1、2017-2018学年度第一学期模块监测高二数学（文科）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，那么下列不等式一定正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由同向不等式的加法性质可知由，可得考点：不等式性质2. 设是等差数列的前项和，若，则（ ）A. 5 B. 7 C. 9 D. 11【答案】A【解析】，选A.3. 若的三个内角满足，则（ ）A. 一定是锐角三角形 B. 一定是直角三角形C. 一定是钝角三角形 D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【答案】C【解析】解;因为的三个内角
2、满足，利用余弦定理求解最大角，然后可以判定最大角的余弦值为负数，说明了该三角形为钝角三角形，选C4. 设是等比数列，下列说法一定正确的是（ ）A. 成等比数列 B. 成等比数列C. 成等比数列 D. 成等比数列【答案】D【解析】 项中，故项说法错误；项中，故项说法错误； 项中，故项说法错误；故项中，故项说法正确，故选D.5. 若关于的不等式的解集为，则实数的值是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A【解析】解集为，故选A.6. 莱茵德纸草书是世界最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最
3、小的一份为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：设五个人所分得的面包为（其中）；则由，得所以，最小的1分为故选A考点：等差数列的性质7. 若变量满足约束条件，则的最大值为（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】B【解析】作出约束条件，所对应的可行域（如图阴影部分）变形目标函数可得，平移直线可知，当直线经过点时，直线的截距最大，代值计算可得取最大值，故选B.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行
4、域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8. 设是等差数列，下列结论中正确的是（ ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则【答案】B【解析】选项中，分别取 即可得错误；假设，则，公差， ，即正确；C选项中，分别取 即可得C错误；项中无法判断公差的正负，故无法判断正负，即错误，故选B.9. 在等腰中，内角所对应的边分别为，则此三角形的外接圆半径和内切圆半径分别为（ ）A. 4和2 B. 4和 C. 2和 D. 2和【答案】C【解析】等腰中，可得 由正弦定理可得， ，由面积相等 可得，故选C.10. 若是函数的两个不同的
5、零点，且这三个数依次成等比数列，这三个数依次成等差数列，则（ ）A. 4 B. 5 C. 9 D. 20【答案】D 11. 设，若，则下列关系中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可得：若，故选B.12. 已知两个等差数列和的前项和分别为，且，则使得为整数的正整数的个数是（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】C【解析】数列和均为等差数列，且前项和和，满足，可得，则 ，验证知，当时，为整数，即使得为整数的正整数的个数是 ，故选C.【方法点睛】本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质，属于难题. 等差数列的常用性质有：(1)通项公式的推广： (2)若
6、为等差数列，且 ；(3)若是等差数列，公差为 ，则是公差 的等差数列；(4)数列也是等差数列本题的解答运用了性质（2）.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 函数的最小值为_【答案】5【解析】，当且仅当时取等号，故答案为.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.14. 已知数列是
7、递减等比数列，且，则数列 的通项公式_【答案】【解析】因为，所以, ,又因为数列是递减等比数列，所以 ，数列的通项公式 ，故答案为.15. 已知中，满足，的三角形有两解，则边长的取值范围为_【答案】【解析】在中，由正弦定理可得， ，若此三角形有两解，必须满足的条件为：，即，故答案为.16. 寒假期间，某校长委员会准备租赁两种型号的客车安排900名学生到重点高校进行研学旅游，两种客车的载客量分别为36人和60人，租金分别为1200元/辆和1800元/辆，家长委员会为节约成本，要求租车总数不超过21辆，且型车不多于型车7辆，则租金最少为_元【答案】27600【解析】设分别租用两种型号的客车辆，辆，
8、所用的总租金为元，则，其中满足不等式组，即，由，得，作出不等式组对应的平面区域平移，由图象知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小，由得，即当时，此时的总租金元，达到最小值，故答案为.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 解下列关于的不等式：（1）；（2） .【答案】（1）；（2）见解析【解析】试题分析：（1）化为，等价 不等式求解即可；（2）分三种情况讨论，分别求解一元二次不等式即可.试题解析：（I）将原不等式化为， 即 所以原不等式的解集 . （II）当时，不等式的解集为0； 当时，原不等式等价于，因此 当时，当时， 综上所述，当时，
9、不等式的解集为0，当时，不等式的解集为，,当时，不等式的解集 18. 已知的内角所对应的边分别为，且满足.（1）判断的形状；（2）若，为角的平分线，求的面积.【答案】（1）直角三角形；（2）【解析】试题分析：（1）由两角差的余弦函数公式，两角和的余弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式化简可求，即可判定三角形的形状；（2）由已知利用勾股定理可求，利用三角形内角和定理可求，由正弦定理可求的值，再利用三角形面积公式得结果.试题解析：（I）由，得, ,. , 故为直角三角形. (II)由（I）知，又， ，, 由正弦定理得,， 19. 设是等差数列的前项和，已知，.（1）求；（2）若数列，求数列的前项
10、和.【答案】（1）18；（2）【解析】试题分析：（1）根据等差数列满足，列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，根据等差数列的求和公式可得递的值；（2）由（1）知，从而可得，利用裂项相消法求解即可.试题解析：（I）设数列的公差为，则即 ， 解得， 所以. （也可利用等差数列的性质解答） (II)由（I）知， ， 【方法点晴】本题主要考查等差数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的
11、过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.20. 已知的内角所对应的边分别为，且.（1）求；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：(1) 由利用正弦定理得，再利用两角差和的正弦公式化简可得所以；（2）由余弦定理结合条件，可得，利用二次函数的性质可得结果.试题解析：(I）,即, 在中，可得所以. (II），即， 由余弦定理得：，即，则21. 潍坊文化艺术中心的观光塔是潍坊市的标志性建筑，某班同学准备测量观光塔的高度（单位：米），如图所示，垂直放置的标杆的高度米，已知，.（1）该班同学测得一组数据：，请据此算出的值；（2）该班同学分析若干测得的数据后，发现适当调整
12、标杆到观光塔的距离（单位：米），使与的差较大，可以提高测量精确度，若观光塔高度为136米，问为多大时，的值最大？【答案】（1）135；（2）见解析【解析】试题分析：(1)根据三角函数的定义及直角三角形的性质可得，利用，化简即可得结果；（2）由得，利用两角差的正切公式以及基本不等式可的值最大.试题解析：（I）由，, 及，得， 解得, 因此算出观光塔的高度是135m. (II）由题设知，得，由得， 所以.当且仅当，即时，上式取等号，所以当时最大. 22. 已知数列 的前项和，.（1）求数列的通项公式；（2）令，设数列的前项和为，求.（3）令，若对恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】试题分析：(1) 当时，利用公式；，可得，验证当时是否适合即可；（2）由（1）可得，利用错位相减法求和即可（3）讨论当为奇数时，当为偶数时两种情况，分别利用等差数列求和公式求和，然后利用放缩法可证明结论.试题解析：(I)当时， 当时，适合上式， （）. (II)，则， ， -得， . . (III), 当为奇数时， 当为偶数时， 综上所述，