1、天津市南开区2015届高三一模数学（理）试题【试卷综述】试卷立足现行高中教材,在注重对基础知识和基本方法全面考查的同时,又突出了对数学思想、数学核心能力的综合考查, 试卷以考查考生对“双基”的掌握情况为原则,重视基础,紧扣教材,回归课本,无偏题、怪题,这对中学数学教学有很好的导向作用,让高三第一线的师生从满天飞舞的资料与题海中解脱出来,做到求真务实,抓纲务本.【题文】第 卷 【题文】一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的【题文】（1）i是虚数单位，复数=（ ）（A）i （B）i （C）i （D）+i【知识点】复数代数形式的乘除运算L4【答案】【解析】A 解析：,故选A.
2、【思路点拨】利用复数的运算法则即可得出【题文】（2）已知实数x，y满足约束条件，则目标函数z=x2y的最小值是（ ）（A）0 （B）6 （C）8 （D）12【知识点】简单线性规划E5【答案】【解析】D 解析：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，即C（4，4），化目标函数z=x2y为，由图可知，当直线过C时直线在y轴上的截距最大，z有最小值，等于424=12故选：D【思路点拨】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【题文】（3）设A，B为两个不相等的集合，条件p：x(AB)， 条件q：x(AB)，则p是q的（ ）（
3、A）充分不必要条件 （B）充要条件 （C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断A2【答案】【解析】C 解析：当xA，且x（AB），满足x（AB），即充分性不成立，若x（AB，则x（AB），成立，即必要性成立，故p是q必要不充分条件，故选：C【思路点拨】根据集合关系，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可【题文】（4）已知双曲线ax2by2=1（a0，b0）的一条渐近线方程是xy=0，它的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（ ） （A）4x212y2=1 （B）4x2y2=1（C）12x24y2=1 （D）x24y2=1【知识
4、点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质H6【答案】【解析】B 解析：双曲线ax2by2=1（a0，b0）的一条渐近线方程是xy=0，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线x=1上，c=1联立,解得此双曲线的方程为4x2y2=1故选B【思路点拨】利用双曲线的渐近线的方程可得，再利用抛物线的准线x=1=c及c2=a2+b2即可得出【题文】（5）函数y=log0.4(x2+3x+4)的值域是（ ）（A）(0，2 （B）2，+)（C）(，2 （D）2，+)【知识点】函数的值域B1【答案】【解析】B 解析：；有；所以根据对数函数log0.4x的图象即可得到：=2；原函数的值域为2，+）故选B【思路点拨
5、】先通过配方能够得到0，所以根据对数函数的图象即可得到，进行对数的运算从而求出原函数的值域【题文】（6）如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的体积为（ ）（A） （B）（C） （D）【知识点】由三视图求面积、体积G2【答案】【解析】A 解析：由已知中的三视图可得：此棱锥的直观图如下图所示：其底面ABCD为一个底边长为2和2的矩形，面积S=4，高是P点到底面ABCD的距离，即h=，故几何体的体积V=，故选：A【思路点拨】由已知中的三视图，分析出几何体的形状，进而画出几何体的直观图，进而代入锥体体积公式，可得答案【题文】（7）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b
6、，c，且b2=a2+bc，A=，则内角C=（ ）（A） （B） （C） （D）或【知识点】余弦定理C8【答案】【解析】B 解析：因为（1），,所以（2），联立可得，代入（1）式得，所以，所以，故选B.【思路点拨】结合已知条件和余弦定理可得，代入（1）式得，再次利用余弦定理可解得。【题文】（8）已知函数f(x)=|mx|xn|（0n1+m），若关于x的不等式f(x)0的解集中的整数恰有3个，则实数m的取值范围为（ ） （A）3m6 （B）1m3 （C）0m1 （D）1m0【知识点】根的存在性及根的个数判断B10【答案】【解析】B 解析：f（x）=|mx|xn|0，即|mx|xn|，（mx）2（x
7、n）20，即（m1）x+n（m+1）xn0，由题意：m+10，f（x）0的解集中的整数恰好有3个，可知必有m10，即m1，（否则解集中的整数不止3个）故不等式的解为，0n1+m，所以解集中的整数恰好有3个当且仅当，即2（m1）n3（m1），又n1+m，所以2（m1）n1+m，即2（m1）1+m，解得m3，从而1m3，故选：B【思路点拨】根据f（x）=|mx|xn|0，及题意得m1，从而，再根据解集中的整数的个数可知2（m1）n3（m1），解之即可【题文】第 卷【题文】二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分请将答案填在题中横线上。【题文】（9）如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方
8、图，已知图中从左到右的前3个小组的频率依次成等差数列，第2小组的频数为15，则抽取的学生人数为 【知识点】频率分布直方图I2【答案】【解析】60 解析：第2小组的频率为（10.037550.01255）=0.25；则抽取的学生人数为：=60故答案为：60【思路点拨】根据已知，求出第2小组的频率，再求样本容量即可【题文】（10）已知a0，(x)6的二项展开式中，常数项等于60，则(x)6的展开式中各项系数和为 （用数字作答）【知识点】二项式定理的应用J3【答案】【解析】1 解析：a0，(x)6的二项展开式中，常数项等于60，通项Tr+1=C6r（a）rx63r，当63r=0时，r=2，常数项是C
9、6r（a）r=60a=2，令x=1，得到二项式展开式中各项的系数之和是1，故答案为：1【思路点拨】写出二项式的通项，令x的指数等于0，求出r的值，给x赋值，做出二项式展开式的各项系数之和【题文】（11）如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S= 【知识点】程序框图L1【答案】【解析】2500 解析：模拟执行程序框图，可得i=1，S=0S=1，i=3不满足条件i99，S=4，i=5不满足条件i99，S=9，i=7不满足条件i99，S=16，i=9不满足条件i99，S=1+3+5+7+99，i=101满足条件i99，退出循环，输出S=1+3+5+7+99=2500故答案为：2500 【思路点拨】模
10、拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出结果【题文】（12）已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为：（j为参数），以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：cosqsinq=0，则圆C截直线l所得弦长为 【知识点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程N3【答案】【解析】2 解析：平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为：（j为参数），转化成直角坐标方程为：x2+（y2）2=4，直线l的方程：cosqsinq=0，转化成直角坐标方程为：，所以：圆心（0，2）到直线的距离d=1，所以：圆被直线所截得弦长：=2故答案为：2【思路点拨】首先把参数方程和极坐标方程转化成直角坐标
11、方程，进一步求出圆心到直线的距离，进一步利用勾股定理求出结果【题文】（13）如图，圆O的割线PAB交圆O于A、B两点，割线PCD经过圆心O已知PA=AB=2，PO=8则BD的长为 【知识点】切割线定理N1【答案】【解析】 解析：连接BO,设圆的半径为，由切割线定理可得，解得，在中根据余弦定理，所以，所以再次利用余弦定理有,所以,故答案为。【思路点拨】连接BO, 设圆的半径为，先由切割线定理解得，再利用余弦定理求出，则，再次利用余弦定理可得结果。【题文】（14）已知正三角形ABC的边长为2，点D，E分别在边AB，AC上，且=l，=l 若点F为线段BE的中点，点O为ADE的重心，则= 【知识点】平
12、面向量数量积的运算F3【答案】【解析】0 解析：连AO并延长交DE于G，如图，O是ADE的重心，DG=GE，=，又=，=，=（），显然，又=（1），=（+）=（+）=（）=+，=（1）+，=，=（1），=+（2），又正三角形ABC的边长为2，|2=|2=4，=（1）+（2）=（1）2+（1）（2）+（2）=0【思路点拨】如图，根据向量的加减法运算法则，及重心的性质，用、表示、，再根据正三角形ABC的边长为2，进行数量积运算即可【题文】三、解答题：（本大题共6个小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）【题文】（15）（本小题满分13分）设函数f(x)=cos(2x+)+2cos2x
13、，xR （）求函数f(x)的最小正周期和单调减区间； （）将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的最小值【知识点】函数y=Asin（x+）的图象变换；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性C3 C4【答案】【解析】（）k，k+;（） ，2解析：（）f（x）=cos（2x+）+2cos2x=+1+cos2x2分=cos2xsin2x+1=cos（2x+）+14分所以函数f（x）的最小正周期为5分由2k2x+（2x+1），可解得kxk+，所以单调减区间是：k，k+，kZ8分（）由（）得g(x)=cos(2(x)+)+1=cos(2x)+1 10分
14、 因为0x， 所以2x， 所以cos(2x)1， 12分因此cos(2x)+12，即f(x)的取值范围为，2 13分【思路点拨】（）由三角函数恒等变换化简函数解析式可得：f（x）=cos（2x+）+1，由三角函数的周期性及其求法即可求得函数f（x）的最小正周期，由2k2x+（2x+1），可解得函数的单调减区间（）由（）先求得g（x），由0x，可求2x，从而可得cos（2x）+12，即可求出f（x）的取值范围【题文】（16）（本小题满分13分）将编号为1，2，3，4的4个小球随机放到A、B、C三个不同的小盒中，每个小盒至少放一个小球（）求编号为1， 2的小球同时放到A盒的概率；（）设随机变量x为
15、放入A盒的小球的个数，求x的分布列与数学期望【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差K6【答案】【解析】（）;（）见解析 解析：（）设编号为1，2的小球同时放到A盒的概率为P， P= 4分（）x=1，2， 5分 P(x=1)=，P(x=2)=，x12P所以x的分布列为 11分x的数学期望E(x)=1+2= 13分【思路点拨】（）设编号为1，2的小球同时放到A盒的概率为P，直接求解即可（）=1，2，求出概率，列出分布列，然后求解期望即可【题文】（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD中， 四边形ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，PC底面ABCD，AB=2
16、AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中点（）求证：平面EAC平面PBC；（）若二面角P-AC-E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值【知识点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定G10 G11【答案】【解析】（）见解析；（） 解析：（）PC平面ABCD，AC平面ABCD，ACPCAB=4，AD=CD=2，AC=BC=AC2+BC2=AB2，ACBC又BCPC=C，AC平面PBCAC平面EAC，平面EAC平面PBC 5分（）如图，以点C为原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(2，2，0)，B(2，2，0)设P(0，0，2a)（a
17、0），则E(1，1，a)，=(2，2，0)，(0，0，2a)，=(1，1，a)取m=(1，1，0)，则m=m=0，m为面PAC的法向量设n=(x，y，z)为面EAC的法向量，则n=n=0，即，取x=a，y=a，z=2，则n=(a，a，2)，依题意，|cos|=，则a=2 10分于是n=(2，2，2)，=(2，2，4)设直线PA与平面EAC所成角为q，则sinq=|cos|=，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为 13分【思路点拨】（）证明平面EAC平面PBC，只需证明AC平面PBC，即证ACPC，ACBC；（）根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面PAC的法向量=（1，1，
18、0），面EAC的法向量=（a，a，2），利用二面角PA CE的余弦值为，可求a的值，从而可求=（2，2，2），=（1，1，2），即可求得直线PA与平面EAC所成角的正弦值【题文】（18）（本小题满分13分）已知椭圆C：（ab0）与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），F为左焦点，原点O到直线FA的距离为b（）求椭圆C的离心率；（）设b=2，直线y=kx+4与椭圆C交于不同的两点M，N，求证：直线BM与直线AN的交点G在定直线上【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质菁H5 H8【答案】【解析】（）（）见解析 解析：（）设F的坐标为(c，0)，依题意有bc=ab，椭
19、圆C的离心率e= 3分（）若b=2，由（）得a=2，椭圆方程为 5分联立方程组化简得：(2k2+1)x2+16kx+24=0，由=32(2k23)0，解得：k2由韦达定理得：xM+xN= ，xMxN= 7分设M(xM，kxM+4)，N(xN，kxN+4)，MB方程为：y=x2，NA方程为：y=x+2， 9分由解得：y= 11分=1即yG=1，直线BM与直线AN的交点G在定直线上 13分【思路点拨】（）设F的坐标为（c，0），原点O到直线FA的距离为b，列出方程，即可求解椭圆的离心率（）求出椭圆方程，联立方程组，通过韦达定理，设M（xM，kxM+4），N（xN，kxN+4），求出MB方程，NA方
20、程，求出交点坐标，推出结果【题文】（19）（本小题满分14分）设数列an满足：a1=1，an+1=3an，nN*设Sn为数列bn的前n项和，已知b10，2bnb1=S1Sn，nN*（）求数列an，bn的通项公式；（）设cn=bnlog3an，求数列cn的前n项和Tn；（）证明：对任意nN*且n2，有+【知识点】数列的求和D4【答案】【解析】（）an=3n1，bn=2n1；（）Tn=(n2)2n+2；（）见解析 解析：（）an+1=3an，an是公比为3，首项a1=1的等比数列，通项公式为an=3n1 2分2bnb1=S1Sn，当n=1时，2b1b1=S1S1，S1=b1，b10，b1=1 3分
21、当n1时，bn=SnSn1=2bn2bn1，bn=2bn1，bn是公比为2，首项a1=1的等比数列，通项公式为bn=2n1 5分（）cn=bnlog3an=2n1log33n1=(n1)2n1， 6分Tn=020+121+222+(n2)2n2+(n1)2n1 2Tn= 021+122+223+(n2)2n1+(n1) 2n 得：Tn=020+21+22+23+2n1(n1)2n =2n2(n1)2n =2(n2)2nTn=(n2)2n+2 10分（）=+=(1) 14分【思路点拨】（）判断an是等比数列，求出通项公式，判断bn是等比数列，求出通项公式为bn;（）化简cn的表达式，利用错位相减
22、法求解Tn即可;（）化简并利用放缩法，通过数列求和证明即可【题文】（20）（本小题满分14分）已知函数f(x)=，曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为x+(e1)2ye=0其中e =2.71828为自然对数的底数（）求a，b的值；（）如果当x0时，f(2x)，求实数k的取值范围【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程B11【答案】【解析】（）a=b=1；（）解析：（）f(x)=， 1分由函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为x+(e1)2ye=0，知1+(e1)2 f(1)e=0，即f(1)=，f(1)= 3分解得a=b=1 5分（）由（）知f(x)=，所以f(2x)0
23、xex(e2x1)0 7分令函数g(x)=xex(e2x1)（xR），则g(x)=ex+xex(1k)e2x=ex(1+x(1k)ex) 8分（）设k0，当x0时，g(x)0，g(x)在R单调递减而g(0)=0，故当x(，0)时，g(x)0，可得g(x)0；当x(0，+)时，g(x)0，可得g(x)0，从而x0时，f(2x)（）设k1，存在x00，当x(x0，+)时，g(x)0，g(x)在(x0，+)单调递增【思路点拨】（）求出函数的导数，求得切线的斜率，由切线方程可得切点和切线的斜率，解方程可得a=b=1；（）f（x）=，即有f（2x）xex（e2x1）0,令函数g（x）=xex（e2x1）（xR），求出导数，对k讨论，设k0，设k1，设0k1，分析导数的符号，判断函数的单调性，即可得到k的范围