1、第2讲数形结合思想1数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质2运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：(1)等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应(
2、2)双方性原则既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错(3)简单性原则不要为了“数形结合”而数形结合具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线3数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式(5)构建立体几何模型研
3、究代数问题(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题(7)构建方程模型，求根的个数(8)研究图形的形状、位置关系、性质等4数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度具体操作时，应注意以下几点：(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解.热点一利用数形结合思想讨论方程的根
4、例1(2014山东)已知函数f(x)|x2|1，g(x)kx，若方程f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是()A(0，) B(，1)C(1,2) D(2，)答案B解析先作出函数f(x)|x2|1的图象，如图所示，当直线g(x)kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)kx过A点时斜率为，故f(x)g(x)有两个不相等的实根时，k的范围为(，1)思维升华用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系
5、中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数设函数f(x)若f(4)f(0)，f(2)2，则关于x的方程f(x)x的解的个数为()A1 B2C3 D4答案C解析由f(4)f(0)，f(2)2，解得b4，c2，f(x)作出函数f(x)与yx的图象，如图，由图知交点个数有3个，故选C.热点二利用数形结合思想解不等式、求参数范围例2(1)已知奇函数f(x)的定义域是x|x0，xR，且在(0，)上单调递增，若f(1)0，则满足xf(x)0的x的取值范围是_(2)若不等式|x2a|xa1对xR恒成立，则a的取值范围是_答案(1)(1,0)(0,1)(2)解析(1)作出符合条件的一个函数图象草图即
6、可，由图可知xf(x)0，所以m1，故m的取值范围是m1.(2)令y1，y2k(x2)，在同一个坐标系中作出其图象，因k(x2)的解集为a，b且ba2.结合图象知b3，a1，即直线与圆的交点坐标为(1,2)又因为点(2，)在直线上，所以k.热点三利用数形结合思想解最值问题例3(1)已知P是直线l：3x4y80上的动点，PA、PB是圆x2y22x2y10的两条切线，A、B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为_(2)已知点P(x，y)的坐标x，y满足则x2y26x9的取值范围是()A2,4 B2,16C4,10 D4,16答案(1)2(2)B解析(1)从运动的观点看问题，当动点P沿直线
7、3x4y80向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC的面积SRtPAC|PA|AC|PA|越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直直线l时，S四边形PACB应有唯一的最小值，此时|PC|3，从而|PA|2.所以(S四边形PACB)min 2|PA|AC|2.(2)画出可行域如图，所求的x2y26x9(x3)2y2是点Q(3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q到射线xy10(x0)的距离d的平方，最大值为|QA|216.d2()2()22.取值范围是2,16思维升华
8、(1)在几何的一些最值问题中，可以根据图形的性质结合图形上点的条件进行转换，快速求得最值(2)如果(不)等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解(1)(2013重庆)设P是圆(x3)2(y1)24上的动点，Q是直线x3上的动点，则|PQ|的最小值为()A6 B4 C3 D2(2)若实数x、y满足则的最小值是_答案(1)B(2)2解析(1)由题意，知圆的圆心坐标为(3，1)，圆的半径长为2，|PQ|的最小值为圆心到直线x3的距离减去圆的半径长，所以|PQ|min3(3)24.故选B.(2) 可行域如图所示又的几何意义是可行域内的点与坐标原点连
9、线的斜率k.由图知，过点A的直线OA的斜率最小联立得A(1,2)，所以kOA2.所以的最小值为2.1在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的2有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的3利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象4数形结合思想常用模型：一次、二次函数图象；斜率公式；两点间的距离公式(或向量的模)；点到直线的距离公式等真题感悟1(2013重庆)已知圆C1：(x2)2
10、(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为()A54 B.1C62 D.答案A解析设P(x,0)，设C1(2,3)关于x轴的对称点为C1(2，3)，那么|PC1|PC2|PC1|PC2|C1C2|5.而|PM|PN|PC1|PC2|454.2(2014江西)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2xy40相切，则圆C面积的最小值为()A. B.C(62) D.答案A解析AOB90，点O在圆C上设直线2xy40与圆C相切于点D，则点C与点O间的距离等于它到直线2xy40的距离
11、，点C在以O为焦点，以直线2xy40为准线的抛物线上，当且仅当O，C，D共线时，圆的直径最小为|OD|.又|OD|，圆C的最小半径为，圆C面积的最小值为()2.3(2013课标全国)已知函数f(x)若|f(x)|ax，则a的取值范围是()A(，0 B(，1C2,1 D2,0答案D解析函数y|f(x)|的图象如图当a0时，|f(x)|ax显然成立当a0时，只需在x0时，ln(x1)ax成立比较对数函数与一次函数yax的增长速度显然不存在a0使ln(x1)ax在x0上恒成立当a0时，只需在x0，即a210a90，解得a9.又由图象得a0，所以0a9.押题精练1方程|x22x|a21(a0)的解的个
12、数是()A1 B2 C3 D4答案B解析(数形结合法)a0，a211.而y|x22x|的图象如图，y|x22x|的图象与ya21的图象总有两个交点2不等式|x3|x1|a23a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为()A(，14，) B(，25，)C1,2 D(，12，)答案A解析f(x)|x3|x1|画出函数f(x)的图象，如图，可以看出函数f(x)的最大值为4，故只要a23a4即可，解得a1或a4.正确选项为A.3经过P(0，1)作直线l，若直线l与连接A(1，2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角的取值范围分别为_，_.答案1,10，)解析如图所示，结合图形：为使
13、l与线段AB总有公共点，则kPAkkPB，而kPB0，kPA0，故k0时，为锐角又kPA1，kPB1，1k1.又当0k1时，0；当1k0时，.故倾斜角的取值范围为0，)4(2013山东)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是_答案解析由题意知原点O到直线xy20的距离为|OM|的最小值所以|OM|的最小值为.5(2013江西)过点(，0)引直线l与曲线y相交于A、B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线l的斜率为_答案解析SAOB|OA|OB|sinAOBsinAOB.当AOB时，SAOB面积最大此时O到AB的距离d.设AB方程为yk(x)(k0)，即kxyk0.由d得k.