1、2020年石景山区高三统一测试数 学本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1. 设集合，则等于A. B. C. D. 2.在复平面内，复数, 对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是A. B. C. D. 3.下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是A. B. C. D. 4.圆的圆心到直线的距离为1，则A. B. C. D. 5.将位志愿者分配到博物馆的个不同场馆服务，每个场
2、馆至少人，不同的分配方案有（ ）种A. B. C. D. 6. 如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线表示一正方体被某平面截得的几何体的三视图，则该几何体的体积为A. B. C. D. 7.函数（）的最小正周期为，则满足A. 在上单调递增B. 图象关于直线对称C. D. 当时有最小值8.设是等差数列，其前项和为. 则“”是“为递增数列”的A.充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.设是定义在上的函数，若存在两个不等实数，使得，则称函数具有性质，那么下列函数： ； ； ；具有性质的函数的个数为A.B. C. D. 10.点分别是棱长为的正方体中棱的中
3、点，动点在正方形（包括边界）内运动.若面，则的长度范围是A.B.C.D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分11.已知向量 ， ，则_12.已知各项为正数的等比数列中，其前项和为，且，则_13.能够说明“设是任意非零实数，若“，则”是假命题的一组整数的值依次为_14.已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点若为的中点，则_15.石景山区为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名一线中小学教师组成的支教团队，记者采访其中某队员时询问这个团队的人员构成情况，此队员回答：有中学高级教师；中学教师不多于小学教师；小学高级教师少于中学中级教师；小学中级教师少于
4、小学高级教师；支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；无论是否把我计算在内，以上条件都成立.由此队员的叙述可以推测出他的学段及职称分别是_、_三、解答题共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16.（本小题14分）如图，在正四棱锥中，（）求证：面；（）求二面角的余弦值17.（本小题14分）2020年，北京将实行新的高考方案.新方案规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定例如，学生甲
5、选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案 某校为了解高一年级840名学生选考科目的意向，随机选取60名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：性别选考方案确定情况物理化学生物历史地理政治男生选考方案确定的有16人16168422选考方案待确定的有12人860200女生选考方案确定的有20人610201626选考方案待确定的有12人2810002()估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？()从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，求恰好有一人选“物理、化学、生物”的概率；（）从选考方案确定的16名男生中随机选出2
6、名，设随机变量，求的分布列和期望.18.（本小题14分）已知锐角，同时满足下列四个条件中的三个： ()请指出这三个条件，并说明理由；()求的面积.19.（本小题15分）已知椭圆的右焦点为，离心率为. 直线过点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.（）求椭圆的方程； （）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；（）延长线段与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率20. （本小题14分）已知函数（）若恒成立，求实数的取值范围；（）当时，过上一点作的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由21.（本小题14分）有限个元素组成的集合，记集合中的元素个数为，即.定义，集合中的元素个数
7、记为,当时，称集合具有性质.()，判断集合是否具有性质，并说明理由；（）设集合，且，若集合具有性质，求的最大值；（）设集合，其中数列为等比数列，且公比为有理数，判断集合集合是否具有性质并说明理由.2020年石景山区高三统一测试数学试卷答案及评分参考一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分 题号12345678910答案BCDAABDCCB二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分 11； 12； 13 ；答案不唯一 14； 15. 小学中级 三、解答题：本大题共6个小题，共85分解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（本小题14分）（）证明：联结在正四棱锥中，底面因为
8、平面，所以 3分在正方形中，又因为，所以面 6分（）解：由（）知，两两垂直，以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系 . 7分在正方形中，因为，所以 又因为，所以所以点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 8分则， 9分由（）知，平面所以平面的一个法向量为 10分设平面的一个法向量则即令，则，故平面的一个法向量 13分所以二面角的余弦值为 14分17.（本小题14分）解：()由数据知，60人中选考方案确定的学生中选考生物的学生有8+20=28人 1分所以该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有 人 4分 ()选考方案确定且为“物理，化学，生物”的男生共有8人。 5分设“恰好有一人选物理、化
9、学、生物”为事件A 6分 8分（）由数据可知，选考方案确定的男生中有8人选择物理、化学和生物；有4人选择物理、化学和历史；有2人选择物理、化学和地理；有2人选择物理、化学和政治. 9分的可能取值为. 12分所以的分布列为：01 14分18. （本小题14分）解：（）同时满足， 3分 理由如下：若同时满足，则在锐角中，所以 又因为 ,所以所以,这与是锐角三角形矛盾，所以不能同时满足, ， 6分所以同时满足， . 7分因为 所以 若满足则 , 则,这与是锐角三角形矛盾故不满足. 9分故满足，（）因为 ， 10分 所以 解得 或 12分 当时， 所以为钝角，与题意不符合，所以 13分 所以的面积 1
10、4分19. （本小题15分）解：（）由已知， 2分 又，解得 4分 所以椭圆方程为. 5分 （）设直线的方程为 联立消去得 ，不妨设 7分 则，因为为线段的中点 所以， 8分 所以 9分 所以为定值. 10分 （）若四边形为平行四边形,则 12分 所以 13分 因为点在椭圆上，所以 14分 解得 即 所以当四边形为平行四边形时，直线的斜率为. 15分20.（本小题14分）.解：（）令 1分 所以令，解得. 3分当变化时，的变化情况如下表：0+减极小值增 5分 所以在的最小值为 6分令 解得.所以当时，恒成立，即恒成立. 7分（）可作出2条切线. 8分理由如下：当时，.设过点的直线与相切于点，
11、9分则 即整理得 10分令，则在上的零点个数与切点的个数一一对应.，令解得 . 11分当变化时，的变化情况如下表： 0+减极小值增所以 在上单调递减，在上单调递增. 且 13分所以 在和上各有一个零点，即有两个不同的解.所以 过点可作出的2条切线. 14分21.（本小题14分）解：()集合不具有性质，集合具有性质.,不具有性质;,具有性质. 3分（）若三个数成等差数列，则不具有性质，理由是.因为且所以，要使取最大，则；，易知不具有性质，要使取最大，则；，要使取最大，检验可得； 8分（）集合具有性质.设等比数列的公比为为，所以且为有理数，假设当时有成立，则有 10分因为为有理数，设且（互质），因此有即（1），（1） 式左边是的倍数，右边是的倍数，又互质， 显然不成立. 12分所以，所以集合具有性质. 14分
