1、2021年北京市石景山区高三高考数学一模试卷一、选择题（共10小题）.1已知集合A1，3，5，Bx|x2160，则AB（）A1，3B3，5C1，3，5D（0，4）2下列函数中，是奇函数且最小正周期T的是（）ABf（x）x3Cf（x）2sinxcosxDf（x）sinx3复数在复平面上对应的点位于第一象限，则实数a的取值范围是（）A（，1）B（，0）C（0，+）D（1，+）4一几何体的直观图和主视图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（）ABCD5“直线l垂直于平面内无数条直线”是“直线l垂直于平面”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件6已知菱形AB
2、CD的边长为a，ABC60，则（）Aa2Ba2Ca2Da27过抛物线y24x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，若F是线段AB的中点，则|AB|（）A1B2C3D48“回文数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数如22，121，3443等那么在四位数中，回文数共有（）A81个B90个C100个D900个9已知，若|f（x）|ax在x1，1上恒成立，则实数a的取值范围是（）A（10，+）B1，0C0，1D1，0）10瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”在平面直角坐标系中作ABC，ABAC4，点B（1，3），点
3、C（4，2），且其“欧拉线”与圆M：（xa）2+（ya+3）2r2相切则圆M上的点到直线xy+30的距离的最小值为（）ABCD6二、填空题（每小题5分）.11双曲线的离心率为 12已知函数f（x）|lnx|，若，cf（2），则a，b，c从小到大排序为 13如图，如果每个横行上两数字之和相等，每个竖列上两个数字之和相等，请写出一组满足要求的不全相等的a11，a12，a21，a22的值a11 ，a12 ，a21 ，a22 14在锐角ABC中，a3，c5，a2bsinA，则B ，b 15海水受日月的引力，会发生潮汐现象在通常情况下，船在涨潮时驶入航道，进入港口，落潮时返回海洋某兴趣小组通过AI技术模
4、拟在一次潮汐现象下货船出入港口的实验：首先，设定水深y（单位：米）随时间x（单位：小时）的变化规律为y0.8sinx+2（R），其中0x；然后，假设某虚拟货船空载时吃水深度（船底与水面的距离）为0.5米，满载时吃水深度为2米，卸货过程中，随着货物卸载，吃水深度以每小时0.4米的速度减小；并制定了安全条例，规定船底与海底之间至少要有0.4米的安全间隙在此次模拟实验中，若货船满载进入港口，那么以下结论正确的是 若，货船在港口全程不卸货，则该船在港口至多能停留4个小时；若，该货船进入港口后，立即进行货物卸载，则该船在港口至多能停留4个小时；若1，货船于x1时进入港口后，立即进行货物卸载，则时，船底离
5、海底的距离最大；若1，货船于x1时进入港口后，立即进行货物卸载，则时，船底离海底的距离最大三、解答题共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16如图，在五面体ABCDEF中，面ABCD为正方形，面ABFE面CDEFEF，ADED，CDEA（）求证：CD平面ABFE；（）若EFED，CD2EF2，求平面ADE与平面BCF所成的锐二面角的大小17已知有限数列an共有30项an（nN*，n30），其中前20项成公差为d的等差数列，后11项成公比为q的等比数列，记数列的前n项和为Sn从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，求：（）d，q的值；（）数列中的最大项条件：a24，S5
6、30，a2120；条件：S30，a2036，a229；条件：S148，a2120，a2416018某大型连锁超市的市场部为了比较线下、线上这两种模式的销售情况，从某地区众多门店中随机抽取8家门店，对其线下和线上这两种销售模式下的日营业额（单位：万元）进行调查调查结果如下：门店1门店2门店3门店4门店5门店6门店7门店8线下日营业额96.5199.514.516.520.512.5线上日营业额11.591217192321.515若某门店一种销售模式下的日营业额不低于15万元，则称该门店在这种销售模式下的日营业额达标；否则就称该门店在此种销售模式下的日营业额不达标若某门店的日营业总额（线上和线下
7、两种销售模式下的日营业额之和）不低于30万元，则称该门店的日营业总额达标；否则就称该门店的日营业总额不达标（各门店的营业额之间互不影响）（）从8个样本门店中随机抽取3个，求抽取的3个门店的线下日营业额均达标的概率；（）若从该地区众多门店中随机抽取3个门店，记随机变量X表示抽到的日营业总额达标的门店个数以样本门店的日营业总额达标的频率作为一个门店的日营业总额达标的概率，求X的分布列和数学期望；（）线下日营业额和线上日营业额的样本平均数分别记为1和2，线下日营业额和线上日营业额的样本方差分别记为S12和S22试判断1和2的大小，以及S12和S22的大小（结论不要求证明）19已知椭圆的右焦点为F（1
8、，0），且经过点A（2，0）和点B（2，0）（）求椭圆C的方程；（）M和N是椭圆C上两个不同的点，四边形AMBN是平行四边形，直线AM、AN分别交y轴于点P和点Q，求四边形APFQ面积的最小值20已知函数（）当a1时，求f（x）在x0处的切线方程；（）已知f（x）1对任意xR恒成立，求a的值21由m个正整数构成的有限集Ma1，a2，a3，am（其中a1a2a3am），记P（M）a1+a2+am，特别规定P（）0，若集合M满足：对任意的正整数kP（M），都存在集合M的两个子集A，B，使得kP（A）P（B）成立，则称集合M为“满集”（）分别判断集合M11，2与M22，3是否为“满集”，请说明理由；
9、（）若集合M为“满集”，求a1的值；（）若a1，a2，a3，am是首项为1公比为2的等比数列，判断集合M是否为“满集”，并说明理由参考答案一、选择题（共10小题）.1已知集合A1，3，5，Bx|x2160，则AB（）A1，3B3，5C1，3，5D（0，4）解：因为Bx|x2160x|4x4，又集合A1，3，5，所以AB1，3故选：A2下列函数中，是奇函数且最小正周期T的是（）ABf（x）x3Cf（x）2sinxcosxDf（x）sinx解：由于函数f（x）不是周期函数，故排除A；由于f（x）x3不是周期函数，故排除B；由于f（x）2sinxcosxsin2x为奇函数，且是周期函数，周期为，故C
10、满足条件；由于f（x）sinx是奇函数，且周期为2，故D错误，故选：C3复数在复平面上对应的点位于第一象限，则实数a的取值范围是（）A（，1）B（，0）C（0，+）D（1，+）解：复数a+i在复平面上对应的点（a，1）位于第一象限，则实数a的取值范围是（0，+），故选：C4一几何体的直观图和主视图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（）ABCD解：几何体的俯视图，轮廓是矩形，几何体的上部的棱都是可见线段，所以C、D不正确；几何体的上部的棱与正视图方向垂直，所以A不正确故选：B5“直线l垂直于平面内无数条直线”是“直线l垂直于平面”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既
11、不充分也不必要条件解：若直线l垂直于平面，则直线l垂直于平面内无数条直线成立，即必要性成立，反之若直线l垂直于平面内无数条直线，则无法判断直线l垂直于平面，即充分性不成立，即“直线l垂直于平面内无数条直线”是“直线l垂直于平面”的必要不充分条件，故选：B6已知菱形ABCD的边长为a，ABC60，则（）Aa2Ba2Ca2Da2解：菱形ABCD的边长为a，ABC60，a2，aacos60，则（）故选：D7过抛物线y24x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，若F是线段AB的中点，则|AB|（）A1B2C3D4解：F是线段AB的中点，由抛物线的对称性，可知，ABx轴，抛物线y24x，可得p2，所以|A
12、B|2p4故选：D8“回文数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数如22，121，3443等那么在四位数中，回文数共有（）A81个B90个C100个D900个解：4位回文数只需排列前两位数字，后面数字即可确定，又因为第一位不能为0，因此第一位有9种排法，第二位有10种排法，所以共有91090种排法，故选：B9已知，若|f（x）|ax在x1，1上恒成立，则实数a的取值范围是（）A（10，+）B1，0C0，1D1，0）解：函数的图象如图：|f（x）|的图象如图：因为|f（x）|ax在x1，1上恒成立，所以yax的图象应在y|f（x）|的图象的下方，故须斜率为负，或为0当斜率为负时，排除答案A，
13、C；当a0，y0满足要求，排除D故选：B10瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”在平面直角坐标系中作ABC，ABAC4，点B（1，3），点C（4，2），且其“欧拉线”与圆M：（xa）2+（ya+3）2r2相切则圆M上的点到直线xy+30的距离的最小值为（）ABCD6解：ABAC4，BC边上的高线、垂直平分线和中线合一，即ABC的“欧拉线“是BC的垂直平分线，B（1，3），C（4，2），kBC1，中点为（，），BC垂直平分线所在的直线方程为y1（x），即xy10，“欧拉线“与直线xy+30平行，圆M上的点到直线x
14、y+30的距离的最小值为此平行线间的距离d2故选：A二、填空题共5小题，每小题5分，共25分11双曲线的离心率为解：因为双曲线，所以a4，b3，所以c，所以双曲线的离心率为：e故答案为：12已知函数f（x）|lnx|，若，cf（2），则a，b，c从小到大排序为cba解：，c|ln2|ln2，ln2ln4ln8，cba故答案为：cba13如图，如果每个横行上两数字之和相等，每个竖列上两个数字之和相等，请写出一组满足要求的不全相等的a11，a12，a21，a22的值a111，a122，a212，a221（答案不唯一）解：由题意知a11+a12a21+a22，a11+a21a12+a22，则两式相减
15、得a12a21a21a12，即a12a21，a11a22，则不妨取a12a212，a11a221，故答案为：1，2，2，1答案不唯一14在锐角ABC中，a3，c5，a2bsinA，则B，b解：因为a2bsinA，所以由正弦定理可得sinA2sinBsinA，因为sinA0，所以sinB，因为B为锐角，所以B，因为a3，c5，由余弦定理b2a2+c22accosB27+2527，所以b故答案为：，15海水受日月的引力，会发生潮汐现象在通常情况下，船在涨潮时驶入航道，进入港口，落潮时返回海洋某兴趣小组通过AI技术模拟在一次潮汐现象下货船出入港口的实验：首先，设定水深y（单位：米）随时间x（单位：小
16、时）的变化规律为y0.8sinx+2（R），其中0x；然后，假设某虚拟货船空载时吃水深度（船底与水面的距离）为0.5米，满载时吃水深度为2米，卸货过程中，随着货物卸载，吃水深度以每小时0.4米的速度减小；并制定了安全条例，规定船底与海底之间至少要有0.4米的安全间隙在此次模拟实验中，若货船满载进入港口，那么以下结论正确的是若，货船在港口全程不卸货，则该船在港口至多能停留4个小时；若，该货船进入港口后，立即进行货物卸载，则该船在港口至多能停留4个小时；若1，货船于x1时进入港口后，立即进行货物卸载，则时，船底离海底的距离最大；若1，货船于x1时进入港口后，立即进行货物卸载，则时，船底离海底的距离
17、最大解：对于，货船在港口全程不卸货，则吃水恒为2米，所以船离海底为y20.8sinxf1（x），当f1（x）0.4时，则，解得1x5，所以最多停留时间为514小时，故选项正确；对于，货船进入港口后，立即进行货物卸载，则吃水深度为h220.4x且20.4x0.5，解得，此时船离海底，所以，所以f2（x）在上单调递增，且当x1时，f2（1）0.80.4，由，此段时间都可以停靠，又f2（1）0.80.4，所以6154，故选项错误；对于和，货船于x1时进入港口后，立即进行货物卸载，则吃水深度h320.4（x1），1x，所以f3（x）0.8sinx+0.4（x1），则f3（x）0.8cosx+0.40，
18、解得，当时，f3（x）0，则f3（x）单调递增，当时，f3（x）0，则f3（x）单调递减，所以当时，f3（x）取得最大值，所以船底离海底的距离最大，故选项错误，选项正确故答案为：三、解答题共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16如图，在五面体ABCDEF中，面ABCD为正方形，面ABFE面CDEFEF，ADED，CDEA（）求证：CD平面ABFE；（）若EFED，CD2EF2，求平面ADE与平面BCF所成的锐二面角的大小【解答】（）证明：在五面体ABCDEF中，因为面ABCD是正方形，所以CDAB又因为AB平面ABFE，CD平面ABFE，所以CD平面ABFE（）解：因为面A
19、BCD是正方形，所以CDAD又因为CDAE又ADAEA，所以CD平面ADE又因为DE平面ADE，所以CDDE因为面ABCD是正方形，所以CDAD又因为ADDE，所以以点D为坐标原点，DA，DC，DE分别为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系因为CD2EF2，EFED，D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，0，1）由（）CD平面ABFE，CD平面CDEF，平面CDEF平面ABFEEF，所以CDEF所以可得F（0，1，1）由题意知平面ADE的法向量为设平面BCF的法向量为由得令y1，得z1，x0，所以设平面ADE与平面BCF所成锐二面角为cos所以平面AD
20、E与平面BCF所成锐二面角为17已知有限数列an共有30项an（nN*，n30），其中前20项成公差为d的等差数列，后11项成公比为q的等比数列，记数列的前n项和为Sn从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，求：（）d，q的值；（）数列中的最大项条件：a24，S530，a2120；条件：S30，a2036，a229；条件：S148，a2120，a24160【解答】当选择条件时：解：（）因为an的前20项成等差数列，a24，S530，所以解得所以a202+19240因为数列an后11项成公比为q的等比数列，所以综上，（）an的前20项成等差数列，d0所以前20项为递增数列即：前20项的最
21、大项为a2040数列an的后11项成等比数列，所以后11项是递减数列即：后11项的最大项为a2040综上，数列an的最大项为第20项，其值为40当选择条件时：解：（）因为an的前20项成等差数列，S30，a2036，所以所以因为数列an后11项成公比为q的等比数列，a2036，又因为a229，所以综上，（）an的前20项成等差数列，d0所以前20项为递减数列前20项的最大项为a12因为i当时，所以当20n30时，an0此时，数列an的最大项为第1项，其值为2；当时，后11项的最大项为a2118此时，数列an的最大项为第21项，其值为18综上，当时，数列an的最大项为第1项，其值为2；当时，数列
22、an的最大项为第21项，其值为18当选择条件时：解：（）因为数列an后11项成公比为q的等比数列，a2120，a24160，所以，解得q2所以又因为an的前20项成等差数列，S1a148，所以综上，d2，q2（）an的前20项成等差数列，d0所以前20项为递减数列前20项的最大项为a148an的后11项成等比数列，而a2010，q2，所以后11项为递增数列后11项的最大项为a3010240，综上，数列an的最大项为第30项，其值为1024018某大型连锁超市的市场部为了比较线下、线上这两种模式的销售情况，从某地区众多门店中随机抽取8家门店，对其线下和线上这两种销售模式下的日营业额（单位：万元）
23、进行调查调查结果如下：门店1门店2门店3门店4门店5门店6门店7门店8线下日营业额96.5199.514.516.520.512.5线上日营业额11.591217192321.515若某门店一种销售模式下的日营业额不低于15万元，则称该门店在这种销售模式下的日营业额达标；否则就称该门店在此种销售模式下的日营业额不达标若某门店的日营业总额（线上和线下两种销售模式下的日营业额之和）不低于30万元，则称该门店的日营业总额达标；否则就称该门店的日营业总额不达标（各门店的营业额之间互不影响）（）从8个样本门店中随机抽取3个，求抽取的3个门店的线下日营业额均达标的概率；（）若从该地区众多门店中随机抽取3个
24、门店，记随机变量X表示抽到的日营业总额达标的门店个数以样本门店的日营业总额达标的频率作为一个门店的日营业总额达标的概率，求X的分布列和数学期望；（）线下日营业额和线上日营业额的样本平均数分别记为1和2，线下日营业额和线上日营业额的样本方差分别记为S12和S22试判断1和2的大小，以及S12和S22的大小（结论不要求证明）解：（）设“抽取的3个门店的线下日营业额均达标”为事件A，由题意知，8个样本门店中线下日营业额达标的有3家，所以所以抽取的3个门店的线下日营业额均达标的概率为（）由题意，8个样本门店中线下日营业总额达标的有4家，所以从该地区众多门店中任选1个门店，日营业总额达标的概率为依题意，
25、随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.； ； 所以随机变量X的分布列为：X0123P其数学期望（）19已知椭圆的右焦点为F（1，0），且经过点A（2，0）和点B（2，0）（）求椭圆C的方程；（）M和N是椭圆C上两个不同的点，四边形AMBN是平行四边形，直线AM、AN分别交y轴于点P和点Q，求四边形APFQ面积的最小值解：（）由已知a2，c1，所以b2a2c23所以椭圆C的方程为（）因为四边形AMBN是平行四边形，所以AB与MN的中点重合，所以M、N关于原点对称设M（x1，y1），则N（x1，y1）（x12且y10），直线AM的方程为，令x0，得，即，又，直线AN的方程为，令x0，得，即四边
26、形APFQ面积为，因为点M在椭圆上，所以，所以所以所以当时，所以四边形APFQ面积的最小值为20已知函数（）当a1时，求f（x）在x0处的切线方程；（）已知f（x）1对任意xR恒成立，求a的值解：（）当a1时，所以f（0）1，f（0）2切线l的斜率为kf（0）2所以f（x）在x0处的切线方程为y2x+1（）依题意，f（x）1对任意xR恒成立，当a0时，由于ex0，则f（x）0恒成立，所以f（x）在R内单调递减，因为f（0）1，故当x0时，f（x）1，不符合题意当a0时，令f（x）0，得当a0时，因为f（0）1，那么x，f（x），f（x）的变化情况如下表：xf（x）0+f（x）单调递减极小值单调
27、递增所以结合f（x）的单调性知：当x0时，f（x）1，不符合题意当a0时，x，f（x），f（x）的变化情况如下表：xf（x）+0f（x）单调递增极大值单调递减当0a1时，因为f（0）1，所以结合f（x）的单调性知当时，f（x）1，不符合题意当a1时，因为f（0）1，所以结合f（x）的单调性知当时，f（x）1，不符合题意当a1时，由f（x）的单调性可知，f（x）maxf（0）1，所以符合题意综上，a121由m个正整数构成的有限集Ma1，a2，a3，am（其中a1a2a3am），记P（M）a1+a2+am，特别规定P（）0，若集合M满足：对任意的正整数kP（M），都存在集合M的两个子集A，B，使得
28、kP（A）P（B）成立，则称集合M为“满集”（）分别判断集合M11，2与M22，3是否为“满集”，请说明理由；（）若集合M为“满集”，求a1的值；（）若a1，a2，a3，am是首项为1公比为2的等比数列，判断集合M是否为“满集”，并说明理由解：（）M1是满集，M2不是满集P（M1）3，且M1的子集为，1，2，1，2k1，kP（1）P（），k2，kP（2）P（），k3，kP（1，2）P（）所以M1是满集；P（M2）5，且M2的子集为，2，3，2，3，k4时，不存在集合M的两个子集A、B，使得4P（A）P（B）成立，所以M2不是满集（）设k0P（M），因为集合M为“满集”对任意的正整数kP（M），都存在集合M的两个子集A、B，使得kP（A）P（B）成立则k01P（A）P（B），且P（B）0，所以P（A）k0或P（A）k01当P（A）k0时，P（B）1，此时a11；当P（A）k01时，P（B）0，因为a1a2a3am，所以a2+a3+am为最大k01，此时a11综上a11（）集合M是满集由题意知集合M1，2，4，2m1，对任意的正整数k2m1，根据二进制可知，k（0isi1m）取A，B即kP（A）P（B），所以集合M为“满集”