1、第二章 随机变量及其分布2.4 正态分布第二章 随机变量及其分布考点学习目标核心素养正态分布和正态曲线了解正态曲线和正态分布的概念，能借助正态曲线理解正态曲线的特点及曲线表示的意义数学抽象、直观想象正态曲线的性质了解变量落在区间(，(2，2，(3，3的概率大小，会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间内的概率直观想象、数学运算正态分布的实际应用会用正态分布解决实际问题数学建模、数学运算问题导学预习教材 P70P74 的内容，并思考下列问题：1什么是正态曲线和正态分布？2正态曲线有什么特点？3正态曲线，(x)中参数，的意义是什么？1正态曲线函数，(x)12e（x）222，x(，)，其中实数 和(
2、0)为参数，(x)的图象为_，简称正态曲线正态分布密度曲线2正态分布一般地，如果对于任何实数 a，b(ab)，随机变量 X 满足 P(aXb)ab，(x)dx，则称随机变量 X 服从正态分布正态分布完全由参数 和 确定，因此正态分布常记作_，如果随机变量 X 服从正态分布，则记为_N(，2)XN(，2)名师点拨参数 是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计把 0，1 的正态分布称为标准正态分布3正态曲线的性质正态曲线，(x)12e（x）222，xR 有以下性质：(1)曲线位于 x 轴_，与 x 轴_(2)曲线是单
3、峰的，它关于直线_对称(3)曲线在_处达到峰值_(4)曲线与 x 轴之间的面积为_1 2上方不相交xx1(5)当_一定时，曲线的位置由 确定，曲线随着 的变化而沿x 轴平移，如图.(6)当 一定时，曲线的形状由 确定，_，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越_；_，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越_，如图.越小集中越大分散4正态总体在三个特殊区间内取值的概率值P(X)_；P(2X2)_；P(3X3)_0.682 70.954 50.997 3名师点拨(1)正态分布定义中的式子实际是指随机变量 X 的取值区间在(a，b上的概率等于总体密度函数在a，b上的定积分值也就是指随机变量 X 的取值区间在(a
4、，b上时的概率等于正态曲线与直线xa，xb 以及 x 轴所围成的封闭图形的面积(2)从正态曲线可以看出，对于固定的 和 而言，随机变量在(，)上取值的概率随着 的减小而增大这说明 越小，X 取值落在区间(，)的概率越大，即 X 集中在 周围的概率越大正态分布的 3 原则是进行质量控制的依据，要会应用给定三个区间的概率解决实际问题判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数 ，(x)中参数，的意义分别是样本的均值与方差()(2)正态曲线是单峰的，其与 x 轴围成的面积是随参数，的变化而变化的()(3)正态曲线可以关于 y 轴对称()设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数 f(x)的图象，且
5、f(x)，(x)18e（x10）28，则这个正态总体的均值与标准差分别是()A10 与 8 B10 与 2C8 与 10 D2 与 10答案：B设随机变量 服从正态分布 N(2，9),若 P(c1)P(c1)，则 c()A1 B2C3 D4答案：B已知随机变量 XN(0，1)，则 X 在区间(，2)内取值的概率为()A0.954 B0.046C0.977 D0.023答案：D在正态分布 N(0，49)中，数据落在(2，2)内的概率为_解析：由题可得 0，23，P(2X2)P(3X3)0.997 3.答案：0.997 3 如图是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出
6、总体随机变量的均值和方差正态分布密度曲线【解】从正态曲线可知，该正态曲线关于直线 x20 对称，最大值为 12，所以 20，12 12，所以 2.于是，(x)12 e（x20）24，x(，)，总体随机变量的均值是 20，方差是 2(2)22.正态密度函数解析式的求法利用图象求正态密度函数的解析式，应抓住图象的实质，主要有两点：一是对称轴 x，二是最值1 2，这两点确定以后，相应参数，便确定了，代入便可求出相应的解析式 1青岛市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为 f(x)1210e（x80）2200(xR)，则下列命题不正确的是()A该市这次考试的数学平均成绩为
7、 80 分B分数在 120 分以上的人数与分数在 60 分以下的人数相同C分数在 110 分以上的人数与分数在 50 分以下的人数相同D该市这次考试的数学成绩标准差为 10解析：选 B由密度函数知，均值(期望)80，标准差 10，又曲线关于直线 x80 对称，故分数为 100 分以上的人数与分数在 60 分以下的人数相同，所以 B 是错误的2若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为14 2.求该正态分布的概率密度函数的解析式解：由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于 y 轴对称，即 0.由于12124，得 4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是，(x)1
8、4 2ex232，x(，)设 XN(1，22)，试求：(1)P(1X3)；(2)P(3X5)利用正态分布的性质求概率【解】因为 XN(1，22)，所以 1，2.(1)P(1X3)P(12X12)P(X)0.682 7.(2)因为 P(3X5)P(3X1)，所以 P(3X5)12P(3X5)P(1X3)12P(14X14)P(12X12)12P(2X2)P(X)12(0.954 50.682 7)0.135 9.变问法在本例条件下，试求 P(X5)解：因为 P(X5)P(X3)，所以 P(X5)121P(3X5)121P(14X14)121P(2X2)12(10.954 5)0.022 75.正
9、态总体在某个区间内取值概率的求解策略(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间面积为 1.(2)熟记 P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值(3)注意概率值的求解转化：P(Xa)1P(Xa)；P(Xa)P(Xa)；若 b，则 P(Xb)1P（bX2b）2.1已知随机变量 服从正态分布 N(2，2)，且 P(4)0.8，则P(02)()A0.6 B0.4C0.3 D0.2解析：选 C因为 P(4)0.2.由题意知图象(如图)的对称轴为直线 x2，P(4)0.2，所以 P(04)1P(4)0.6.所以 P(02)12P(04)0.3.2(2019青岛高二检测)随机变量 服从正态分布 N(
10、1，4)，若P(23)a，则 P(1)P(12)()A1a2B12aCa0.003aD12a解析：选 B因为随机变量 服从正态分布 N(1，4)，所以正态曲线关于直线 x1 对称，因为 P(23)a，所以 P(10)a，P(12)P(01)，P(1)P(12)0.023，则 P(22)等于()A0.477 B0.628C0.954 D0.977解析：选 C由题意可知随机变量 服从正态分布 N(0，2)，所以图象关于 y 轴对称，又 P(2)0.023，所以 P(22)1P(2)P(2)0.954.3若随机变量 N(10，2)，P(911)0.4，则 P(11)_.解析：由 P(911)0.4 且正态曲线以 x10 为对称轴知，P(911)2P(1011)0.4，即 P(1011)0.2，又 P(10)0.5，所以 P(11)0.50.20.3.答案：0.34设 XN(5，1)，求 P(6X7)解：由已知得 P(4X6)0.682 7，P(3X7)0.954 5.又因为正态曲线关于直线 x5 对称，所以 P(3X4)P(6X7)0.954 50.682 70.271 8.由对称性知 P(3X4)P(6X7)，所以 P(6X7)0.271 820.135 9.按ESC键退出全屏播放本部分内容讲解结束
