1、第六章综合检测题考试时间120分钟，满分150分一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1给出下列命题：在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等其中真命题的个数是(A)A0B1C2D3解析不一定，只有当这两点的连线与圆台的轴共面时，才是母线；不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图所示；错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱
2、长不一定相等2以长为8 cm，宽为6 cm的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的底面面积为(C)A64 cm2B36 cm2C64 cm2或36 cm2D48 cm2解析分别以长为8 cm，宽为6 cm的边所在的直线为旋转轴，即可得到两种不同大小的圆柱，显然C选项正确3梯形ABCD中，ABCD，AB平面，CD平面，则直线CD与平面内的直线的位置关系只能是(B)A平行B平行或异面C平行或相交D异面或相交解析由直线与平面平行的判定定理，可知CD，所以CD与平面内的直线没有公共点4.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是(D)AMN与CC1垂直B
3、MN与AC垂直CMN与BD平行DMN与A1B1平行解析连接DC1，可知MN是C1DB的中位线，所以MNBD，BD与A1B1不平行，所以MN不可能与A1B1平行5如图所示，正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，将此正方形沿EF折成直二面角后，异面直线AF与BE所成角的余弦值为(C)ABCD解析过点F作FHDC，交BC于H，过点A作AGEF，交EF于G，连接GH，AH，则AFH(或其补角)为异面直线AF与BE所成的角设正方形ABCD的边长为2，在AGH中，AH，在AFH中，AF1，FH2，AH，cos AFH.6.E，F，G分别是空间四边形ABCD的棱BC，CD，DA的中点，则此四面体中
4、与过E，F，G的截面平行的棱的条数是(C)A0B1C2D3解析在ACD中，G，F分别为AD与CD的中点，GFAC而GF平面EFG，AC平面EFG，AC平面EFG.同理，BD平面EFG.故选C7正四棱锥的顶点都在同一球面上若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(A)AB16C9D解析如图所示，设球的半径为R，球心为O，正四棱锥的底面中心为O.正四棱锥PABCD中AB2，AO.PO4，在RtAOO中，AO2AO2OO2，R2()2(4R)2，解得R，该球的表面积为4R242，故选A8.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D为A1B1的中点，ABBCBB12，AC2，则异面直线BD与AC
5、所成的角为(C)A30B45C60D90解析如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则ACA1C1DE，则BDE即为异面直线BD与AC所成的角由条件可知BDDEEB，所以BDE60，故选C二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)9下列命题为真命题的是(BD)A若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合B若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直C垂直于同一条直线的两条直线相互平行D若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面不垂直解析A错，两个平
6、面相交时，也有无数个公共点；C错，比如a，b，c，显然有ab，ac，但b与c也可能相交故选BD10.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则下列说法正确的是(ACD)AA1MD1PBA1MB1QCA1M平面DCC1D1DA1M平面D1PQB1解析连接PM，因为M、P为AB、CD的中点，故PM平行且等于AD由题意知AD平行且等于A1D1，故PM平行且等于A1D1，所以四边形PMA1D1为平行四边形，所以A1MD1P.故A正确；显然A1M与B1Q为异面直线，故B错误；由A知A1MD1P，由于D1P既在平面DCC1D1内
7、，又在平面D1PQB1内，且A1M即不在平面DCC1D1内，又不在平面D1PQB1内，故C、D正确故选ACD11如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，一定正确的为(ABD)AACBDBAC截面PQMNCACBDD异面直线PM与BD所成的角为45解析QMPN，QM平面ABD，QMBD，同理可得ACMN，QMBD，ACMN，MNQM，ACBD，A正确；ACMN，AC截面PQMN，B正确；QMBD，ACMN，1，C不一定正确；QMBD，异面直线PM与BD所成的角为PMQ45，D正确故选ABD12.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1
8、的中点则(BC)A直线D1D与直线AF垂直B直线A1G与平面AEF平行C平面AEF截正方体所得的截面面积为D点C与点G到平面AEF的距离相等解析取DD1中点M，则AM为AF在平面AA1D1D上的射影，AM与DD1不垂直，AF与DD1不垂直，故A选项错误；A1GD1F，A1G平面AEFD1，A1G平面AEFD1，故B选项正确；平面AEF截正方体所得截面为等腰梯形AEFD1，易知梯形面积为，故C选项正确；假设C与G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分，则平面AEF必过CG中点，连接CG交EF于H，而H不是CG中点，则假设不成立故D选项错误故选BC三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共
9、20分)13一个圆柱的侧面展开图是一个边长为1的正方形，则该圆柱的体积是 .解析圆柱的侧面展开图是边长为1的正方形，该圆柱的高h1，底面周长2r1，底面半径r，该圆柱的体积V1.14一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米，则此球的半径为 12 厘米解析VShr2hR3，R12(厘米)15已知a，b表示直线，表示平面若a，b，ab，则；若a，a垂直于内任意一条直线，则；若，a，b，则ab；若a，b，ab，则.上述命题中，正确命题的序号是 .解析对可举反例，如图，需b才能推出；对可举反例说明，当不与，的交线垂直时，即可知a，b不垂直；根据面面、线面垂直的定义
10、与判定知正确16如图，在边长为2的菱形ABCD中，ABC60，PC平面ABCD，PC2，E，F是PA和AB的中点，则PA 2 ，PA与平面PBC所成角的正弦值为 .解析如图所示，连接AC，过A作AHBC于H，连接PH，PC平面ABCD，AH平面ABCD，PCAH，又PCBCC，AH平面PBC，APH为PA与平面PBC所成的角，在边长为2的菱形ABCD中，ABC60，ABC为正三角形，又AHBC，H为BC中点，AH，PCAC2，PA2，sinAPH.故PA与平面PBC所成角的正弦值为.四、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)如图所示，一
11、个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由解析不会溢出杯子理由如下：由题图可知半球的半径为4 cm，所以V半球R343(cm3)，V圆锥r2h421264(cm3)因为V半球V圆锥，所以如果冰淇淋融化了，不会溢出杯子18(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PAPD，底面ABCD是直角梯形，其中BCAD，BAD90，AD3BC，O是AD上一点(1)若CD平面PBO，试指出点O的位置；(2)求证：平面PAB平面PCD解析(1)CD平面PBO，CD平面ABCD，且平面ABCD平面PBOBO，BOCD
12、又BCAD，四边形BCDO为平行四边形，则BCDO，而AD3BC，AD3OD，即点O是靠近点D的线段AD的一个三等分点(2)证明：侧面PAD底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，AB底面ABCD，且ABAD，AB平面PAD又PD平面PAD，ABPD又PAPD，ABPAA，AB，PA平面PAB，PD平面PAB又PD平面PCD，平面PAB平面PCD19(本小题满分12分)在三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，B1C平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点(1)求证：EF平面AB1C1；(2)求证：平面AB1C平面ABB1解析(1)因为E，F分别是AC，B1C的中点，所以EFAB1又EF平面
13、AB1C1，AB1平面AB1C1，所以EF平面AB1C1(2)因为B1C平面ABC，AB平面ABC，所以B1CAB又ABAC，B1C平面AB1C，AC平面AB1C，B1CACC，所以AB平面AB1C又因为AB平面ABB1，所以平面AB1C平面ABB120(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，CDPA，DB平分ADC，E为PC的中点，DAC45，AC.(1)求证：PA平面BDE；(2)若PD2，BD2，求四棱锥EABCD的体积解析(1)设ACBDF，连接EF.PD平面ABCD，CD平面ABCD，PDCDCDPA，PAPDP，CD平面PADAD平面PAD，CDADD
14、AC45，DADCDB平分ADC，F为AC的中点E为PC的中点，EF为CPA的中位线，EFPA又EF平面BDE，PA平面BDE，PA平面BDE.(2)由(1)知DBAC，将底面四边形ABCD的面积记为S，则SSADCSABC2.点E为线段PC的中点，V四棱锥EABCDSPD22.21(本小题满分12分)在三棱锥SABC中，SA底面ABC，ABBC，DE垂直平分SC且分别交AC，SC于D，E，又SAAB，SBBC(1)求证：BD平面SAC；(2)求二面角EBDC的大小解析(1)证明：如图，DESC，且E为SC的中点，又SBBC，BESC又DEBEE，根据直线与平面垂直的判定定理知SC平面BDE，
15、BD平面BDE，SCBD又SA平面ABC，BD平面ABC，SABD又SASCS，BD平面SAC(2)由(1)知EDC为二面角EBDC的平面角，又SACDEC，EDCASC在RtSAB中，SAB90，设SAAB1，则SB.由SABC，ABBC，ABSAA，BC平面SAB，SB平面SAB，BCSB在RtSBC中，SBBC，SBC90，则SC2.在RtSAC中，SAC90，SA1，SC2.cos ASC，ASC60，即二面角EBDC的大小为60.22(本小题满分12分)已知梯形BFEC如图1所示，其中BFEC，EC3，BF2，四边形ABCD是边长为1的正方形，沿AD将四边形EDAF折起，使得平面ED
16、AF平面ABCD，得到如图2所示的几何体(1)求证：平面AEC平面BDE；(2)求点F到平面ABE的距离解析(1)平面EDAF平面ABCD，DE平面EDAF.平面EDAF平面ABCDAD，DEAD，DE平面ABCD，AC平面ABCD，DEAC，四边形ABCD是正方形，ACBDDE、BD平面BDE，DEBDD，AC平面BDE，AC平面ACE，平面AEC平面BDE.(2)过点F作FGAE于点G，因为平面ADEF平面ABCD，平面ADEF平面ABCDAD，AB平面ABCD，ABAD，所以AB平面ADEF，又FG平面ADEF，所以ABFG，又ABAEA，AB，AE平面ABE，所以FG平面ABE，所以线段FG的长即为点F到平面ABE的距离，AF1，AE，SAEF11，SABE1，由VBAEFVFABE，得SABEFGSAEFAB，即FG，所以FG，即点F到平面ABE的距离为.