1、第3讲导数及其应用1(2015课标全国改编)设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是_2(2014课标全国改编)若函数f(x)kxln x在区间(1，)单调递增，则k的取值范围是_3(2014辽宁改编)当x2,1时，不等式ax3x24x30恒成立，则实数a的取值范围是_4(2014课标全国改编)已知函数f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是_(2，)；(，2)；(1，)；(，1)1.导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点.2.利用导数解决函数的单调性与极
2、值(最值)是高考的常见题型.热点一导数的几何意义1函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率kf(x0)，相应的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)2求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同例1(1)(2015课标全国)已知函数f(x)ax3x1的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则a_.(2)(2015徐州市质量诊断)设函数f(x)ax33x，其图象在点(1，f(1)处的切线l与直线x6y70垂直，则直线l与坐标轴围成的三角形的面积为_思维升华(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与
3、“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解跟踪演练1在平面直角坐标系xOy中，设A是曲线C1：yax31(a0)与曲线C2：x2y2的一个公共点，若C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直，则实数a的值是_热点二利用导数研究函数的单调性1f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)x3在(，)上单调递增，但f(x)
4、0.2f(x)0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f(x)0时，则f(x)为常函数，函数不具有单调性例2(2015重庆)设函数f(x)(aR)(1)若f(x)在x0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若f(x)在3，)上为减函数，求a的取值范围思维升华利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的定义域(2)求导函数f(x)(3)若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f(x)0或f(x)0，右侧f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f(x)0，则f(x0)为函数f(
5、x)的极小值2设函数yf(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在a，b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得例3设函数f(x)px2ln x，g(x)，其中p0.(1)若f(x)在其定义域内是单调增函数，求实数p的取值范围；(2)若在1，e上存在点x0，使得f(x0)g(x0)成立，求实数p的取值范围；(3)若在1，e上存在点x1，x2，使得f(x1)g(x2)成立，求实数p的取值范围思维升华(1)求函数f(x)的极值，则先求方程f(x)0的根，再检查f(x)在方程根的左右函数值的符号(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f(x)0根的大小或存在情况来求解(3)求函
6、数f(x)在闭区间a，b的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值跟踪演练3已知函数f(x)ln xaxa2x2(a0)(1)若x1是函数yf(x)的极值点，求a的值；(2)若f(x)0”是“f(x)在R上单调递增”的_条件5已知aln x对任意x，2恒成立，则a的最大值为_6(2015陕西)函数yxex在其极值点处的切线方程为_7若函数f(x)在x(2，)上单调递减，则实数a的取值范围是_8已知函数f(x)4ln xax26xb(a，b为常数)，且x2为f(x)的一个极值点，则a的值为_9(2015重庆)已知函数f(x)ax3
7、x2(aR)在x处取得极值(1)确定a的值；(2)若g(x)f(x)ex，讨论g(x)的单调性10已知函数f(x)ln x，x1,3(1)求f(x)的最大值与最小值；(2)若f(x)3)上的最小值；(3)若对x2，kf(x)g(x)恒成立，求实数k的取值范围学生用书答案精析第3讲导数及其应用高考真题体验1(，1)(0,1)解析因为f(x)(xR)为奇函数，f(1)0，所以f(1)f(1)0.当x0时，令g(x)，则g(x)为偶函数，且g(1)g(1)0.则当x0时，g(x)0，故g(x)在(0，)上为减函数，在(，0)上为增函数所以在(0，)上，当0x1时，g(x)g(1)00f(x)0；在(
8、，0)上，当x1时，g(x)g(1)00f(x)0.综上，得使得f(x)0成立的x的取值范围是(，1)(0,1)21，)解析由于f(x)k，f(x)kxln x在区间(1，)单调递增f(x)k0在(1，)上恒成立由于k，而00，(x)在(0,1上递增，(x)max(1)6，a6.当x2,0)时，a，amin.仍设(x)，(x).当x2，1)时，(x)0.当x1时，(x)有极小值，即为最小值而(x)min(1)2，a2.综上知6a2.4解析f(x)3ax26x，当a3时，f(x)9x26x3x(3x2)，则当x(，0)时，f(x)0；x(0，)时，f(x)0，注意f(0)1，f()0，则f(x)
9、的大致图象如图1所示不符合题意，排除.图1当a时，f(x)4x26x2x(2x3)，则当x(，)时，f(x)0，x(0，)时，f(x)0)，得a4.例2解(1)对f(x)求导得f(x)，因为f(x)在x0处取得极值，所以f(0)0，即a0.当a0时，f(x)，f(x)，故f(1)，f(1)，从而f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y(x1)，化简得3xey0.(2)由(1)知f(x).令g(x)3x2(6a)xa，由g(x)0，解得x1，x2.当xx1时，g(x)0，即f(x)0，故f(x)为减函数；当x1xx2时，g(x)0，即f(x)0，故f(x)为增函数；当xx2时，g(x)0，即f
10、(x)0，故f(x)为减函数由f(x)在3，)上为减函数，知x23，解得a，故a的取值范围为.跟踪演练2(1)(0,1(2)(，)解析(1)由题意知，函数的定义域为(0，)，又由f(x)x0，解得00，解得a.所以a的取值范围是(，)例3解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)p.由条件知f(x)0在(0，)内恒成立，即p恒成立而1，当x1时等号成立，即的最大值为1，所以p1，即实数p的取值范围是1，)(2)设h(x)f(x)g(x)，则已知等价于h(x)0在1，e上有解，即等价于h(x)在1，e上的最大值大于0.因为h(x)p0，所以h(x)在1，e上是增函数，所以h(x)maxh(e)
11、pe40，解得p.所以实数p的取值范围是(，)(3)已知条件等价于f(x)maxg(x)min.当p1时，由(1)知f(x)在1，e上是增函数，所以f(x)maxf(e)pe2.当0p0.综上可知，应用pe22，解得p.所以实数p的取值范围是(，)跟踪演练3解(1)函数的定义域为(0，)，f(x).因为x1是函数yf(x)的极值点，所以f(1)1a2a20，解得a(舍去)或a1.经检验，当a1时，x1是函数yf(x)的极值点，所以a1.(2)当a0时，f(x)ln x，显然在定义域内不满足f(x)0时，令f(x)0，得x1(舍去)，x2，所以f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，)(，)
12、f(x)0f(x)极大值所以f(x)maxf()ln 1.综上可得a的取值范围是(1，)高考押题精练1.解析yf(x)ln x的定义域为(0，)，设切点为(x0，y0)，则切线斜率kf(x0).切线方程为yy0(xx0)，又切线过点(0,0)，代入切线方程得y01，则x0e，k.2解析由题意知f(x)3x22axb，f(1)0，f(1)10，即解得或经检验满足题意，故.32解析函数f(x)x2ax3在(0,1)上为减函数，1，得a2.又g(x)2x，依题意g(x)0在x(1,2)上恒成立，得2x2a在x(1,2)上恒成立，有a2，a2.4.解析由于f(x)10，因此函数f(x)在0,1上单调递
13、增，所以x0,1时，f(x)minf(0)1.根据题意可知存在x1,2，使得g(x)x22ax41，即x22ax50，即a能成立，令h(x)，则要使ah(x)在x1,2能成立，只需使ah(x)min，又函数h(x)在x1,2上单调递减，所以h(x)minh(2)，故只需a.二轮专题强化练答案精析第3讲导数及其应用1解析根据f(x)的符号，f(x)图象应该是先下降后上升，最后下降，错误；从适合f(x)0的点知错；正确2xy30解析f(x)，则f(1)1，故该切线方程为y(2)x1，即xy30.3(，3，)解析f(x)x22ax5，当f(x)在1,3上单调递减时，由得a3；当f(x)在1,3上单调
14、递增时，f(x)0恒成立，则有4a2450或或得a，)综上a的取值范围为(，3，)4充分不必要解析f(x)x2a，当a0时，f(x)0恒成立，故“a0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件50解析令f(x)ln x，则f(x)，当x，1)时，f(x)0，f(x)在，1上单调递减，在1,2上单调递增，f(x)minf(1)0，a0.6y解析设yf(x)xex，令yexxexex(1x)0，得x1.当x1时，y0；当x1时，y0，故x1为函数f(x)的极值点，切线斜率为0，又f(1)e1，故切点坐标为，切线方程为y0(x1)，即y.7a解析f(x)，令f(x)0，即2a10，解得a.81解
15、析由题意知，函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)2ax6，f(2)24a60，即a1.9解(1)对f(x)求导得f(x)3ax22x，因为f(x)在x处取得极值，所以f0，即3a20，解得a.(2)由(1)得g(x)ex，故g(x)exexexx(x1)(x4)ex.令g(x)0，解得x0，x1或x4.当x4时，g(x)0，故g(x)为减函数；当4x1时，g(x)0，故g(x)为增函数；当1x0时，g(x)0，故g(x)为减函数；当x0时，g(x)0，故g(x)为增函数综上知g(x)在(，4)和(1,0)内为减函数，在(4，1)和(0，)内为增函数10解(1)函数f(x)ln x，f(x)
16、，令f(x)0得x2，x1,3，当1x2时，f(x)0；当2x0；f(x)在(1,2)上是单调减函数，在(2,3)上是单调增函数，f(x)在x2处取得极小值f(2)ln 2；又f(1)，f(3)ln 3，ln 31，(ln 3)ln 310，f(1)f(3)，x1时f(x)的最大值为，x2时函数取得最小值为ln 2.(2)由(1)知当x1,3时，f(x)，故对任意x1,3，f(x)对任意t0,2恒成立，即at恒成立，记g(t)at，t0,2解得a0)，问题转化为a在(0，)上有两个实数解设g(x)，则g(x).所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，g(x)在x1处取得极大值也是最大值，即g(x)maxg(1).注意g()0，当x1时，g(x)0，则g(x)的大致图象如图所示由图象易知0a0得x2，由f(x)0得x3，t12.当3t0得ex，xln；由F(x)0得xln，F(x)在(，ln)单调递减，在ln，)单调递增当lne2时，F(x)在2，)单调递增，F(x)minF(2)2ke22(e2k)2，即1k0，满足F(x)min0.综上所述，满足题意的k的取值范围为1，e2
