1、第六章 万有引力与航天习题课 万有引力与航天中的几类典型问题讲重点、研典题、学方法典型问题剖析知识点一 天体运动中四组易混概念的比较|知识归纳|一、两种 r距离和半径1万有引力定律公式 FGm1m2r2 中的 r 指的是两个质点之间的距离2而向心力公式 Fmv2r 和开普勒第三定律r3T2k 中的 r 指的都是圆周轨道的半径3联系：中心天体不动时，二者相等，而在双星、三星系统中二者不同二、两种半径天体半径和轨道半径卫星的轨道半径总大于中心天体的半径当卫星贴近天体表面运行时，可近似认为轨道半径等于天体半径三、两种速度运行速度和发射速度1运行速度指做圆周运动的人造卫星稳定飞行时的线速度，对于人造地
2、球卫星，由 GMmr2 mv2r 得 vGMr，可见轨道半径越大，则运行速度越小2在地面上以某一速度发射一个物体，假设发射后物体不受地球引力之外的阻力，也不再对物体提供动力，这个速度称为发射速度，三个宇宙速度都是指发射速度发射速度随着预定轨道半径的增大而增大3联系：运行速度越大的卫星，对应的轨道半径越小，发射时的发射速度就越小四、两种周期自转周期和公转周期1自转周期是天体绕自身某轴线转动一周所用的时间，取决于天体自身转动的快慢2公转周期是天体绕中心天体做圆周运动一周的时间，由GMmr2m2T2r 得 T2 r3GM，取决于中心天体的质量和运行天体到中心天体的距离，与运行天体自身质量无关3联系：
3、一般情况下天体的自转周期和公转周期是不等的，如：地球自转周期为 24 小时，公转周期为 365 天它们之间没有直接联系，在应用中要注意区别|例题展示|【例 1】绕地球做匀速圆周运动的地球同步卫星，距离地球表面的高度约为地球半径的 5.6 倍，线速度大小为 v1，周期为T1；绕地球做匀速圆周运动的某人造卫星，距离地球表面的高度为地球半径的 2 倍，线速度大小为 v2，周期为 T2；地球赤道上的物体随地球自转的线速度大小为 v3，周期为 T3，则下列关系正确的是()Av2v1v3 Bv1v2v3CT1T3T2DT1T2T3解析 地球同步卫星的运动周期与地球的自转周期相同，即T1T3，又 2T，所以
4、它们的角速度相同，根据关系式 vr可知，v1v3；地球同步卫星和人造卫星都围绕地球做匀速圆周运动，它们受到的地球的引力提供向心力，即 GMmr2 m2T2rmv2r，可得 vGMr，T2 r3GM，则轨道半径 r 减小时，速率 v变大，周期 T 变小，所以 v1v2，T2T1，所以 v3v1v2，T2T1T3，选项 A 正确，B、C、D 错误答案 A|对点训练|1两个球形行星 A 和 B 各有一卫星 a 和 b，卫星的圆轨道接近各自行星的表面如果两行星质量之比MAMBp，两行星半径之比RARBq，则两卫星周期之比TaTb为()Aqqp Bq pCppqD pq解析：选 A 卫星做圆周运动时，万
5、有引力提供圆周运动的向心力，则有GMmr2m42rT2，解得周期 T42r3GM，在行星表面运动有 rR，所以两卫星周期之比TaTbRA3MAMBRB3q3p qqp，故选项 A 正确，B、C、D 错误2(多选)三颗人造地球卫星 A、B、C 绕地球做匀速圆周运动，如图所示，已知 mAmBvBvCB运行周期关系为 TATBTCC向心力大小关系为 FAFBvBvC，选项 A 正确；由 GMmr2 mr42T2 得 T2 r3GM，所以 TAaBaC，又 mAmBFB，FBFC，选项 C 错误；三颗卫星都绕地球运行，故由开普勒第三定律得RA3TA2RB3TB2RC3TC2，选项 D 正确知识点二 卫
6、星变轨、对接问题|知识归纳|1卫星的变轨问题卫星变轨时，先是线速度 v 发生变化导致需要的向心力发生变化，进而使轨道半径 r 发生变化(1)当卫星减速时，卫星所需的向心力 F 向mv2r 减小，万有引力大于所需的向心力，卫星将做近心运动，向低轨道变迁(2)当卫星加速时，卫星所需的向心力 F 向mv2r 增大，万有引力不足以提供卫星所需的向心力，卫星将做离心运动，向高轨道变迁2飞船对接问题(1)低轨道飞船与高轨道空间站对接如图甲所示，低轨道飞船通过合理地加速，沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站与其完成对接(2)同一轨道飞船与空间站对接如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通
7、过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度|例题展示|【例 2】如图所示，某次发射同步卫星的过程如下：先将卫星发射至近地圆轨道 1，然后再次点火进入椭圆形的过渡轨道2，最后将卫星送入同步轨道 3.轨道 1、2 相切于 Q 点，轨道 2、3相切于 P 点，则当卫星分别在 1、2、3 轨道上正常运行时，以下说法正确的是()A卫星在轨道 3 上的速率大于在轨道 1 上的速率B卫星在轨道 3 上的角速度大于在轨道 1 上的角速度C卫星在轨道 1 上经过 Q 点时的加速度大于它在轨道 2 上经过 Q 点时的加速度D卫星在轨道 2 上经过 P 点时的加速度等于它在轨道 3 上经过 P 点时的加速度思
8、路点拨(1)在两个圆轨道上运行速率大小的比较，可利用万有引力提供向心力来推导(2)在不同轨道上经过同一点时的加速度大小的比较，可利用牛顿第二定律来判断解析 由 GMmr2 mv2r mr2得，vGMr，GMr3，由于 r1r3，所以 v1v3，13，A、B 错；轨道 1 上的 Q 点与轨道 2 上的 Q 点是同一点，到地心的距离相同，根据万有引力定律及牛顿第二定律知，卫星在轨道 1 上经过 Q 点时的加速度等于它在轨道 2 上经过 Q 点时的加速度，同理卫星在轨道 2 上经过 P点时的加速度等于它在轨道 3 上经过 P 点时的加速度，C 错，D正确答案 D方 法 技 巧判断卫星变轨时速度、加速
9、度变化情况的思路(1)判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断(2)判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普勒行星运动第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小(3)判断卫星由圆轨道进入椭圆轨道或由椭圆轨道进入圆轨道时的速度大小如何变化时，可根据离心运动或近心运动的条件进行分析(4)判断卫星的加速度大小时，可根据 aFmGMr2判断|对点训练|3宇宙飞船正在轨道上运行，地面指挥人员发现某一火箭残体的轨道与飞船轨道有一交点，于是通知宇航员，飞船有可能与火箭残体相遇宇航员随即开动飞船上的发动机使飞船加速，脱离原轨道，最终在新轨道上稳定运行关于飞船在此过程中的运
10、动，下列说法正确的是()A飞船的高度降低 B飞船的高度升高C飞船的周期变小D飞船的向心加速度变大解析：选 B 由 GMmr2 mam42T2 r 知，飞船加速后，做离心运动，r 增大，T 增大，a 减小，故 A、C、D 错误，B 正确42018 年 12 月 8 日 2 时 23 分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭成功发射嫦娥四号探测器“嫦娥四号”的飞行轨道示意图如图所示假设“嫦娥四号”在环月段圆轨道和椭圆轨道上运动时，只受到月球的万有引力，则以下说法正确的是()A若已知“嫦娥四号”环月段圆轨道的半径、运动周期和引力常量，则可以计算出月球的密度B“嫦娥四号”由环月段圆轨道变轨进入环
11、月段椭圆轨道时，应让发动机点火使其加速C“嫦娥四号”在从远月点 P 向近月点 Q 运动的过程中，加速度变大D“嫦娥四号”在环月段椭圆轨道上 P 点的速度大于 Q 点的速度解析：选 C 根据“嫦娥四号”环月段圆轨道的半径、运动周期和引力常量可以求出月球的质量，但是由于不知道月球的半径，故无法求出月球的密度，A 错；“嫦娥四号”由环月段圆轨道变轨进入环月段椭圆轨道时，轨道半径减小，故应让发动机点火使其减速，B 错；“嫦娥四号”在从远月点 P 向近月点 Q 运动的过程中所受万有引力逐渐增大，故加速度变大，C 对；“嫦娥四号”在环月段椭圆轨道上运动时离月球越近速度越大，故 P 点的速度小于 Q 点的速
12、度，D 错5(多选)2013 年 6 月 13 日 13 时 18 分，“神舟十号”飞船与“天宫一号”目标飞行器顺利完成自动交会对接关于它们的交会对接，以下说法正确的是()A飞船在同轨道上加速直到追上“天宫一号”完成对接B飞船从较低轨道，通过加速追上“天宫一号”完成对接C在同一轨道上的“天宫一号”通过减速完成与飞船的对接D若“神舟十号”与“天宫一号”原来在同一轨道上运动，则不能通过直接加速或减速某飞行器的方式完成对接解析：选 BD“神舟十号”飞船与“天宫一号”目标飞行器正确对接的方法是处于较低轨道的“神舟十号”飞船在适当位置通过适当加速，恰好提升到“天宫一号”目标飞行器所在高度并与之交会对接若
13、“神舟十号”与“天宫一号”原来在同一轨道上运动，后面的飞行器加速会上升到较高运动轨道，前面的飞行器减速会下降到较低的运动轨道，这样都不会完成交会对接，故 A、C 错误，B、D 正确知识点三 双星问题|知识归纳|1双星模型宇宙中往往会有相距较近、质量相当的两颗星球，它们离其他星球都较远，因此其他星球对它们的万有引力可以忽略不计在这种情况下，它们将各自围绕它们连线上的某一固定点 O 做同周期的匀速圆周运动这种结构叫做双星模型(如图所示)2双星的特点(1)由于双星和该固定点 O 总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必然相等，即双星做匀速圆周运动的角速度必然相等，因此周期也必然相等(2)由于每颗
14、星球的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等，即 m12r1m22r2，又 r1r2L(L是双星间的距离)，可得 r1m2m1m2L，r2m1m1m2L，即固定点离质量大的星球较近(3)列式时需注意：万有引力定律表达式中的 r 表示双星间的距离，该处按题意应该是 L，而向心力表达式中的 r 表示它们各自做圆周运动的轨道半径|例题展示|【例 3】宇宙中两颗相距较近的恒星称为双星，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至于因相互之间的引力作用吸引到一起设两者相距为 L，质量分别为 m1 和 m2.(1)试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于质量的反比；(2)试
15、写出它们角速度的表达式解析 双星之间相互作用的引力满足万有引力定律，即 FGm1m2L2，双星依靠它们之间相互作用的引力提供向心力，又因为它们以二者连线上的某点为圆心，所以半径之和为 L 且保持不变，运动中角速度不变，如图所示(1)分别对 m1、m2应用牛顿第二定律列方程，对 m1有 Gm1m2L2 m12r1，对 m2有 Gm1m2L2 m22r2，由得r1r2m2m1.由线速度与角速度的关系 vr，得v1v2r1r2m2m1.(2)由得 r1Gm2L22，由得 r2Gm1L22，又 Lr1r2，联立以上三式得 Gm1m2L3.答案(1)见解析(2)Gm1m2L3方 法 技 巧求解双星问题的
16、思路(1)两个星球之间的万有引力为它们做匀速圆周运动提供向心力(2)两个星球的角速度和周期都相同(3)两个星球做匀速圆周运动时圆心为同一点(4)两个星球的轨道半径之和等于它们之间的距离|对点训练|6(多选)两颗靠得较近的恒星叫双星，它们以两者连线上的某点为圆心做匀速圆周运动，这样它们就不会因引力作用而吸引在一起，则下述物理量中，与它们的质量成反比的是()A线速度B角速度C向心加速度D转动半径解析：选 ACD 双星具有相同的角速度，由相互间的万有引力提供向心力，从而使双星做匀速圆周运动，不会因相互间的吸引力而靠在一起，双星做圆周运动的向心力大小相等，等于相互间的万有引力，故 B 错误；即 m12
17、r1m22r2，得r1r2m2m1，故 D项正确；又 vr，得v1v2m2m1，故 A 项正确；又 a2r，得a1a2m2m1，故 C 项正确7经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的 O 点做周期相同的匀速圆周运动现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为 m1m232，下列说法中正确的是()Am1、m2 做圆周运动的线速度之比为 32Bm1、m2 做圆周运动的角速度之比为 32Cm1 做圆周运动的半径为25LDm2 做圆周运动的半径为25L解析：选 C 设双星 m1、m2距转动中心 O 的距离分别为 r1、r2，双星绕 O 点转动的角速度为，据万有引力定律和牛顿第二定律得 Gm1m2L2 m1r12m2r22，又 r1r2L，m1m232，所以可解得 r125L，r235L，m1、m2运动的线速度分别为 v1r1，v2r2，故 v1v2r1r223，故选项 C 正确，A、B、D 错误word部分：请做：课时提升训练练规范、练能力、学业过关点此进入该word板块