1、第七章第二节一、选择题1(文)(2014福州模拟)已知a0，b0，则的最小值是()A2B2C4D5答案A解析a0，b0，ab0，ab2等号成立时ab，ab1，故选A(理)(2014湖北随州中学模拟)函数ylog2xlogx(2x)的值域是()A(，1 B3，)C1,3D(，13，)答案D解析由条件知x0，且x1，ylog2xlogx21，当x1时，log2x0，y213，等号成立时，x2；当0x1时，log2x0)，则()AGHABHGACGAHDHAG答案B解析由题意知A，H，G，易知，AGH.(理)已知x0、y0，x、a、b、y成等差数列，x、c、d、y成等比数列，则的最小值是()A0B1
2、C2D4答案D分析利用等差、等比数列的性质可将a、b、c、d的表达式转化为只含x、y的表达式，然后变形应用基本不等式求解解析由等差、等比数列的性质得2224.仅当xy时取等号3(文)(2014天津五校联考)已知a，b为正实数且ab1，若不等式(xy)()m对任意正实数x，y恒成立，则实数m的取值范围是()A4，)B(，1C(，4D(，4)答案D解析因为(xy)()abab2224，当且仅当ab，时等号成立，即ab，xy时等号成立，故只要m0，b0)被圆x2y22x4y10截得的弦长为4，则的最小值为()ABCD2答案C解析圆的直径是4，说明直线过圆心(1,2)，故ab1，(ab)()，当且仅当
3、，即a2(1)，b2时取等号，故选C(理)(2014德州一模)若直线axby10(a，b(0，)平分圆x2y22x2y20，则的最小值为()A4B32C2D5答案B解析由条件知圆心C(1,1)在直线axby10上，ab1，a0，b0，()(ab)332，等号成立时a1，b2.5已知a0，b0，且ab2，则()AabBabCa2b22Da2b23答案C解析2ab2，ab1，排除A、B；a2b2(ab)22ab42ab2，排除D，选C点评用特值检验法易得令a1，b1排除A；令a2，b0，排除B，D，故选C6(2014上海松江期末)已知0a0B2abClog2alog2b2D2答案C解析由条件知0a
4、1，log2a0，A错误；0ab，ab1，0a，b1，此时2ab，B错误；由22,2224，D错误；由ab12，即ab，因此log2alog2blog2(ab)0，a0)在x3时取得最小值，则a_.答案36解析f(x)4x24，当且仅当4x，即4x2a时f(x)取得最小值又x3，a43236.8某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站_公里处答案5解析设仓库与车站距离为x公里，由已知y1；y20.8x费用之和yy
5、1y20.8x28，当且仅当0.8x，即x5时“”成立9(文)已知直线x2y2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为_答案解析因为A(2,0)，B(0,1)，所以0b1.由a2b2，得a22b，ab(22b)b2(b)2，当b时，(ab)max.点评利用a2b2消元后可以利用基本不等式求解，也可以利用二次函数求解(理)(2014咸阳专题训练)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是_答案4解析由题意，P、Q关于(0,0)对称，设直线PQ：ykx(k0)，从而P(，)，Q(，)则PQ4，当
6、且仅当k1时，(PQ)min4.点评1.用基本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三相等”，一定要明确什么时候等号成立2应用基本不等式求最值，要注意归纳常见的变形技巧，代入消元，配系数，“1”的代换等等3注意到P、Q关于原点对称，可设P(x0，)，x00，则|PQ|2|OP|24，x0时取等号，更简捷的获解三、解答题10(文)如图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且PQ过点C，其中AB30m，AD20m.记三角形花园APQ的面积为S.(1)当DQ的长度是多少时，S最小？并求S的最小值；(2)要使S
7、不小于1600m2，则DQ的长应在什么范围内？解析(1)设DQxm(x0)，则AQx20，AP，则SAPAQ15(x40)1200，当且仅当x20时取等号DQ长为20m时，S取最小值1200m2.(2)S1600，3x2200x12000，0x或x60.答：(1)当DQ的长度是20m时，S最小，且S的最小值为1200m2；(2)要使S不小于1600m2，则DQ的取值范围是0DQ或DQ60.(理) (2014江苏盐城一中检测)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条线段围成按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10
8、米设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为(弧度)(1)求关于x的函数关系式；(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值解析(1)由题意，得30(10x)2(10x)，所以.(2)花坛的面积为(102x2)(5x)(10x)x25x50(0x0，b0,1a2b2，所以ab，当且仅当a2b时取等号又因为a24b22a(2b)4ab，令tab，所以f(t)4t，因为f(t)在(0，上单调递减，所以f(t)minf()，此时a2b，故选D12(文)若a0，
9、b0，a、b的等差中项是，且a，b，则的最小值为()A2B3C4D5答案D解析为a、b的等差中项，ab1.ab111，ab.1145(当且仅当ab时取等号)的最小值为5.故选D(理)(2013温州模拟)已知M是ABC内的一点，且2，BAC30，若MBC，MCA和MAB的面积分别为，x，y，则的最小值是()A20B18C16D19答案B解析由|cos302得|4，SABC|sin301，由xy1得xy.所以2()(xy)2(5)2(52)18等号在x，y时成立13(文)(2014广东南雄黄坑中学月考)已知x0，y0，lg2xlg8ylg2，则的最小值是()A2B4C2D42答案D解析由已知lg2
10、xlg8ylg2得lg2x3ylg2，所以x3y1，所以()(x3y)442.(理)函数ylogax1(a0且a1)的图象恒过定点A，若点A在直线40(m0，n0)上，则mn的最小值为()A2B2C1D4答案C解析ylogax1过定点A(1,1)，A在直线40上，4，m0，n0，mn(mn)()(2)(22)1，等号在mn时成立，mn的最小值为1.14(2014沈阳、云浮、佳木斯一中模拟、长春调研)若两个正实数x，y满足1，并且x2ym22m恒成立，则实数m的取值范围是()A(，2)(4，)B(，4)2，)C(2,4)D(4,2)答案D解析x0，y0，且1，x2y(x2y)()4428，当且仅
11、当，即x2y时取等号又1，x4，y2时，(x2y)min8.要使x2ym22m恒成立，只需(x2y)minm22m恒成立，即8m22m，解得4mb0)的半焦距，则的取值范围是_答案(1，解析由题设条件知，a1，a2b2c2，2，.16(文)(2014河南郑州市高三质检)函数yloga(x3)1(a0且a1)的图象恒过定点A，若点A在mxny20上，其中mn0，则的最小值为_答案解析注意到当x2时，yloga(23)11，即定点A的坐标为(2，1)，于是有2mn20，即m1，()(m)2，当且仅当，即nm2(1)时取等号，因此的最小值是.(理)(2014沈阳模拟)已知点A(m，n)在直线x2y2
12、0上，则2m4n的最小值为_答案4解析由条件知m2n2，2m4n2m22n24，等号成立时，m1，n.所求最小值为4.三、解答题17(文)(2014湖南省五市十校联合检测)某化工企业2013年年底投入100万元，购入一套污水处理设备该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)(1)用x表示y；(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备解析(1)由题意得，y，则yx1.5(
13、xN*)(2)由基本不等式得：yx1.521.521.5，当且仅当x，即x10时取等号故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备(理)合宁高速公路起自安徽省合肥西郊大蜀山，终于苏皖交界的吴庄，全长133km.假设某汽车从大蜀山进入该高速公路后以不低于60km/h且不高于120km/h的速度匀速行驶到吴庄已知该汽车每小时的运输成本y(以元为单位)由固定部分和可变部分组成：固定部分为200元；可变部分与速度v(km/h)的平方成正比当汽车以最快速度行驶时，每小时的运输成本为488元(1)把全程运输成本f(v)(元)表示为速度v(km/h)的函数；(2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？
14、最小运输成本为多少元？解析(1)依题意488200k1202k0.02.f(v)(2000.02v2)133(0.02v)(60v120)(2)f(v)133(0.02v)1332532，当且仅当0.02v，即v100时，“”成立，即汽车以100km/h的速度行驶，全程运输成本最小为532元18(2014上海嘉定一模)已知函数f(x)x2(m为实常数)(1)若函数f(x)图象上动点P到定点Q(0,2)的距离的最小值为，求实数m的值；(2)若函数yf(x)在区间2，)上是增函数，试用函数单调性的定义求实数m的取值范围；(3)设m0时，解得m1；当m0时，解得m1.所以m1或m1.(2)由题意，任取x1，x22，)，且x10.因为x2x10，x1x20，所以x1x2m0，即mx12，得x1x24，所以m4.所以m的取值范围是(，4(3)由f(x)kx，得x2kx.因为x，1，所以k1.令t，则t1,2，所以kmt22t1.令g(t)mt22t1，t1,2，于是，要使原不等式在x，1时有解，当且仅当kg(t)min(t1,2)因为m0.因为t1,2，所以当0，即m0时，g(t)ming(1)m3.综上，当m时，k4m5，)；当m0时，km3，)
