1、3.3幂函数自主学习 学习目标1掌握幂函数的概念2熟悉1,2,3，1时幂函数yx的图象与性质3能利用幂函数的性质来解决一些实际问题 自学导引1一般地，幂函数的表达式为_；其特征是以幂的_为自变量，_为常数2幂函数的图象及性质在同一坐标系中，幂函数yx，yx2，yx3，yx，yx1的图象如图结合图象，填空(1)所有的幂函数图象都过点_，在(0，)上都有定义(2)若0时，幂函数图象过点_，且在第一象限内_；当01时，图象_(3)若0时，幂函数图象过点_，并且在第一象限内单调_，在第一象限内，当x从趋向于原点时，函数在y轴右方无限地逼近于y轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限逼近x轴(4)当为奇数时，
2、幂函数图象关于_对称；当为偶数时，幂函数图象关于_对称(5)幂函数在第_象限无图象对点讲练知识点一理解幂函数的概念例1 函数f(x)(m2m1)xm2m3是幂函数，且当x(0，)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式规律方法幂函数yx (R)，其中为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数为常数(也可以为0)这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根变式迁移1 已知y(m22m2)x2n3是幂函数，求m，n的值知识点二幂函数单调性的应用例2 比较下列各组数的大小：(1) 3与3.1；(2)8与.规律方法比较大小的题，要综合考虑函数的性质，特别是
3、单调性的应用，更善于运用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的参数变式迁移2 比较下列各组数的大小：(1)与；(2)4.1，(1.9)与3.8.知识点三幂函数性质的综合应用例3 已知幂函数yx3m9 (mN*)的图象关于y轴对称，且在(0，)上函数值随x的增大而减小，求满足(a1)0时为增函数，0时，是增函数；幂函数yxn，当ng(x)；(2)f(x)g(x)；(3)f(x)g(x)10已知幂函数yxm22m3(mZ)在(0，)上是减函数，求其解析式，并讨论此函数的单调性和奇偶性3.3幂函数 答案自学导引1yx底数指数2(1)(1,1)(2)(0,0)，(1,1)递增下凸(3)(1,1)递减(
4、4)原点y轴(5)四对点讲练例1 解根据幂函数定义得m2m11，解得m2或m1，当m2时，f(x)x3在(0，)上是增函数；当m1时，f(x)x3在(0，)上是减函数，不符合要求故f(x)x3.变式迁移1解由题意得，解得，所以m3，n.例2 解(1)函数yx在(0，)上为减函数，又33.1.(2)8，函数yx在(0，)上为增函数，又，则，从而8，11,03.811，(1.9)0，所以(1.9)3.8(4.1).例3 解函数在(0，)上递减，3m90，解得m3，又mN*，m1,2.又函数图象关于y轴对称，3m9为偶数，故m1，有(a1)32a0或0a132a或a1032a，解得a或a1或xg(x)(2)当x1时，f(x)g(x)(3)当1x0或0x1时，f(x)g(x)10解由幂函数的性质，知m22m30，(m1)(m3)0.1m3.又mZ，m0,1,2.当m0或2时，yx3，定义域是(，0)(0，)(x)3x3，yx3是奇函数又30，yx3在(，0)和(0，)上都是减函数当m1时，yx4，定义域为(，0)(0，)(x)4x4，函数yx4是偶函数40，yx4在(0，)上是减函数又yx4是偶函数，yx4在(，0)上是增函数综上，当m0或2时，yx3，此函数是奇函数，且在 (，0)和(0，)上都是减函数；当m1时，yx4，此函数为偶函数，且在(0，)上是减函数，在(，0)上是增函数
