面PBC.证明：(1)作线段AB的中点F，连接EF，CF，则AFCD，AFCD.四边形ADCF是平行四边形，则CFAD.又EFAP，且CFEFF，平面CFE平面PAD.又EC平面CEF，EC平面PAD.(2)PC底面ABCD，PCAC.ABCD是直角梯形，且AB2AD2CD2，AC，BC.AB2AC2BC2，ACBC.PCBCC，AC平面PBC.AC平面EAC，平面EAC平面
12、PBC.16.如图，几何体EFABCD中，CDEF为边长为2的正方形，ABCD为直角梯形，ABCD，ADDC，AD2，AB4，ADF90.(1)求证：ACFB；(2)求几何体EFABCD的体积解：(1)证明：由题意得，ADDC，ADDF，且DCDFD，AD平面CDEF，ADFC.四边形CDEF为正方形，DCFC，DCADD，FC平面ABCD，FCAC.又四边形ABCD为直角梯形，ABCD，ADDC，AD2，AB4，AC2，BC2，则有AC2BC2AB2，ACBC，又BCFCC，AC平面FCB，ACFB.(2)连接EC，过B作CD的垂线，垂足为N，易知BN平面CDEF，且BN2.VEFABCDVEABCDVBECFS梯形ABCDDESEFCBN，几何体EFABCD的体积为.