1、2021年内蒙古赤峰二中高考数学三模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1已知集合Qx|2x27x0，xN，且PQ，则满足条件的集合P的个数是（）A8B9C15D162复数z45i（其中i为虚数单位），则|z+2i|（）AB5C7D253已知sin2sin（+），则cos2（）ABCD4十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远若ab0，则下列结论错误的是（）ABlog2（ab）0CD3a3b5如图是某个闭合电路的一部分，每个元件出现故障的概率为，
2、则从A到B这部分电源能通电的概率为（）ABCD6动圆的圆心在抛物线y28x上，且动圆恒与直线x+20相切，则动圆必经过定点（）A（4，0）B（2，0）C（0，2）D（0，2）7若直角坐标平面内A、B两点满足点A、B都在函数f（x）的图象上；点A、B关于原点对称，则点（A，B）是函数f（x）的一个“姊妹点对”点对（A，B）与（B，A）可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数f（x），则f（x）的“姊妹点对”有（）A0个B1个C2个D3个8运用祖暅原理计算球的体积时，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等构造一个底面半径和高都
3、与球的半径相等的圆柱，与半球（如图1）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图2），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，现将椭圆+1绕y轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图3），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（）A64B148C128D329如图，在一个凸四边形ABCD内，顺次连接四边形各边中点E，F，G，H而成的四边形是一个平行四边形，这样的平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形如图，现有一个面积为12的凸四边形ABCD，设其对应的瓦里尼翁平行四边形为
4、A1B1C1D1，记其面积为a1，四边形为A1B1C1D1对应的瓦里尼翁平行四边形为A2B2C2D2，记其面积为a2，依此类推，则由此得到的第四个瓦里尼翁平行四边形A4B4C4D4的面积为（）A1BCD不确定10已知函数f（x）cos（2x+）（|），F（x）f（x）+f（x）为奇函数，则下述四个结论中说法正确的是（）AtanBf（x）在a，a上存在零点，则a的最小值为CF（x）在（，）上单调递增Df（x）在（0，）有且仅有一个极大值点11下列说法中，正确的有（）个各个面都是三角形的几何体是三棱锥；过球面上任意两点只能作球的一个大圆；三棱锥的四个面都可以是直角三角形；梯形的直观图可以是平行四边
5、形A1B2C3D412锐角ABC的三边分别为a，b，c，a2bcosB，则的取值范围是（）A1，3）BCD1，2）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13函数yf（x）的图象在点M（2，f（2）处的切线方程是y2x8，则 14如图，双曲线C：1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作线段F2P与C交于点Q，且Q为PF2的中点若等腰PF1F2的底边PF2的长等于C的半焦距，则C的离心率为 15如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则+的最小值为 16黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德黎曼发现提出，
6、在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：R（x），若函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意x都有f（2x）+f（x）0，当x0，1时，f（x）R（x），则f（ln2）f（） 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17已知数列an是公差不为0的等差数列，a13，a1a4a22（1）求an的通项公式及an的前n项和Sn的通项公式；（2）bn，求数列bn的通项公式，并判断bn与的大小18松山区教研室某课题组对“加强语文阅读理解训练对提高数学应用题得分率作用”这一课题进行专项研
7、究为此对松山区某中学高二甲、乙两个同类班级进行“加强语文阅读理解训练对提高数学应用题得分率作用”的试验，其中甲班为试验班（加强语文阅读理解训练），乙班为对比班（常规教学，无额外训练），在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩（均取整数）如表所示：60分以下61707180819091100甲班（人数）36111812乙班（人数）48131510现规定平均成绩在80分以上（不含80分）的为优秀（）试分别估计两个班级的优秀率；（）由以上统计数据填写下面22列联表，并问是否有75%的把握认为“加强语文阅读理解训练对提高数学应用题得分
8、率”有帮助？优秀人数非优秀人数合计甲班乙班合计参考公式及数据：K2，其中na+b+c+dP（K2k0）0.400.250.150.1000.0500.0250.010k00.7081.3232.0722.7063.8415.0246.63519如图，设四棱锥SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD2a，ADa，点E是SD上的点，且DEa（02）（1）求证：对任意的（0，2，都有ACBE；（2）设二面角CAED的大小为，直线BE与平面ABCD所成的角为，若cossin，求的值20已知椭圆+1（ab0）的左焦点F在直线3xy+30上，且a+b2+（1）求椭圆的方程；（2）直线l与椭圆交于A
9、、C两点，线段AC的中点为M，射线MO与椭圆交于点P，点O为PAC的重心，探求PAC面积S是否为定值，若是，则求出这个值；若不是，则求S的取值范围21已知函数f（x）2xlnxax22x+a2（a0）在其定义域内有两个不同的极值点（）求a的取值范围；（）设f（x）两个极值点分别为x1，x2，证明：e(二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程22直角坐标系xoy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos21直线l与曲线C交于A，B两点（1）求|
10、AB|的长；（2）若P点的极坐标为（1，），求AB中点M到P的距离选修4-5：不等式选讲（本小题满分0分）23设函数f（x）|x2|+2x3，记f（x）1的解集为M（）求M；（）当xM时，证明：xf（x）2x2f（x）0参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合Qx|2x27x0，xN，且PQ，则满足条件的集合P的个数是（）A8B9C15D16解：Qx|2x27x0，xNx|0，所以Q0，1，2，3，又PQ，则满足题意的集合P的个数为2416，故选：D2复数z45i（其中i为虚数单位），则|z+2i|（）AB5C7D2
11、5解：z45i，z+2i43i，|z+2i|5，故选：B3已知sin2sin（+），则cos2（）ABCD解：因为sin2sin（+）2cos，所以tan2，所以cos2故选：A4十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远若ab0，则下列结论错误的是（）ABlog2（ab）0CD3a3b解：令a2，b1，得选项B错误，故选：B5如图是某个闭合电路的一部分，每个元件出现故障的概率为，则从A到B这部分电源能通电的概率为（）ABCD解：如下图：从A到B这部分电源不能通电的概率
12、为：p1（1）21（1）（1），从A到B这部分电源能通电的概率为：P1P故选：A6动圆的圆心在抛物线y28x上，且动圆恒与直线x+20相切，则动圆必经过定点（）A（4，0）B（2，0）C（0，2）D（0，2）解：由抛物线y28x，得到准线方程为x+20，焦点坐标为（2，0），动圆的圆心在抛物线y28x上，且动圆恒与直线x+20相切，动圆必经过定点（2，0）故选：B7若直角坐标平面内A、B两点满足点A、B都在函数f（x）的图象上；点A、B关于原点对称，则点（A，B）是函数f（x）的一个“姊妹点对”点对（A，B）与（B，A）可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数f（x），则f（x）的“姊妹点对”有（
13、）A0个B1个C2个D3个解：根据题意可知，“姊妹点对”满足两点：都在函数图象上，且关于坐标原点对称可作出函数yx2+2x（x0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数y（x0）交点个数即可如图所示：当x1时，01观察图象可得：它们有2个交点故选：C8运用祖暅原理计算球的体积时，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图1）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图2），用任何一个平行于底面的平面去截它们时
14、，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，现将椭圆+1绕y轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图3），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（）A64B148C128D32解：先构造一个底面半径为r4，高为h12的圆柱，再在圆柱内挖去一个等底等高的圆锥，剩余几何体的体积为Vr2h4212128故选：C9如图，在一个凸四边形ABCD内，顺次连接四边形各边中点E，F，G，H而成的四边形是一个平行四边形，这样的平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形如图，现有一个面积为12的凸四边形ABCD，设其对应的瓦里尼翁平行四边形为A1B1C1D1，记其面积为a1，四边形为A1B1C1D
15、1对应的瓦里尼翁平行四边形为A2B2C2D2，记其面积为a2，依此类推，则由此得到的第四个瓦里尼翁平行四边形A4B4C4D4的面积为（）A1BCD不确定解：如图，连接BD，EF为ABD的中位线，AEFABD，且相似比为，SAEFSABD，同理SCGHSCBD，SAEF+SCGHS四边形ABCD，同理SBGFSABC，SDEHSACD，SBGF+SDEHS四边形ABCD，SAEF+SCGH+SBGF+SDEHS四边形ABCD，即S四边形EFGHS四边形ABCD，任意凸四边形对应的瓦力尼翁平行四边形的面积为原四边形面积的一半，从而a16a23，a3，a4故选：C10已知函数f（x）cos（2x+）
16、（|），F（x）f（x）+f（x）为奇函数，则下述四个结论中说法正确的是（）AtanBf（x）在a，a上存在零点，则a的最小值为CF（x）在（，）上单调递增Df（x）在（0，）有且仅有一个极大值点解：函数f（x）cos（2x+）（|），所以F（x）f（x）+f（x），cos（2x+），2cos（2x+），由于函数为奇函数，所以f（0）0，cos（+）0，由于|，故，故tan，故A错误；令f（x）cos（2x+）0，所以x（kZ），若f（x）在a，a上存在零点，则a的最小值为，故B正确；函数F（x）2cos（2x+）2sin2x，当x时，2x，所以函数F（x）不单调，故C错误；对于D：所以f，当
17、x时，f（x）0，当x时，f（x）0，所以函数f（x）cos（2x+），在x（0，）时，函数在（0，）上只有极小值，没有极大值，故D错误故选：B11下列说法中，正确的有（）个各个面都是三角形的几何体是三棱锥；过球面上任意两点只能作球的一个大圆；三棱锥的四个面都可以是直角三角形；梯形的直观图可以是平行四边形A1B2C3D4解：考查所给的各个说法：两个同底的三棱锥构成的六面体各个面都是三角形，不是三棱锥，故错误，过球面上任意两点与球心共线时，可以作球的无数个大圆，故错误，一条侧棱垂直于底面直角三角形的一个锐角顶点的三棱锥，满足题意，故正确，因为平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半，故
18、梯形的直观图不可以是平行四边形，综上可得，正确的说法有一个，故选：A12锐角ABC的三边分别为a，b，c，a2bcosB，则的取值范围是（）A1，3）BCD1，2）解：由a2bcosB，得sinA2sinBcosBsin2B因为ABC是锐角三角形，所以当A2B时，得：所以当A+2B时，BC，得，故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13函数yf（x）的图象在点M（2，f（2）处的切线方程是y2x8，则2解：由题意，f（2）2，又f（2）2284，故答案为：214如图，双曲线C：1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作线段F2P与C交于点Q，且Q为PF2的中点若等
19、腰PF1F2的底边PF2的长等于C的半焦距，则C的离心率为解：连结QF1，由条件知QF1PF2，且|QF2|由双曲线定义知|QF1|2a+，在RtF1QF2中，（2a+）2+（）2（2c）2，即8a2+4ac7c20，即8+4e7e20解得C的离心率e，故答案为：15如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则+的最小值为解：以A为原点，以AB所在的为x轴，建立坐标系，设正方形ABCD的边长为1，则E（，0），C（1，1），D（0，1），A（0，0），B（1，0）设 P（cos，sin），（1，1）再由向量（，1）+（cos，sin）（ ，
20、+sin ）（1，1），+1+由题意得 0，0cos1，0sin1求得（+）0，故+在0，上是增函数，故当0时，即cos1，这时+取最小值为，故答案为：16黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：R（x），若函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意x都有f（2x）+f（x）0，当x0，1时，f（x）R（x），则f（ln2）f（）解：f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意x都有f（2x）+f（x）0，f（2x）f（x），f（x+2）f（x），即f（x）的周期为2，当x0，1时，f（x）R（x），故f（ln2）f（）f（ln2）f（
21、）0故答案为：三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17已知数列an是公差不为0的等差数列，a13，a1a4a22（1）求an的通项公式及an的前n项和Sn的通项公式；（2）bn，求数列bn的通项公式，并判断bn与的大小解：（1）设a1a，公差为d，则a（a+3d）（a+d）2，解得da3，所以an3n，（2），从而，故18松山区教研室某课题组对“加强语文阅读理解训练对提高数学应用题得分率作用”这一课题进行专项研究为此对松山区某中学高二甲、乙两个同类班级进行“加强语文阅读
22、理解训练对提高数学应用题得分率作用”的试验，其中甲班为试验班（加强语文阅读理解训练），乙班为对比班（常规教学，无额外训练），在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩（均取整数）如表所示：60分以下61707180819091100甲班（人数）36111812乙班（人数）48131510现规定平均成绩在80分以上（不含80分）的为优秀（）试分别估计两个班级的优秀率；（）由以上统计数据填写下面22列联表，并问是否有75%的把握认为“加强语文阅读理解训练对提高数学应用题得分率”有帮助？优秀人数非优秀人数合计甲班乙班合计参考公式及数据
23、：K2，其中na+b+c+dP（K2k0）0.400.250.150.1000.0500.0250.010k00.7081.3232.0722.7063.8415.0246.635解：（）由题意可得：甲乙两班的人数均为50人，甲班优秀人数为30人，优秀率为：60%；乙班优秀人数为25人，优秀率为：50%；（）由以上统计数据填写下面22列联表，优秀人数非优秀人数合计甲班302050乙班252550合计5545100K21.0101.323故没有75%的把握认为“加强语文阅读理解训练对提高数学应用题得分率”有帮助19如图，设四棱锥SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD2a，ADa，点E是
24、SD上的点，且DEa（02）（1）求证：对任意的（0，2，都有ACBE；（2）设二面角CAED的大小为，直线BE与平面ABCD所成的角为，若cossin，求的值【解答】（1）证明：连接BE、BD，由底面ABCD是正方形可得ACBDSD平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，ACBE（2）解：由SD平面ABCD知，DBE，SD平面ABCD，CD平面ABCD，SDCD又底面ABCD是正方形，CDAD，而SDADD，CD平面SAD连接AE、CE，过点D在平面SAD内作DFAE于F，连接CF，则CFAE，故CFD是二面角CAED的平面角，即CFD在RtBDE中，BD2a，DEa，tan在RtA
25、DE中，ADa，DEaAEa从而DF在RtCDF中，tan由sincos+tantan1，得1即2，所以22由02，解得，即为所求20已知椭圆+1（ab0）的左焦点F在直线3xy+30上，且a+b2+（1）求椭圆的方程；（2）直线l与椭圆交于A、C两点，线段AC的中点为M，射线MO与椭圆交于点P，点O为PAC的重心，探求PAC面积S是否为定值，若是，则求出这个值；若不是，则求S的取值范围解：（1）直线3xy+30与x轴的交点为（，0），c，得到方程组，解得，椭圆的方程为：；（2）若直线l的斜率不存在，则S，若直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykx+m，联立方程，消去y得：（1+2k2）x2+
26、4kmx+2m240，设A（x1，y1），C（x2，y2），则，y1+y2k（x1+x2）+2m，由题意点O为PAC的重心，设P（x0，y0），则，把点P坐标代入椭圆得：，化简得：，设坐标原点O到直线l的距离为d，则PAC的面积S，综上所述，PAC面积S为定值21已知函数f（x）2xlnxax22x+a2（a0）在其定义域内有两个不同的极值点（）求a的取值范围；（）设f（x）两个极值点分别为x1，x2，证明：e解：（）由题意得f（x）的定义域是（0，+），f（x）2xlnxax22x+a2（a0），则f（x）2lnx+22ax2，令f（x）0，得lnxax0，问题转化为方程lnxax0在（0，
27、+）上有2个异根，令g（x）lnxax，问题转化为函数g（x）有2个不同的零点，而g（x）a（x0），a0，当0x时，g（x）0，当x时，g（x）0，故g（x）在（0，）单调递增，在（，+）单调递减，故g（x）极大值g（）ln1，又当x0时，g（x），当x+时，g（x），于是只需g（x）极大值0，即ln10，故0a，即a的取值范围是（0，）；（）证明：由（）可知x1，x2分别是方程lnxax0的两个根，即lnx1ax1，lnx2ax2，设x1x2，作差得lna（x1x2），即a，原不等式e等价于x1x2e2，lnx1+lnx22a（x1+x2）2ln，令t，则t1，lnlnt，设g（t）lnt
28、（t1），则g（t）0，函数g（t）在（1，+）上单调递增，g（t）g（1）0，即不等式lnt成立，故所证不等式成立(二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程22直角坐标系xoy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos21直线l与曲线C交于A，B两点（1）求|AB|的长；（2）若P点的极坐标为（1，），求AB中点M到P的距离解：（1）曲线C的极坐标方程为2cos21，2（cos2sin2）1，即x2y21，而直线l的参数方程为（t为参数），
29、带入x2y21，得：t22t40，设A、B对应的参数分别是t1，t2，则t1+t22，t1t24，则|AB|t1t2|2；（2）P点的极坐标为（1，），直角坐标是（0，1），P（0，1）在直线l上，AB的中点M对应的参数为：1，|PM|1选修4-5：不等式选讲（本小题满分0分）23设函数f（x）|x2|+2x3，记f（x）1的解集为M（）求M；（）当xM时，证明：xf（x）2x2f（x）0解：（）由已知，得，当x2时，由f（x）x11，解得，x0，此时x0当x2时，由f（x）3x51，解得，显然不成立，故f（x）1的解集为Mx|x0（）证明：当xM时，f（x）x1，于是，函数在（，0上是增函数，g（x）g（0）0，故xf（x）2x2f（x）0