1、第三讲 平面向量与复数一、 向量有关的概念及运算例1、已知向量与的对应关系用表示。（1）证明：对于任意向量及常数m，n恒有成立；（2）设，求向量及的坐标；（3）求使，（p，q为常数）的向量的坐标解析：（1）设，则，故，（2）由已知得=（1，1），=（0，1）（3）设=（x，y），则，y=p，x=2pq，即=（2Pq，p）。例2、已知非零向量与满足= 0且，则ABC为_三角形。解：由= 0，知角A的平分线垂直于BC，故ABC为等腰三角形，即|AB| = |AC|；由，= 600 . 所以ABC为等边三角形。例3、(1)已知, , 与的夹角为1200，求使与的夹角为锐角的实数k的取值范围.(2)
2、已知，且与的夹角为钝角，求实数m的取值范围.解：(1) = k + (k2 + 1)12cos1200 + 4k = k2 + 5k 1 ,依题意，得 k2 + 5k 10，.又当与同向时，仍有0，此时设，显然、不共线，所以，k =, k =, 取k =1.ABCMONE且k1 .例4、如图，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若，则m + n =_.解1：取特殊位置. 设M与B重合，N与C重合，则m=n=1, 所以m+n=2.解2：=，M、O、N三点共线，,m + n = 2.解3：过点B作BEAC, 则，.又，1 m = n 1, m + n
3、= 2 .二、向量与三角结合例5、已知a=（cos，sin）,b=（cos,sin），a与b之间有关系|ka+b|=|akb|，其中k0，（1）用k表示ab;（2）求ab的最小值，并求此时ab的夹角的大小。解 （1）要求用k表示ab,而已知|ka+b|=|akb|，故采用两边平方，得|ka+b|2=(|akb|)2k2a2+b2+2kab=3(a2+k2b22kab)8kab=(3k2)a2+(3k21)b2ab =a=(cos，sin),b=(cos,sin)，a2=1, b2=1,ab =（2）k2+12k，即=ab的最小值为，又ab =| a|b |cos，|a|=|b|=1=11cos
4、。=60,此时a与b的夹角为60。例6、已知向量,且满足,(1) 求证 ; (2)将与的数量积表示为关于的函数;(3)求函数的最小值及取得最小值时向量与向量的夹角.解:(1) , 故 (2) , 故. (3) ,此时当最小值为. ,量与向量的夹角 三、复数例7、已知复数满足为虚数单位），求一个以为根的实系数一元二次方程.解法一 ，. 若实系数一元二次方程有虚根，则必有共轭虚根. ， 所求的一个一元二次方程可以是. 解法二 设 ， 得 ， 以下解法同解法一. 例8、设zC，求满足z+R且|z2|=2的复数z.分析：设z=a+bi(a、bR)，代入条件，把复数问题转化为实数问题，易得a、b的两个方程解法一：设z=a+bi，则z+=a+bi+=a+bi+=a+(b)iRb=b=0或a2+b2=1当b=0时，z=a，|a2|=2 a=0或4a=0不合题意舍去，z=4当b0时，a2+b2=1又|z2|=2，(a2)2+b2=4解得a=，b=，z=i综上，z=4或z=i解法二：z+R，z+ = +(z)=0，(z)=0z=或|z|=1，下同解法一
