1、1(2015宁波模拟)曲线y在点(1，1)处的切线方程为_解析：由题意可得：y，所以在点(1，1)处的切线斜率为2，所以在点(1，1)处的切线方程为y2x1.答案：y2x12函数yx2ln x的单调递减区间为_解析： 因为yx2ln x，所以yx，由y0，及x0，可得00，f(x)3(x)(x)，由已知条件01，解得0a0，所以函数f(x)2xx32在(0,1)上递增，且f(0)10210，f(1)21210.所以有1个零点答案：16已知a0，函数f(x)x3ax在1，)上是单调增函数，则a的最大值是_解析：f(x)3x2a在x1，)上有f(x)0，则f(1)0a3.答案：37(2016江苏联
2、考)已知函数yx33xc的图象与x轴恰有两个公共点，则c_.解析：设f(x)x33xc，对f(x)求导可得，f(x)3x23，令f(x)0，可得x1，易知f(x)在(，1)，(1，)上单调递增，在(1,1)上单调递减若f(1)13c0，可得c2；若f(1)13c0，可得c2.答案：2或28已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m1,1，则f(m)的最小值为_解析：求导得f(x)3x22ax，由f(x)在x2处取得极值知f(2)0，即342a20，故a3.由此可得f(x)x33x24，f(x)3x26x.由此可得f(x)在(1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，所以对m1,1时，
3、f(m)minf(0)4.答案：49(2015长沙联考)已知函数f(x)的定义域为1,5，部分对应值如下表：x10245y12021f(x)的导函数yf(x)的图象如图所示(1)f(x)的极小值为_；(2)若函数yf(x)a有4个零点，则实数a的取值范围为_解析：(1)由yf(x)的图象可知，x(1,0)0(0,2)2(2,4)4(4,5)f(x)000f(x)极大值极小值极大值所以f(2)为f(x)的极小值，f(2)0.(2)yf(x)的图象如图所示：若函数yf(x)a有4个零点，则a的取值范围为1a0.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若直线xy10是曲线yf(x)的切线，求实数a的值
4、；(3) 设g(x)xln xx2f(x)，求g(x)在区间1，e上的最大值(其中e为自然对数的底数)解：(1) f(x)，x0，在区间(，0)和(2，)上，f(x)0.所以，f(x)的单调递减区间是(，0)和(2，)，单调递增区间是(0,2)(2)设切点坐标为(x0，y0)，则解得x01，a1.(3)g(x)xln xa(x1)，则g(x)ln x1a，令g(x)0，得xea1，在区间(0，ea1)上，g(x)为递减函数在区间(ea1，)上，g(x)为递增函数当ea11，即0a1时，在区间1，e上，g(x)为递增函数，所以g(x)最大值为g(e)eaae.当ea1e，即a2时，在区间1，e上
5、，g(x)为递减函数，所以g(x)最大值为g(1)0.当1ea1e，即1a0，解得a，当1a时，g(x)最大值为g(e)eaae，当a2时，g(x)最大值为g(1)0.综上所述，当0a时，g(x)最大值为g(e)eaae，当a时，g(x)的最大值为g(1)0.B卷1(2015高考山东卷)设函数f(x)(xa)ln x，g(x).已知曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与直线2xy0平行(1)求a的值；(2)是否存在自然数k，使得方程f(x)g(x)在(k，k1)内存在惟一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；(3)设函数m(x)minf(x)，g(x)(minp，q表示p，q中的
6、较小值)，求m(x)的最大值解：(1)由题意知，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为2，所以f(1)2.又f(x)ln x1，所以a1.(2)当k1时，方程f(x)g(x)在(1，2)内存在惟一的根设h(x)f(x)g(x)(x1)ln x，当x(0，1时，h(x)110，所以存在x0(1，2)，使得h(x0)0.因为h(x)ln x1，所以当x(1，2)时，h(x)10，当x(2，)时，h(x)0，所以当x(1，)时，h(x)单调递增所以当k1时，方程f(x)g(x)在(k，k1)内存在惟一的根(3)由(2)知，方程f(x)g(x)在(1，2)内存在惟一的根x0，且x(0，x0)时
7、，f(x)g(x)，所以m(x)当x(0，x0)时，若x(0，1，m(x)0；若x(1，x0)，由m(x)ln x10，可知00，m(x)单调递增；x(2，)时，m(x)0，m(x)单调递减可知m(x)m(2)，且m(x0)m(2)综上可得，函数m(x)的最大值为.2(2015苏州期末)已知函数f(x)exa(x1)，其中aR，e为自然对数底数(1)当a1时，求函数f(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性，并写出相应的单调区间；(3)已知bR，若函数f(x)b对任意xR都成立，求ab的最大值解：(1)当a1时，f(x)ex1，f(1)e1，f(1)e, 所以函数f
8、(x)在点(1，f(1)处的切线方程为ye(e1)(x1)，即y(e1)(x1)e.(2)因为f(x)exa，当a0时，f(x)0，函数f(x)在R上单调递增；当a0时，由f(x)exa0得xln a，所以x(，ln a)时，f(x)0，f(x)单调递减；x(ln a，)时，f(x)0，f(x)单调递增综上，当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(，)；当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(ln a，)，单调递减区间为(，ln a)(3)由(2)知，当a0时，函数f(x)在R上单调递增，所以f(x)b不可能恒成立；当a0时，b0，此时ab0; 当a0时，由函数f(x)b对任意xR都成立，得b
9、f(x)min，因为f(x)minf(ln a)2aaln a，所以b2aaln a，所以ab2a2a2ln a，设g(a)2a2a2ln a(a0)，所以g(a)4a2aln aa3a2aln a，由于a0，令g(a)0，得ln a，ae，当a时，g(a)0，g(a)单调递增；a时，g(a)0，g(a)单调递减所以g(a)max，即ab的最大值为，此时ae，be.3(2015南京、盐城模拟)已知函数f(x)ex，g(x)mxn.(1)设h(x)f(x)g(x)若函数h(x)在x0处的切线过点(1，0)，求mn的值；当n0时，若函数h(x)在(1，)上没有零点，求m的取值范围；(2)设函数r(
10、x)，且n4m(m0)，求证：当x0时，r(x)1.解：(1)由题意，得h(x)(f(x)g(x)(exmxn)exm，所以函数h(x)在x0处的切线斜率k1m，又h(0)1n，所以函数h(x)在x0处的切线方程为y(1n)(1m)x，将点(1，0)代入，得mn2.当n0，可得h(x)(exmx)exm，因为x1，所以ex，()当m时，h(x)exm0，函数h(x)在(1，)上单调递增，而h(0)1，所以只需h(1)m0，解得m，从而m.()当m时，由h(x)exm0，解得xln m(1，)，当x(1，ln m)时，h(x)0，h(x)单调递减；当x(ln m，)时，h(x)0，h(x)单调递
11、增所以函数h(x)在(1，)上有最小值为h(ln m)mmln m，令mmln m0，解得me，所以me. 综上所述，m.(2)证明：由题意，r(x)，而r(x)1等价于ex(3x4)x40，令F(x)ex(3x4)x4，则F(0)0，且F(x)ex(3x1)1，F(0)0，令G(x)F(x)，则G(x)ex(3x2)，因x0, 所以G(x)0，所以导数F(x)在0，)上单调递增，于是F(x)F(0)0，从而函数F(x)在0，)上单调递增，即F(x)F(0)0.即当x0时，r(x)1.4(2015常州期末)已知a，b为实数，函数f(x)b，函数g(x)ln x.(1)当ab0时，令F(x)f(
12、x)g(x)，求函数F(x)的极值；(2)当a1时，令G(x)f(x)g(x)，是否存在实数b，使得对于函数yG(x)定义域中的任意实数x1，均存在实数x21，)，有G(x1)x20成立，若存在，求出实数b的取值集合；若不存在，请说明理由解：(1)F(x)ln x，F(x)，令F(x)0，得x1.列表：x(0，1)1(1，)F(x)0F(x)极小值所以F(x)的极小值为F(1)1，无极大值(2)当a1时，假设存在实数b满足条件，则G(x)ln x1在x(0，1)(1，)上恒成立当x(0，1)时，G(x)ln x1可化为(bx1b)ln xx10，令H(x)(bx1b)ln xx1，x(0，1)
13、，问题转化为：H(x)0对任意x(0，1)恒成立；(*)则H(1)0，H(x)bln xb1，H(1)0.令Q(x)bln xb1，则Q(x).()b时，因为b(x1)1(x1)1210，故Q(x)0，所以函数yQ(x)在x(0，1)时单调递减，Q(x)Q(1)0，即H(x)0，从而函数yH(x)在x(0，1)时单调递增，故H(x)H(1)0，所以(*)成立，满足题意；()当b时，Q(x)，因为b，所以11，记I(0，1)，则当xI时，x0，故Q(x)0，所以函数yQ(x)在xI时单调递增，Q(x)Q(1)0，即H(x)0，从而函数yH(x)在xI时单调递减，所以H(x)H(1)0，此时(*)
14、不成立；所以当x(0，1)，G(x)ln x1恒成立时，b.当x(1，)时，G(x)ln x1可化为(bx1b)ln xx10，令H(x)(bx1b)ln xx1，x(1，)，问题转化为：H(x)0对任意的x(1，)恒成立；(*)则H(1)0，H(x)bln xb1，H(1)0.令Q(x)bln xb1，则Q(x).()b时，b(x1)12b1210，故Q(x)0，所以函数yQ(x)在x(1，)时单调递增，Q(x)Q(1)0，即H(x)0，从而函数yH(x)在x(1，)时单调递增，所以H(x)H(1)0，此时(*)成立；()当b时，(1)若b0，必有Q(x)0，故函数yQ(x)在x(1，)上单调递减，所以Q(x)Q(1)0，即H(x)0，从而函数yH(x)在x(1，)时单调递减，所以H(x)H(1)0，此时(*)不成立； (2)若0b，则11，所以当x时，Q(x)0，故函数yQ(x)在x上单调递减，Q(x)Q(1)0，即H(x)0，所以函数yH(x)在x时单调递减，所以H(x)H(1)0，此时(*)不成立；所以当x(1，)，G(x)ln x1恒成立时，b；综上所述，当x(0，1)(1，)，G(x)ln x1恒成立时，b，从而实数b的取值集合为.