1、第3讲 基本不等式及其应用一、填空题1已知x，yR，且满足1，则xy的最大值为_解析x0，y0且12 ，xy3.当且仅当时取等号答案32若实数x，y满足x2y2xy1，则xy的最大值为_解析由x2y2xy1，得(xy)2xy1，即xy(xy)21，所以(xy)21，故xy，当xy时“”成立，所以xy的最大值为.答案3已知0ab，且ab1，则下列不等式：log2a0；2ab；2；log2alog2b2，其中正确的是_解析由0ab，且ab1，得0ab1，所以log2a0.易得ab1，所以2ab，由2，得24，由1ab2(ab)，得ab，所以log2alog2blog2ab2，仅正确答案4在等式“1
2、”两个括号内各填入一个正整数，使它们的和最小，则填入的两个数是_解析设括号内填入的两个正整数为x，y，则有1，于是xy(xy)10102 16，当且仅当y29x2，即x4，y12时等号成立此时xy取最小值16.故应填4和12.答案4和125已知函数f(x)2x，f(a)f(b)8，若a0且b0，则的最小值为_解析因为f(a)f(b)2a2b2ab8，所以ab3，所以(ab)3，当且仅当b24a2，即a1，b2时等号成立，所以的最小值为3.答案36已知正数x，y满足x2(xy)恒成立，则实数的最小值为_解析 依题意得x2x(x2y)2(xy)，即2(当且仅当x2y时取等号)，即的最大值是2；又，
3、因此有2，即的最小值是2.答案 27已知M是ABC内的一点，且2，BAC30，若MBC，MCA，MAB的面积分别为，x，y，则的最小值为_解析 依题意得|cos 302，则|4，故SABC|sin 301，即xy1，xy，所以2(xy)2218，当且仅当，即y2x时，等号成立，因此的最小值为18.答案 188已知a，bR，且ab50，则|a2b|的最小值是_解析 依题意得，a，b同号，于是有|a2b|a|2b|22220(当且仅当|a|2b|时取等号)，因此|a2b|的最小值是20.答案 209某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时
4、间x(单位：年)的关系为yx218x25(xN*)，则当每台机器运转_年时，年平均利润最大，最大值是_万元解析 每台机器运转x年的年平均利润为18，而x0，故1828，当且仅当x5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元答案 58来XXK10设a，b是实数，且ab3，则2a2b的最小值是_解析 2a2b22242a2b4.答案 4二、解答题11某森林出现火灾，火势正以每分钟100 m2的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火50 m2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的
5、车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁一平方米森林损失费为60元(1)设派x名消防队员前去救火，用t分钟将火扑灭，试建立t与x的函数关系式；(2)问应该派多少名消防队员前去救火，才能使总损失最少？(总损失灭火材料、劳务津贴等费用车辆、器械和装备费用森林损失费)解(1)t.(2)设总损失为y，则y灭火劳务津贴车辆、器械和装备费森林损失费y125tx100x60(500100t)125x100x30 0001 250100(x22)30 00031 450100(x2)31 450236 450.当且仅当100(x2)，即x27时，y有最小值36 450.12已知lg(3x)lg ylg(
6、xy1)(1)求xy的最小值；(2)求xy的最小值解 由lg(3x)lg ylg(xy1)，得(1)x0，y0，3xyxy121.3xy210.即3()2210.(31)(1)0.1.xy1.当且仅当xy1时，等号成立xy的最小值为1.(2)x0，y0，xy13xy32.3(xy)24(xy)40.3(xy)2(xy)20.xy2.当且仅当xy1时取等号，来源xy的最小值为2.13某开发商用9 000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2 000平方米已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4 000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元(
7、1)若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数yf(x)的表达式；(总开发费用总建筑费用购地费用)(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建为多少层？解 (1)由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为：4 0002 0008 000 000(元)800(万元)，从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多：1002 000200 000(元)20(万元)，写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20为公差的等差数列，所以函数表达式为：yf(x)800x209 00010x2790x9 000(xN*)；(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为：g(x)10 00
8、05050(279)6 950(元)当且仅当x，即x30时等号成立来源:学。科。网Z。X。X。K答：该写字楼建为30层时，每平方米平均开发费用最低 14提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数(1)当0x200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/时)解(1)由题意：当0x20时，v(x)60；当20x200时，设v(x)axb再由已知得解得故函数v(x)的表达式为v(x)(2)依题意并由(1)可得f(x)当0x20时，f(x)为增函数，故当x20时，其最大值为60201 200；当20x200时，f(x)x(200x)2，当且仅当x200x，即x100时，等号成立所以，当x100时，f(x)在区间20,200上取得最大值.综上，当x100时，f(x)在区间0,200上取得最大值3 333，即当车流密度为100 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时.