1、2018-2019学年度第二学期期中六校联考高二数学第卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.将名世博会志愿者全部分配给个不同的地方服务，不同的分配方案有（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】每名志愿者有种选择，利用分步乘法计数原理可得出分配方案的种数.【详解】由题意可知，每名志愿者有种选择，将名世博会志愿者全部分配给个不同的地方服务，不同的分配方案种数为种.故选：D.【点睛】本题考查分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于基础题.2.已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数，则由该观测的
2、数据算得的线性回归方程可能是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：因为与正相关，排除选项C、D，又因为线性回归方程恒过样本点的中心，故排除选项B；故选A考点：线性回归直线.3.的展开式中的系数是A. 20B. 5C. 5D. 20【答案】A【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式，求解所求项的系数即可【详解】由二项式定理可知：；要求的展开式中的系数，所以令，则；所以展开式中的系数是是-20；故答案选A【点睛】本题考查二项式定理的通项公式的应用，属于基础题4.某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递
3、给本组其他同学若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X(单位：分)的数学期望为 ()A. 0.9B. 0.8C. 1.2D. 1.1【答案】A【解析】依题意得，得分之和X的可能取值分别是0、1、2，且P(X0)(10.4)(10.5)0.3，P(X1)0.4(10.5)(10.4)0.50.5，P(X2)0.40.50.2，得分之和X的分布列为X012P0.30.50.2E(X)00.310.520.20.9.5.在的展开式中，有理项共有（ ）A. 项B. 项C. 项D. 项【答案】C【解析】【分析】利
4、用二项式定理求出展开式的通项，令的指数为整数，求出满足的自然数的个数，即可得出结论.【详解】展开式的通项为，其中且，当、时，为有理项，因此理数项数为.故选：C.【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查系数为有理数的项数的求解，一般列举出符合条件的自然数的值即可，考查计算能力，属于基础题.6. 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）A. 1440种B. 960种C. 720种D. 480种【答案】B【解析】5名志愿者先排成一排，有种方法，2位老人作一组插入其中，且两位老人有左右顺序，共有=960种不同的排法，选B7.用数字0,1,2,
5、3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有A. 144个B. 120个C. 96个D. 72个【答案】B【解析】试题分析：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；进而对首位数字分2种情况讨论，首位数字为5时，首位数字为4时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；分两种情况讨论：首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位
6、置上，有A43=24种情况，此时有324=72个，首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有224=48个，共有72+48=120个故选B考点：排列、组合及简单计数问题8.在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为，的名火炬手若从中任选人，则选出的火炬手的编号能组成为公差的等差数列的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】分析：利用组合数列总事件数，根据等差数列通项公式确定所求事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.详解：共有种事件数，选出火炬手编号为，由、，可得种，由、，可得种，由、，可得种，选点睛：古典概
7、型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.第卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.已知随机变量服从二项分布，若，则_.【答案】【解析】【分析】根据二项分布的期望和方差公式得出关于和的方程组，即可解出的值.【详解】由二项分布的期望和方差公式得，解得.故答案为：.【点睛】本题考查根据二项分布的期望和方差求
8、参数，考查公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题.10.已知随机变量X服从正态分布N(0，2)且P(2X0)0.4，则P(X2)_.【答案】0.1【解析】随机变量服从正态分布，且，故答案为.11.已知关于x的二项式的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为 【答案】【解析】由已知，所以，展开式的通项为，令，得，由得.考点：二项式定理及二项式系数的性质.12.若，则_.【答案】【解析】【分析】根据二项式定理知、为正数，、为负数，然后令可得出所求代数式的值.【详解】展开式通项为，当为偶数时，即、为正数；当为奇数时，即、为负数.故答案为：.【点睛】本题考查利用赋值法求各项系数绝对值的
9、和差计算，解题时要结合二项展开式通项确定各系数的正负，便于去绝对值，考查计算能力，属于中等题.13.抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A：“甲骰子的点数大于4”；事件B：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则的值等于_.【答案】【解析】【分析】先求出甲骰子点数大于4的事件个数，再求出甲、乙两骰子点数和为7时，甲骰子点数大于4的事件个数，结合条件概率的公式，即可求解【详解】由题意得，为抛掷甲，乙两颗骰子，甲骰子的点数大于4时甲、乙两骰子的点数之和等于7的概率因为抛掷甲、乙两骰子，甲骰子点数大于4的基本事件有个，甲骰子点数大于4时，甲、乙两骰子的点数之和等于7，基本事件有（5，2），（6，1）共两个，所以，
10、故答案为【点睛】本题考查了条件概率的求法，属基础题14.一个非负整数的有序数对，如果在做与的加法时不用进位，则称为“中国梦数对”，称为“中国梦数对”的和，则和为的“中国梦数对”的个数有_（注：用数字作答）.【答案】【解析】【分析】设，分别列举出满足条件的自然数对、，然后利用分步乘法计数原理可得出结果.【详解】设，则，根据题意得，其中、均为自然数，满足条件的自然数对有：、，共对；满足条件的自然数对只有；满足条件自然数对有：、，共对；满足条件的自然数对有：、，共对.由分步乘法计数原理可知，和为的“中国梦数对”的个数为.故答案为：.【点睛】本题排列组合中的新定义，考查分步乘法计数原理的应用，考查计算
11、能力，属于中等题.三、解答题：共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.将个编号为、的不同小球全部放入个编号为、的个不同盒子中.求：（1）每个盒至少一个球，有多少种不同的放法？（2）恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？（3）每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？（4）把已知中个不同的小球换成四个完全相同的小球（无编号），其余条件不变，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？【答案】（1）（种）；（2）（种）；（3）（种）；（4）（种）.【解析】【分析】（1）根据题意知，每个盒子里有且只有个小球，利用排列数可得出结果；（2）先将个小球分为组，各组的球数
12、分别为、，然后分配给个盒子中的个盒子，利用组合与排列计数原理可得出结果；（3）考查编号为的盒子中放入编号为的小球，列举出此种情况下其它个球均未放入相应编号的盒子里，在此种放法种数上乘以可得结果；（4）空盒编号有种情况，然后将个完全相同的小球放入其它个盒子，没有空盒，利用隔板法求出结果，乘以即得所求放法种数.【详解】（1）根据题意知，每个盒子里有且只有一个小球，所求放法种数（种）；（2）先将个小球分为组，各组的球数分别为、，然后分配给个盒子中的个盒子，由分步乘法计数原理可知，所求的放法种数为（种）；（3）考查编号为的盒子中放入编号为的小球，则其它个球均未放入相应编号的盒子，那么编号为、的盒子中放
13、入的小球编号可以依次为、或、，因此，所求放法种数为（种）；（4）按两步进行，空盒编号有种情况，然后将个完全相同的小球放入其它个盒子，没有空盒，则只需在个完全相同的小球所形成的个空（不包括两端）中插入块板，由分步乘法计数原理可知，所求的放法种数为（种）.【点睛】本题考查计数应用题，涉及分步乘法计数原理、隔板法以及列举法的应用，考查计算能力，属于中等题.16.为了解某班学生喜欢数学是否与性别有关，对本班人进行了问卷调查得到了如下的列联表，已知在全部人中随机抽取人抽到喜欢数学的学生的概率为.喜欢数学不喜欢数学合计男生女生合计（1）请将上面的列联表补充完整（不用写计算过程）；（2）能否在犯错误的概率不
14、超过的前提下认为喜欢数学与性别有关？说明你的理由；（3）现从女生中抽取人进一步调查，设其中喜欢数学的女生人数为，求的分布列与期望.下面的临界表供参考：（参考公式：，其中）【答案】（1）列联表见解析；（2）能，理由见解析；（3）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）由题意可知，全部人中喜欢数学的学生人数为，据此可完善列联表；（2）根据列联表中的数据计算出的观测值，结合临界值表可得出结论；（3）由题意可知，随机变量的可能取值有、，利用超几何分布可得出随机变量的概率分布列，并由此可计算出随机变量的数学期望值.【详解】（1）列联表补充如下： 喜欢数学不喜欢数学合计男生女生合计（2），在犯错误的概率不超
15、过的前提下，认为喜欢数学与性别有关；（3）喜欢数学的女生人数的可能取值为、，其概率分别为，故随机变量的分布列为：的期望值为.【点睛】本题考查利用独立性检验解决实际问题，同时也考查了离散型随机变量分布列及其数学期望的计算，涉及超几何分布的应用，考查计算能力，属于中等题.17.已知二项式的展开式中前三项的系数成等差数列(1)求的值;(2)设.求的值;求的值;求的最大值.【答案】(1)由题设，得， 2分即，解得n8，n1（舍去） 3分(2),令4分在等式的两边取,得6分(3)设第r1项的系数最大，则8分即解得r2或r3 9分所以系数最大值为10分【解析】解:（1）由题设，得， 3分即，解得n8，n1
16、（舍去）4分(2) ,令6分在等式的两边取,得8分设第r1项的系数最大，则10分即解得r2或r3所以系数最大值为12分18.已知数列an的前n项和为Sn，且满足Sn-n=2（an-2），（nN*）（1）证明：数列an-1为等比数列（2）若bn=anlog2（an-1），数列bn的前项和为Tn，求Tn【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】证明数列是等比数列常用的方法是作商法：当时，证=定值.考查分组求和，其中又包含错位相减法及等差数列求和公式法【详解】（1）证明：Sn-n=2（an-2），n2时，Sn-1-（n-1）=2（an-1-2），两式相减an-1=2an-2an-1 ，an=2an
17、-1，an-1=2（an-1-1），（常数），又n=1时，a1-1=2（a1-2）得a1=3，a1-1=2 ，所以数列an-1是以2为首项，2为公比的等比数列（2）由（1），又bn=anlog2（an-1），Tn=b1+b2+b3+bn=（12+222+323+n2n）+（1+2+3+n），设，两式相减，又，【点睛】（1）证明数列是等比数列可以利用作商或者等比中项法；同理证明数列是等差数列一般用做差或者等差中项法（2）错位相减法运算一定要仔细.19.某公司采用招考方式引进人才，规定必须在、三个测试点中任意选取两个进行测试，若在这两个测试点都测试合格，则可参加面试，否则不被录用，已知考生在每个测
18、试点测试结果互不影响，若考生小李和小王一起前来参加招考，小李在测试点、测试合格的概率分别为、，小王在上述三个测试点测试合格的概率都是.（1）问小李选择哪两个测试点测试才能使得可以参加面试的可能性最大？请说明理由；（2）假设小李选择测试点、进行测试，小王选择测试点、进行测试，记为两人在各测试点测试合格的测试点个数之和，求随机变量的分布列及数学期望.【答案】（1）、测试点，理由见解析；（2）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式分别计算出小李选择、或、或、测试点测试合格的概率，比较大小后可得出结论；（2）由题意可知，随机变量可能取值有、，利用独立事件的概率乘法公式计算出随
19、机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的概率分布列，进而可求得随机变量的数学期望的值.【详解】（1）设考生小李在、各测试点测试合格记为事件、，且各个事件相互独立，由题意，若选择在、测试点测试，则参加面试的概率为；若选择在、测试点测试，则参加面试的概率为；若选择在、测试点测试，则参加面试的概率为.因为，所以小李选择在、测试点测试参加面试的可能性最大；（2）记小李在、测试点测试合格记为事件、，记小王在、测试点测试合格记为事件、，则，且的所有可能取值为、.所以，.所以随机变量的分布列为：.【点睛】本题考查利用独立事件的概率乘法公式计算概率，同时也考查了离散型随机变量分布列及其数学期望的计算，考查计
20、算能力，属于中等题.20.已知数列的前n项和，数列满足=(I)求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；()设，数列的前n项和为Tn，求满足的n的最大值.【答案】(I)()【解析】试题分析：（1）由和项求通项，注意分类讨论：当时，即根据等差数列定义可证，并求出通项公式所以（2）因为所以裂项相消法求和得，这是一个递增数列，而因此的最大值为4.试题解析：解：（1）：在中，令可得当时，所以即而即当又所以，数列是首项和公差均为的等差数列于是所以（2）因为所以由得即又单调递减，的最大值为.考点：等差数列定义及通项公式，裂项相消法求和【方法点睛】将数列通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如（其中an是各项均不为零的等差数列，c为常数）的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和（如本例），还有一类隔一项的裂项求和，如（n2）或.