1、第二章 随机变量及其分布2.3 离散型随机变量的均值与方差2.3.1 离散型随机变量的均值第二章 随机变量及其分布考点学习目标核心素养离散型随机变量的均值能记住离散型随机变量的均值的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值数学抽象、数学运算离散型随机变量均值的性质能记住离散型随机变量均值的性质并会应用数学运算第二章 随机变量及其分布考点学习目标核心素养两点分布与二项分布的均值识记两点分布及二项分布的均值并会解决与之有关的应用题数学运算、数学建模均值问题的实际应用会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题数学建模、数学运算问题导学预习教材 P60P63 的内
2、容，并思考下列问题：1什么是离散型随机变量的均值？2如何利用离散型随机变量的分布列求出均值？3离散型随机变量的均值有什么性质？4两点分布、二项分布的均值是什么？1离散型随机变量的均值或数学期望(1)定义：一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn则称_为随机变量 X的均值或数学期望E(X)x1p1x2p2xipixnpn(2)意义：离散型随机变量 X 的均值或数学期望反映了离散型随机变量取值的_(3)性质：如果 X 为离散型随机变量，则 YaXb(其中 a，b 为常数)，则 Y 也是随机变量，且 E(Y)E(aXb)_平均水平aE(X)b名师点拨对离散型随机变
3、量均值的四点说明(1)含义：均值是离散型随机变量的一个重要特征数，反映或刻画的是随机变量取值的平均水平(2)来源：均值不是通过一次或多次试验就可以得到的，而是在大量的重复试验中表现出来的相对稳定的值(3)单位：随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位(4)与平均数的区别：均值是概率意义下的平均值，不同于相应数值的平均数2两点分布、二项分布的均值(1)若随机变量 X 服从两点分布，则 E(X)p(p 为成功概率)(2)若 XB(n，p)，则 E(X)_np判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)随机变量 X 的数学期望 E(X)是个变量，其随 X 的变化而变化()(2)随机变量的均值与样本
4、的平均值相同()(3)若随机变量 X 的数学期望 E(X)2，则 E(2X)4.()已知离散型随机变量 X 的分布列为()X123P35310110则 X 的数学期望 E(X)()A32 B2C52D3解析：选 AE(X)1352 3103 11032.设 X 为随机变量，且 XB(n，13)，若随机变量 X 的数学期望E(X)2，则 P(X2)()A1316B16C 13243D 80243解析：选 D因为 XB(n，13)，所以 E(X)n32，所以 n6，所以 P(X2)C26(13)2234 80243.若随机变量 X 的分布列如表，则 E(5X4)等于()X024P0.30.20.5
5、A16 B11C2.2 D2.3解析：选 A由已知得 E(X)00.320.240.52.4，故E(5X4)5E(X)452.4416.若随机变量 的分布列如表所示，E()1.6，则 ab()0123P0.1ab0.1A0.2 B0.2C0.8 D0.8解析：选 B易知 a，b(0，1)，由 0.1ab0.11，得 ab0.8，又由 E()00.11a2b30.11.6，得 a2b1.3，解得 a0.3，b0.5，则 ab0.2.某商店试销某种商品 20 天，获得如下数据：日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品 3 件，当天
6、营业结束后检查存货，若发现存量少于 2 件，则当天进货补充至 3 件，否则不进货，将频率视为概率(1)求当天商店不进货的概率；(2)记 X 为第二天开始营业时该商品的件数，求 X 的分布列和数学期望求离散型随机变量的均值【解】(1)P(当天商店不进货)P(当天商店销售量为 0 件)P(当天商店销售量为 1 件)120 520 310.(2)由题意知 X 的可能取值为 2，3，P(X2)P(当天商品销售量为 1 件)52014，P(X3)P(当天商品销售量为 0 件)P(当天商品销售量为 2 件)P(当天商品销售量为 3 件)120 920 52034.故 X 的分布列为X23P1434所以 X
7、 的数学期望为 E(X)214334114.求离散型随机变量均值的一般步骤第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值；第二步是“探求概率”，即求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求均值”，利用均值的定义求均值，二项分布 XB(n，p)利用公式(E(X)np)求得 1已知某一随机变量 的分布列如下表所示，若 E()6.3，则 a的值为()a79Pb0.10.4A4 B5C6 D7解析：选 A根据随机变量 的分布列可知 b0.10.41，所以 b0.5.又 E()ab70.190.
8、46.3，所以 a4.2赌博有陷阱某种赌博每局的规则是赌客先在标记有 1，2，3，4，5 的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金(单位：元)；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的 1.4 倍作为其奖金(单位：元)若随机变量 1 和 2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 E(1)E(2)_元解析：赌金的分布列为112345P1515151515所以 E(1)15(12345)3.奖金的分布列为21.42.84.25.6P4C25253C25 3102C25151C25 110所以 E(2)1.4251 3102153 1104 2.8.E(1)E(2)0
9、.2.答案：0.2 已知随机变量 X 的分布列为：X21012P141315m120(1)求 E(X)；(2)若 Y2X3，求 E(Y)离散型随机变量均值的性质【解】(1)由随机变量分布列的性质，得141315m 1201，解得 m16，所以 E(X)(2)14(1)130151162 1201730.(2)法一：由公式 E(aXb)aE(X)b，得E(Y)E(2X3)2E(X)32(1730)36215.法二：由于 Y2X3，所以 Y 的分布列如下：Y75311P14131516120所以 E(Y)(7)14(5)13(3)15(1)161 1206215.变问法本例条件不变，若 aX3，且
10、 E()112，求 a 的值解：E()E(aX3)aE(X)31730a3112，所以 a15.与离散型随机变量性质有关问题的解题思路若给出的随机变量 与 X 的关系为 aXb，a，b 为常数一般思路是先求出 E(X)，再利用公式 E(aXb)aE(X)b 求E()也可以利用 X 的分布列得到 的分布列，关键由 X 的取值计算 的取值，对应的概率相等，再由定义法求得 E()1(2019潍坊高二检测)若 p 为非负实数，随机变量 X 的分布列为X012P12pp12则 E(X)的最大值为()A1 B32 C23 D2解析：选 B由分布列的性质可知 0p12，012p12，则0p12，所以 E(X
11、)p132.2已知随机变量 的分布列为101P1213m若 a3，E()73，则 a()A1 B2C3 D4解析：选 B由分布列的性质得1213m1，所以 m16，所以 E()11201311613，法一：E()E(a3)aE()313a373.所以 a2.法二：因为 a3，所以 的分布列如下：a33a3P121316E()(a3)12313(a3)1673.所以 a2.某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500 元便得到抽奖券一张，每张抽奖券的中奖概率为12，若中奖，商场返还顾客现金 100 元某顾客现购买价格为 2 300 元的台式电脑一台，得到抽奖券四张每次抽奖互不影响(1
12、)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为 X，求随机变量 X 的分布列；(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为 Y(元)，用 X 表示 Y，并求随机变量 Y 的均值.两点分布与二项分布的均值【解】(1)因为每张奖券是否中奖是相互独立的，因此 XB4，12.所以 P(X0)C04124 116，P(X1)C1412414.P(X2)C2412438，P(X3)C3412414，P(X4)C44124 116.所以离散型随机变量 X 的分布列为X01234P116143814116(2)因为 XB4，12，所以 E(X)4122.又由题意可知 Y2 300100X，所以 E(Y)E(2 300100X)
13、2 300100E(X)2 30010022 100(元)即所求随机变量 Y 的均值为 2 100 元(1)如果随机变量 X 服从两点分布，则其期望值 E(X)p(p 为成功概率)(2)如果随机变量 X 服从二项分布，即 XB(n，p)，则 E(X)np.以上两个特例可以作为常用结论，直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程 1随机变量 X 服从两点分布，其分布列如表所示，则 E(X)()X01P15aA45 B12 C25 D15解析：选 A由题意知15a1，所以 a45，E(X)0151aa45.2某广场上有 4 盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是23，出现
14、绿灯的概率都是13.记这 4盏灯中出现红灯的数量为，当这 4 盏装饰灯闪烁一次时：(1)求 2 时的概率；(2)求 的数学期望解：(1)依题意知，2 表示 4 盏装饰灯闪烁一次时，恰好有 2盏灯出现红灯，而每盏灯出现红灯的概率都是23，故 2 时的概率 PC24(23)2(13)2 827.(2)法一：的所有可能取值为 0，1，2，3，4，依题意知，P(k)Ck4(23)k(13)4k(k0，1，2，3，4)所以 的概率分布列为01234P181881248132811681所以 E()0 1811 88122481332814168183.法二：因为 服从二项分布，即 B(4，23)，所以
15、E()42383.某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：均值问题的实际应用以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数(1)求 X 的分布列；(2)若要求 P(Xn)0.5，确定 n 的
16、最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 n19 与 n20 之中选其一，应选用哪个？【解】(1)由柱状图并以频率代替概率可得，1 台机器在三年内需更换的易损零件数为 8，9，10，11 的概率分别为 0.2，0.4，0.2，0.2，从而P(X16)0.20.20.04；P(X17)20.20.40.16；P(X18)20.20.20.40.40.24；P(X19)20.20.220.40.20.24；P(X20)20.20.40.20.20.2；P(X21)20.20.20.08；P(X22)0.20.20.04.所以 X 的分布列为X16171819202122P0.04
17、0.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知 P(X18)0.44，P(X19)0.68，故 n 的最小值为 19.(3)记 Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)当 n19 时，E(Y)192000.68 (19200 500)0.2 (19200 2500)0.08(192003500)0.044 040.当 n20 时，E(Y)202000.88 (20200 500)0.08 (20200 2500)0.044 080.可知当 n19 时所需费用的期望值小于当 n20 时所需费用的期望值，故应选 n19.(1)实际问题中的均值问题均值在实际中有着广
18、泛的应用，如在体育比赛的安排和成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计(2)概率模型的解答步骤审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些；确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值；对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间20，25)，需求量为
19、 300瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 10，15)15，20)20，25)25，30)30，35)35，40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率(1)求六月份这种酸奶一天的需求量 X(单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量 n(单位：瓶)为多少时，Y 的数学期望达到最大值？解：(1)由题意知，X 所有可能取值为 200，300，500，由表格数据知 P(X200)21690 0
20、.2，P(X300)36900.4，P(X500)2574900.4.因此 X 的分布列为X200300500P0.20.40.4(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为 500 瓶，至少为 200瓶，因此只需考虑 200n500.当 300n500 时，若最高气温不低于 25，则 Y6n4n2n；若最高气温位于区间20，25)，则 Y63002(n300)4n1 2002n；若最高气温低于 20，则 Y62002(n200)4n8002n.因此 E(Y)2n0.4(1 2002n)0.4(8002n)0.26400.4n.当 200n3，所以该选手应选择在 A 区投篮按ESC键退出全屏播放本部分内容讲解结束