1、 3.1 数系的扩充和复数的概念31.1 数系的扩充和复数的概念一、预习教材问题导入根据以下提纲，预习教材P102P103，回答下列问题(1)方程x210在实数范围内有解吗？提示：没有(2)为了解决x210这样的方程在实数系中无解的问题，教材中引入了一个什么样的新数？提示：引入了新数i，使ii1.(3)把实数a与引入的新数i相加，把实数b与i相乘，各得到什么结果？提示：分别得到ai，bi.(4)把实数a与实数b和i相乘的结果相加，得到什么结果？提示：得到abi.二、归纳总结核心必记1复数的概念及代数表示(1)定义：形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2.全体复数所成的
2、集合C叫做(2)表示：复数通常用字母z表示，即zabi(a，bR)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的与1复数集实部虚部2复数相等的充要条件在复数集Cabi|a，bR 中任取两个数abi，cdi(a，b，c，dR)，规定abi与cdi相等的充要条件是.3复数的分类(1)复数abi(a，bR)b0，b0当a0时为纯虚数.(2)集合表示：ac且bd实数虚数三、综合迁移深化思维(1)复数mni的实部、虚部一定是m、n吗？提示：不一定只有当mR，nR 时，m，n才是该复数的实部、虚部(2)对于复数zabi(a，bR)，它的虚部是b还是bi?提示：虚部为b.(3)复数zabi在什么情
3、况下表示实数？提示：b0.(4)复数集C与实数集R 之间有什么关系？提示：RC.(5)我们知道0是实数，也是复数，那么它的实部和虚部分别是什么？提示：它的实部和虚部都是0.(6)a0是zabi为纯虚数的充要条件吗？提示：不是因为当a0且b0时，zabi才是纯虚数，所以a0是复数zabi为纯虚数的必要不充分条件(7)z132i，z212 3i，z30.5i，则z1，z2，z3的实部和虚部各是什么？能否说z1z2?提示：z1的实部为3，虚部为2；z2的实部为12，虚部为3；z3的实部为0，虚部为0.5.因为两个虚数不能比较大小，所以不能说z1z2.(8)若(a2)bi0，则a，b应满足什么条件？提
4、示：要使(a2)bi0成立，则(a2)bi应为实数，且a20，即b0，a20，故a2，b0.探究点一 复数的概念典例精析 下列命题中，正确命题的个数是()若x，yC，则xyi1i的充要条件是xy1；若a，bR 且ab，则aibi；若x2y20，则xy0；一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；1没有平方根；若aR，则(a1)i是纯虚数A0 B1 C2 D3解析 由于x，yC，所以xyi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，错由于两个虚数不能比较大小，所以错当x1，yi时，x2y20也成立，所以错当一个复数实部等于零，虚部也等于零时，复数为0，所以错1的平方根为i，所以错当
5、a1时，(a1)i0是实数，所以错故选A.答案 A类题通法(1)两个复数不全是实数，就不能比较大小(2)一个数的平方非负在实数范围内是真命题，在复数范围内是假命题，所以在判定数的性质和结论时，一定要关注在哪个数集上(3)对于复数实部、虚部的确定不但要把复数化为abi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部针对训练 1下列命题正确的是_复数i1的虚部为1.若z1，z2C 且z1z20，则z1z2.任意两个复数都不能比较大小解析：复数i11i，虚部为1，正确；若z1，z2不全为实数，则z1，z2不能比较大小，错误；若两个复数都是实数，可以比较大小，错误答案：探究点二 复数的分类
6、思考探究当a，b满足什么条件时，复数zabi(a，bR)是实数、虚数、纯虚数？名师指津：当b0时，abi是实数；当b0时，abi是虚数；当a0，b0时，abi是纯虚数典例精析 实数x分别取什么值时，复数zx2x6x3(x22x15)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数解(1)当x满足x22x150，x30，即x5时，z是实数(2)当x满足x22x150，x30，即x3且x5时，z是虚数(3)当x满足x2x6x30，x22x150，即x2或x3时，z是纯虚数类题通法 判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数，应首先保证复数的实部、虚部均有意义其次根据分类的标准，列出实部、虚部应满足的关
7、系式再求解针对训练 2实数m为何值时，zlg(m22m1)(m23m2)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数解：(1)若z为实数，则m22m10，m23m20，即m1，m2或m1，解得m2.当m2时，z为实数(2)若z是虚数，则m22m10，m23m20，即m1，m2且m1，解得m2且m1.当m2且m1时，z为虚数(3)若z为纯虚数，则lgm22m10，m23m20，即m22m11，m23m20，即m0或m2，m1且m2.解得m0.当m0时，z为纯虚数探究点三 复数相等的充要条件思考探究若复数z1abi，z2cdi(其中a，b，c，dR)，则z1z2的充要条件是什么？名师指津：z1z2ac
8、且bd.典例精析 根据下列条件，分别求实数x，y的值(1)x2y22xyi2i；(2)(2x1)iy(3y)i.解(1)x2y22xyi2i，且x，yR，x2y20，2xy2，解得x1，y1或x1，y1.(2)(2x1)iy(3y)i，且x，yR，2x1y，13y，解得x52，y4.类题通法 复数相等的充要条件是复数问题实数化的主要依据，多用来求参数，其步骤是：分别确定两个复数的实部与虚部，利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程组求解针对训练 3已知M2，m22m(m2m2)i，N1,2,4i，若MNN，求实数m的值解：因为MNN，所以MN，所以m22m(m2m2)i1或m22m(m2m2)i4i.由复数相等的充要条件得m22m1，m2m20或m22m0，m2m24，解得m1或m2.所以实数m的值是1或2.课堂归纳领悟1本节课的重点是复数的分类及复数相等的充要条件，难点是复数的概念2本节课要重点掌握的规律方法(1)由复数的分类求参数，见探究点二；(2)复数相等的充要条件的应用，见探究点三3若zabi，只有当a，bR 时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分这是本节课的易错点 “课下梯度提能”见“课时跟踪检测(十七)”(单击进入电子文档)
