1、第4课时余弦定理(2) 知识点一 利用余弦定理判定三角形的形状1若1cosA，则三角形的形状为()A直角三角形B等腰三角形或直角三角形C正三角形D等腰直角三角形答案A解析由1cosA，得cosA，根据余弦定理，得，则c2a2b2所以三角形为直角三角形故选A2在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2c2a2bc若sinBsinCsin2A，则ABC的形状是()A钝角三角形 B直角三角形C等边三角形 D等腰直角三角形答案C解析由b2c2a2bc及余弦定理，知A，又由sinBsinCsin2A及正弦定理，得bca2b2c2bc，所以(bc)20，即bc，所以ABC为有一个内角为的等
2、腰三角形，即为等边三角形故选C3在ABC中，B60，b2ac，则此三角形一定是()A直角三角形 B等边三角形C等腰直角三角形 D钝角三角形答案B解析由余弦定理，得b2a2c2ac，又b2ac，a2c22ac0，即(ac)20，acB60，AC60故ABC是等边三角形4在ABC中，acos(BC)bcos(AC)ccos(AB)，试判断ABC的形状解ABC，原式可化为acosAbcosBccosC由余弦定理可知：cosA，cosB，cosC，abc，整理，得(a2b2)2c4，即a2b2c2，a2b2c2或b2a2c2，故ABC一定为直角三角形知识点二 正弦定理与余弦定理的综合应用5在ABC中，
3、ABC，AB，BC3，则sinBAC()A B C D答案C解析由余弦定理，得AC2AB2BC22ABBCcos29235AC由正弦定理，得，sinA6在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bcosAccosAacosC(1)求角A的大小；(2)若a，bc4，求bc的值解(1)根据正弦定理，得2bcosAccosAacosC2cosAsinBcosAsinCsinAcosCsin(AC)sinB，sinB0，cosA，0A180，A60(2)由余弦定理，得7a2b2c22bccos60b2c2bc(bc)23bc，把bc4代入，得bc3，故bc3知识点三 余弦定理与其他知识的综合
4、应用7在ABC中，已知AB3，AC2，BC，则等于()A B C D答案D解析|cos，由向量模的定义和余弦定理可得出|3，|2，cos，故328在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A为锐角，lg blg lg sinA1g ，则ABC为()A等腰三角形 B等边三角形C直角三角形 D等腰直角三角形答案D解析因为lg blg lg sinAlg ，所以lg lg sinAlg ，所以cb，且sinA因为A为锐角，所以A，所以a2b2c22bccosAb22b22bbb2，所以ab，所以B，所以C，故ABC为等腰直角三角形故选D9已知向量m(cosx，sinx)，n(cosx，2c
5、osxsinx)，0，函数f(x)mn|m|，且函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为(1)求的值；(2)在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，f(A)2，c2，SABC，求a的值解(1)f(x)mn|m|cos2x2sinxcosxsin2x1cos2xsin2x12sin2x1由题意，知T，又T，1(2)f(x)2sin2x1，f(A)2sin2A12，sin2A0A，2A22A，ASABCbcsinA，b1由余弦定理，得a2b2c22bccosA142123a易错点 忽视构成三角形的条件10已知钝角三角形的三边ak，bk2，ck4，求k的取值范围易错分析易忽略隐含条件：k
6、，k2，k4构成一个三角形，则k(k2)k4即k2而不是k0解cba，且ABC为钝角三角形，C为钝角由余弦定理，得cosC0k24k120，解得2k6由两边之和大于第三边，得k(k2)k4，k2，综上所述，k的取值范围为2k6 一、选择题1在ABC中，sin2Asin2Csin2BsinBsinC，则A等于()A30 B60 C90 D120答案D解析根据正弦定理的推广2R(R为ABC的外接圆的半径)，得a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，从而原等式等价于a2c2b2bc，结合cosA，得cosA，由0A0)a13t，b11t，c5ta为最大边由余弦定理，得cosA0能做出一个钝角
7、三角形故选D5已知ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c2b2ab，C，则的值为()A B1 C2 D3答案C解析由余弦定理，得c2b2a22abcosCa2abab，所以a2b，所以由正弦定理，得2二、填空题6在ABC中，设三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a1，b，A30，则c_答案1或2解析已知a1，b，A30，由余弦定理a2b2c22bccosA，得13c23c，即c23c20，因式分解，得(c1)(c2)0，解得c1或c2，经检验都符合题意，所以c的值为1或27在ABC中，边a，b的长是方程x25x20的两个根，C60，则边c_答案解析由题意，得ab5，a
8、b2由余弦定理，得c2a2b22abcosCa2b2ab(ab)23ab523219，c8在ABC中，AB2，AC，BC1，AD为边BC上的高，则AD的长是_答案解析cosC，sinCADACsinC三、解答题9在ABC中，a2b2mc20(m为常数)，且，求m的值解由余弦定理c2a2b22abcosC，得a2b2c22abcosC，由a2b2mc20，得c22abcosCmc2，即2abcosC(m1)c2结合正弦定理，得2sinAsinBcosC(m1)sin2C，又由，得，即sinAsinBcosCsin2C，得m12m310在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2ac且cosB(1)求的值；(2)设，求ac的值解(1)由cosB，得sinB由b2ac及正弦定理得sin2BsinAsinC于是(2)由得cacosB由cosB，可得ca2，即b22由余弦定理，得b2a2c22accosB，得a2c2b22accosB5，(ac)2a2c22ac549，ac3