1、高考资源网（ ），您身边的高考专家天津南开中学2013届高三第四次月考数学试卷（理科）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第卷本卷共8小题，每小题5分，共40分。一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. i是虚数单位，复数（ ）A. B. C. D. 2. 已知条件，条件，且是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 3. 阅读下边的程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为25时，输出x的值为（ ）A. 1B. 1C. 3D. 94. 数列的前n项和为，则数列的前50项的和为（ ）A. 49B.
2、50C. 99D. 1005. 二项式的展开式中的常数项是（ ）A. 28B. 7C. 7D. 286. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A. 向左平移个长度单位B. 向右平移个长度单位C. 向左平移个长度单位D. 向右平移个长度单位7. 平面向量与的夹角为，则（ ）A. B. C. 7D. 38. 设是定义在R上的周期函数，周期为，对都有，且当时，若在区间内关于x的方程0恰有3个不同的实根，则a的取值范围是（ ）A. （1，2）B. C. D. 第卷本卷共12小题，共110分。二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。9. 某校高中生共有2000人，其中高一年级560人，高
3、二年级640人，高三年级800人，现采取分层抽样抽取容量为100的样本，那么高二年级应抽取的人数为 人。10. 一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：cm2）为 。11. 已知变量x，y满足约束条件，则的最大值为 。12. 已知双曲线的左右焦点为，P为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为8a，则双曲线的离心率的取值范围是 。13. 如图所示，圆O是ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD，ABBC3，则AC的长为 。14. 若不等式对任意都成立，则实数a取值范围是 。三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15. （本小题13分）已知
4、向量，函数（1）求函数的最小正周期T及单调减区间（2）已知分别是ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，且，求A，b和ABC的面积S16. （本小题13分）张师傅驾车从公司开往火车站，途径4个公交站，这四个公交站将公司到火车站分成5个路段，每个路段的驾车时间都是3分钟，如果遇到红灯要停留1分钟，假设他在各交通岗是否遇到红灯是相互独立的，并且概率都是（1）求张师傅此行时间不少于16分钟的概率（2）记张师傅此行所需时间为Y分钟，求Y的分布列和均值17. （本小题13分）如图，已知四棱锥EABCD的底面为菱形，且ABC60，ABEC2，AEBE（1）求证：平面EAB平面ABCD（2）求二面角AEC
5、D的余弦值18. （本小题13分）已知数列满足，（1）证明：数列是等比数列，并求出的通项公式（2）设数列的前n项和为，且对任意，有成立，求19. （本小题14分）设点P是曲线C：上的动点，点P到点（0，1）的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为（1）求曲线C的方程（2）若点P的横坐标为1，过P作斜率为的直线交C与另一点Q，交x轴于点M，过点Q且与PQ垂直的直线与C交于另一点N，问是否存在实数k，使得直线MN与曲线C相切？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由。20. （本小题14分）已知函数的最小值为0，其中。（1）求a的值（2）若对任意的，有成立，求实数k的最小值（3）证明【试题答案】一、选
6、择题1. B 2. C 3. C 4. A 5. C 6. A 7. A 8. D二、填空题9. 32 10. 11. 1112. 13. 14. 三、解答题15. 解：（1）所以，最小正周期为所以，单调减区间为（2），由得，解得故16. 解：（1） （2）记张师傅此行遇到红灯的次数为X，则，依题意，则Y的分布列为Y1516171819PY的均值为17. 解：（1）证明：取AB的中点O，连接EO，COAEB为等腰直角三角形EOAB，EO1又ABBC，ABC60，ABC是等边三角形，又EO平面ABCD，又EO平面EAB，平面EAB平面ABCD（2）以AB的中点O为坐标原点，OB所在直线为y轴，O
7、E所在直线为z轴，如图建系则，（0，2，0）设平面DCE的法向量为，则，即，解得：同理求得平面EAC的一个法向量为，所以二面角AECD的余弦值为18. 解：（1）由可得，是以2为首项，3为公比的等比数列（2）时，时，设则综上，19. 解：（1）依题意知，解得，所以曲线C的方程为（2）由题意设直线PQ的方程为：，则点由，得，所以直线QN的方程为由，得所以直线MN的斜率为过点N的切线的斜率为所以，解得故存在实数k使命题成立。20. 解：（1）的定义域为，由，得，当x变化时，的变化情况如下表：x0极小值因此，在处取得最小值，故由题意，所以。（）解：当时，取，有，故不合题意。当时，令，即。，令，得1。（1）当时，在上恒成立，因此在上单调递减，从而对于任意的，总有，即在上恒成立。故符合题意。（2）当时，对于，故在内单调递增，因此当取时，即不成立。故不合题意，综上，k的最小值为。（）证明：当n1时，不等式左边右边，所以不等式成立。当时，。在（）中取，得，从而，所以有。综上，。欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。