1、北京市海淀区中国人民大学附属中学2020届高三数学统练试题（五）（含解析）一、选择题1.设集合，集合，若，则实数的范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：因为，所以，且，即且，从而，选B.考点：集合的运算.2.已知各项均为正数的等比数列，=5，=10，则=A. B. 7C. 6D. 【答案】A【解析】试题分析：由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，所以a4a5a6故答案为考点：等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，转化与化归的数学思想【此处有视频，请去附件查看】3.已知，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B
2、【解析】【分析】将化为和，代入计算得到答案.【详解】因为，并且，所以.因为，所以，故选B.【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式和函数值的计算，忽略掉一个答案是容易犯的错误.4.设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线yf(x)在x5处的切线的斜率为A. B. 0C. D. 5【答案】B【解析】试题分析：根据导数的定义，曲线在的切线的斜率为，因为函数是上以5为周期的可导偶函数，所以因为是上的偶函数，所以必有，故曲线y=f(x)在x=5处的切线的斜率为0考点：导数定义，导数的几何意义，周期函数的性质，定义在R上的偶函数的性质5.函数在的图像大致为A. B. C. D. 【答案】B【解析】
3、【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由的近似值即可得出结果【详解】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C又排除选项D；，排除选项A，故选B【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查6.已知函数，则“函数的图象经过点（，1）”是“函数的图象经过点（）”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先由的图象经过点求出；再由的图象经过点求出，根据充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.【详解】函数的图象经过点
4、（，1）时，有，所以，因为所以，函数为：，当时，所以，充分性成立；当函数的图象经过点（）时，所以，即,，当时，不一定等于1，所以，必要性不成立故选A【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判定，熟记概念即可，属于常考题型.7.定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”现有定义在上的如下函数：；则其中是“保等比数列函数”的的序号为A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析： 由等比数列性质可得：，所以正确；，所以错误；，所以正确；所以错误；故选择C考点：等比数列性质【此处有视频，请去附件查看】8.已知a，b是不相等的两个正数，在a，b之间插入两组实数
5、：x1，x2，xn和y1，y2，yn，（nN*，且n2），使得a，x1，x2，xn，b成等差数列，a，y1，y2，yn，b成等比数列，给出下列四个式子：；.其中一定成立的是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的性质，求得，结合差比较法，判断的真假性.根据等比数列的性质求得，结合基本不等式，判断的真假性.【详解】依题意成等差数列，令，则，两式相加，利用等差数列的性质化简得，所以.所以正确.所以，而，由于是不相等的正数，所以，所以成立，所以正确.依题意成等比数列，设其公比为，则.当为负数时，则必为奇数，此时，所以不正确. 由的分析可知，当为负数时，则必为奇数，且，所以
6、；当为正数时，由于是不相等的正数，所以由基本不等式可知.所以正确.故选：B【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的性质，考查基本不等式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.二、填空题9.函数f（x）的定义域为_.【答案】（1，2）（2，3）【解析】【分析】根据函数定义域的求法，结合对数型函数的定义域，求得的定义域.【详解】依题意，所以函数的定义域为.故答案为：【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.10.如图，AB是半圆O的直径，C，D是弧AB的三等分点，M，N是线段AB的三等分点，若OA=6，则的值是_.【答案】【解析】【分析】
7、根据已知条件，得到，利用平面向量的线性运算表示出，由此求得.【详解】连接，依题意可知，由于，是线段的三等分点，所以.，所以故答案为：【点睛】本小题主要考查平面向量的线性运算，考查平面向量数量积的运算，属于基础题.11.等差数列an中，a10，Sm=Sn（mn），若前n项和中最大值仅S7，则2m+n最大值为_.【答案】27【解析】【分析】根据题意求得的关系式，进而可求得的最大值.【详解】由于在等差数列中，且前项和中的最大值为，所以.因为，所以，所以，即，.所以，由于，所以，.即.所以，又，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查分析、思考与解决问题的能力，属于中档题.12.若直
8、线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_【答案】【解析】【分析】设出直线与两个曲线相切时的切点坐标，利用导数得到关于切点横坐标的方程，解出它们后可得切线方程，从而得到的值【详解】设直线与曲线相切时的切点坐标为，与直线相切时切点坐标为，所以 ，整理得到，所以故切线即为，故，填【点睛】解决曲线的切线问题，核心是切点的横坐标，因为函数在横坐标处的导数就是切线的斜率.公切线问题也应转化为切点横坐标的方程组，解这个方程组就可以得到切点的横坐标，从而可求公切线的方程13.已知二次函数f（x）=x2-mx+6（mR），若f（x）在区间（1，3）内恰有一个零点，则实数m的取值范围是_.【答案】25，7）【解析】【
9、分析】由分离常数，根据的取值范围，求得的取值范围.【详解】令，当时，有.令，所以在上递减，在上递增，在时有最小值为.，.因为在区间内恰有一个零点，所以或故答案为：【点睛】本小题主要考查根据零点的分布求参数的取值范围，属于基础题.14.若数列an满足：对任意的nN*，只有有限个正整数m使得amn成立，记这样的m的个数为（an）+，则得到一个新数列（an）+.例如，若数列an是1，2，3，n，则数列（an）+是0，1，2，n1已知对任意的nN+，an=n2，则（a5）+=_，（an）+）+=_.【答案】 (1). 2 (2). n2【解析】【分析】根据，而，知，由此求得.由的值，归纳猜想.【详解】
10、因为，而，所以，所以.由于，.即所以，故.故答案为：(1). 2 (2). n2【点睛】本小题主要考查新定义的数列的理解和运用，考查分析思考与解决问题的能力，属于中档题.三、解答题15.在中，点是边上一点，且.记，.（1）求证：；（2）若，求的长.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】试题分析：(1)由题意结合正弦定理整理计算即可证得结论；(2)利用题意结合余弦定理，设，列方程求解可得.试题解析：（1）由正弦定理，在中，在中，因为，所以，因为，所以.（2）因为，由（1）得，设，由余弦定理得到，解得，所以.16.已知数列an满足：a1=1，记.（1）求b1，b2值；（2）证明：数列bn是等比数
11、列；（3）求数列an的通项公式.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）an.【解析】【分析】（1）根据递推关系式，求得的值.（2）根据递推关系式，推导出，由此证得是等比数列.（3）由（1）求得数列通项公式，由此求得的表达式，进而的表达式，从而求得数列的通项公式.【详解】（1）a1=1，记.b1=a2a1+11.a3=a244.b2=a4a3+31a3+22.（2）bn=a2na2n1+2n2，n2时，a2n1=a2n22（2n2）=a2n24n+4.bna2n1+2n2（a2n24n+4）+2n2a2n2bn1，n=1时，b2b1.数列bn是等比数列，首项与公比都为.（3）解：由（2）可得：
12、bn.a2n.又a2na2n1+2n2.解得：a2n144n.综上可得：数列an的通项公式：an，kN*.【点睛】本小题主要考查根据递推关系证明等比数列，考查等比数列的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.17.已知函数f（x）.（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）若曲线y=f（x）与直线yb（bR）有3个交点，求实数b的取值范围；（3）过点P（1，0）可作几条直线与曲线y=f（x）相切？请说明理由.【答案】（1）增区间是（0，1），单调递减区间是（，0），（1，+）；（2）10，可得0x1，f（x）0，可得x1，函数的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（，0），（1，+）；（2）由（1），f（0）=1，f（1），曲线y=f（x）与直线y=b（bR）有3个交点，10，可得m或m0，g（m）0，可得m0，g（0）0，g（m）=0有唯一解，过点P（1，0）可作1条直线与曲线y=f（x）相切.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数研究函数的切线方程，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.