1、第一章 计数原理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质第一章 计数原理考点学习目标核心素养杨辉三角问题能认识杨辉三角，并能利用它写出(ab)n 的指数不是很大时的展开式数学运算二项式系数和问题会用赋值法求展开式系数的和数学运算二项式系数的最大项问题能记住二项式系数的性质，并能灵活运用性质解决相关问题数学运算问题导学预习教材 P32P35 的内容，并思考下列问题：1.杨辉三角有哪些特点？2.二项式系数的性质有哪些？1.杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是_，与这两个 1 等距离的项的系数_.(2)在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的_，即_.1相等和Crn1C
2、r1n Crn2.二项式系数的性质(1)对称性：在(ab)n 的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 C0nCnn，C1nCn1n，CrnCnrn.(2)增减性与最大值：当 kn12 时，二项式系数是逐渐_的，由对称性知它的后半部分是逐渐_的，且在中间取到最大值当 n 是偶数时，中间一项的二项式系数_取得最大值；当 n 是奇数时，中间两项的二项式系数 Cn12n，Cn+12n 相等，且同时取到最大值.增大减小Cn2n(3)各二项式系数的和C0nC1nC2nCnn2n.C0nC2nC4nC1nC3nC5n2n1.名师点拨对二项式系数性质的三点说明(1)对称性：源于组合数的性质“
3、CmnCnmn”，基础是 C0nCnn1，然后从两端向中间靠拢，便有 C1nCn1n，C2nCn2n，.(2)最大值：当 n 是偶数时，(ab)n 的展开式共 n1 项，n1是奇数，这时展开式的形式是中间一项是第n21 项，它的二项式系数是 Cn2n，它是所有二项式系数中的最大值；当 n 是奇数时，(ab)n 的展开式共有 n1项，n1 是偶数，这时展开式的形式是中间两项是第n12，n32 项，它们的二项式系数是 Cn12n，Cn+12n，这两个系数相等，并且是所有二项式系数中的最大值.(3)各二项式系数和：C0nC1nC2nCnn2n源于(ab)nC0nanC1nan1bCnnbn 中令 a
4、1，b1，即得到 C0nC1nC2nCnn2n.判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列()(2)二项式展开式中系数最大的项与二项式系数最大的项是相同的()(3)二项展开式的二项式系数和为 C1nC2nCnn.()关于(ab)10 的说法，错误的是()A展开式中的二项式系数之和为 1 024B展开式中第 6 项的二项式系数最大C展开式中第 5 项或第 7 项的二项式系数最大D展开式中第 6 项的系数是非正数解析：选 C根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数的性质知：二项式系数之和为 2n，故 A 正确；当 n 为偶数时，二项式系数最大的项是中间一
5、项，故 B 正确，C 错误；D 也是正确的，因为展开式第 6 项中的b 的次数为 5 次，所以是非正数.(1x)2n1 的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是()An，n1 Bn1，nCn1，n2 Dn2，n3解析：选 C因为 2n1 是奇数，所以中间两项，即第 n1，n2 项二项式系数最大.(2x1)6 展开式中各项系数的和为_；各项的二项式系数和为_.解析：令展开式左、右两边 x1，得各项系数和为 1；各二项式系数之和为 2664.答案：1 64(2x)10a0a1xa2x2a10 x10，则 a8_.解析：由题意可知 a8 是 x8 的系数，所以 a8C81022180.答案：180
6、(1)杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第 5 行除去两端数字1 以外，均能被 5 整除，则具有类似性质的行是()A第 6 行 B第 7 行 C第 8 行 D第 9 行与杨辉三角有关的问题(2)如图，在杨辉三角中，斜线 AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，记这个数列的前 n 项和为 S(n)，则 S(16)等于()A144 B146C164 D461【解析】(1)由题意，第 6 行为 1 6 15 20 15 6 1，第 7行为 1 7 21 35 35 21 7 1，故第 7 行除去两端数字 1 以外，均能被 7 整除.(2)由题干图知，数列中的首项是 C2
7、2，第 2 项是 C12，第 3 项是 C23，第 4 项是 C13，第 15 项是 C29，第 16 项是 C19.所以 S(16)C12C22C13C23C19C29(C12C13C19)(C22C23C29)(C22C12C13C19C22)(C33C23C29)C210C3101164.【答案】(1)B(2)C解决与杨辉三角有关的问题的一般思路 1.如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第_行中从左到右第 14 与第 15 个数的比为 23.解析：由杨辉三角知，第一行中的数是 C01，C11；第 2 行中的数是C02，C12，C22；第 3 行中的数是 C03，C13，C23，C33
8、；第 n 行中的数是 C0n，C1n，C2n，Cnn.设第 n 行中从左到右第 14 与第 15个数的比为 23，则 C13n C14n 23，解之得 n34.答案：342.如图所示，满足第 n 行首尾两数均为 n；表中的递推关系类似杨辉三角，则第 n 行(n2)的第 2 个数是_.解析：由图中数字规律可知，第 n 行的第 2 个数是123(n1)1n（n1）21.答案：n2n22 已知(2x1)5a0 x5a1x4a2x3a3x2a4xa5.求下列各式的值：(1)a0a1a2a5；(2)|a0|a1|a2|a5|；(3)a1a3a5.二项式系数和问题【解】(1)令 x1，得 a0a1a2a5
9、1.(2)令 x1，得35a0a1a2a3a4a5.由(2x1)5 的通项 Tr1Cr5(1)r25rx5r 知 a1，a3，a5 为负值，所以|a0|a1|a2|a5|a0a1a2a3a4a535243.(3)由 a0a1a2a51，a0a1a2a535，得 2(a1a3a5)135，所以 a1a3a51352121.变问法在本例条件下，求下列各式的值：(1)a0a2a4；(2)a1a2a3a4a5；(3)5a04a13a22a3a4.解：(1)因为 a0a1a2a51，a0a1a2a535.所以 a0a2a41352122.(2)因为 a0 是(2x1)5 展开式中 x5 的系数，所以 a
10、02532.又 a0a1a2a51，所以 a1a2a3a4a531.(3)因为(2x1)5a0 x5a1x4a2x3a3x2a4xa5.所以两边求导数得 10(2x1)45a0 x44a1x33a2x22a3xa4.令 x1 得 5a04a13a22a3a410.二项展开式中系数和的求法(1)对形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR，m，nN*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x1 即可；对(axby)n(a，bR，nN*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 xy1 即可.(2)一般地，若 f(x)a0a1xa2x2anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为
11、 f(1)，奇数项系数之和为 a0a2a4f（1）f（1）2，偶数项系数之和为 a1a3a5f（1）f（1）2.1.如果3x 13 x2n的展开式中各项系数之和为 128，那么 n 的值为()A7B8C9 D10解析：选 A因为展开式中各项系数之和为 128，所以令 x1，得 2n128，所以 n7.2.若(1x)(12x)7a0a1xa2x2a8x8，则 a1a2a7的值是()A2 B3C125 D131解析：选 C由题意可知 a8(2)7128，令 x0，得 a01，令 x1，得 a0a1a2a7a82，所以 a1a2a7125.故选 C 已知二项式122xn.(1)若展开式中第 5 项、
12、第 6 项、第 7 项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式中前三项的二项式系数和等于 79，求展开式中系数最大的项.求二项展开式中系数或二项式系数的最大项【解】(1)由题意，得 C4nC6n2C5n，所以 n221n980，所以 n7 或 n14.当 n7 时，展开式中二项式系数最大的项是 T4 和 T5，T4 的系数为 C3712423352，T5 的系数为 C471232470.故展开式中二项式系数最大项的系数分别为352，70.当 n14 时，展开式中二项式系数最大的项是 T8，所以 T8 的系数为 C714127273 432.故展开式中二项式系数最
13、大的项的系数为 3 432.(2)由题意知 C0nC1nC2n79，解得 n12 或 n13(舍去).设展开式中第(r1)项的系数最大，由于122x121212(14x)12，则Cr124rCr112 4r1，Cr124rCr112 4r1，所以 9.4r10.4.又 r0，1，2，12，所以 r10，所以系数最大的项为 T11，且 T111212C1012(4x)1016 896x10.(1)二项式系数最大的项的求法求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对(ab)n 中的 n进行讨论.当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大.当 n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大.(2)展开式中系
14、数最大的项的求法求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析如求(abx)n(a，bR)的展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法设展开式中各项系数分别为 A0，A1，A2，An，且第 r1 项最大，应用ArAr1，ArAr1，解出 r，即得出系数最大的项 已知x 2x2n的展开式中，只有第 6 项的二项式系数最大.(1)求该展开式中所有有理项的项数；(2)求该展开式中系数最大的项.解：(1)由题意，可知n216，所以 n10.所以 Tr1Cr10 x10r22rx2rCr102rx105r2，因为105r2Z 且0r10，rN，所以 r0，2
15、，4，6，8，10.所以展开式中所有有理项的项数为 6.(2)设第 r1 项的系数最大，则Cr102rCr110 2r1，Cr102rCr110 2r1，即2r111r，110r 2r1.解得193 r223.因为 rN，所以 r7.所以展开式中系数最大的项为 T8C71027x252 15 360 x252.1.x1x11的展开式中二项式系数最大的项是()A第 6 项 B第 8 项C第 5，6 项D第 6，7 项解析：选 D由 n11 为奇数，则展开式中第1112项和第11121 项，即第 6 项和第 7 项的二项式系数相等，且最大.2.已知x21xn的二项展开式的各项系数和为 32，则二项
16、展开式中x4 的系数为()A5 B10C20 D40解析：选 B因为x21xn的二项展开式的各项系数和为 32，所以令 x1 得 2n32，所以 n5.所以x21x5的二项展开式的第 r1 项为 Tr1Cr5(x2)5r1xrCr5x103r，令 103r4，得 r2，故二项展开式中 x4 的系数为 C2510.3.已知(1x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，则(a0a2a4)(a1a3a5)的值等于_.解析：依题可得 a0a2a4(a1a3a5)16，则(a0a2a4)(a1a3a5)256.答案：2564.若 C2n620Cn220(nN*)，且(2x)na0a1xa2x2anxn，则 a0a1a2(1)nan_.解析：由 C2n620Cn220 可知 n4，令 x1，可得 a0a1a2(1)nan3481.答案：815.已知142xn的展开式中前三项的二项式系数的和等于 37，求展开式中二项式系数最大的项的系数.解：由 C0nC1nC2n37，得 1n12n(n1)37，得 n8.142x8的展开式共有 9 项.其中 T5C48144(2x)4358 x4，该项的二项式系数最大，系数为358.按ESC键退出全屏播放本部分内容讲解结束