1、高考数学模拟考试卷（十四）一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）已知集合，集合，则ABCD2（5分）在复平面内，复数为虚数单位），则对应的点的坐标为ABC，D，3（5分）函数的图象大致为ABCD4（5分）已知，则ABCD5（5分）某学校高一年级星期五随机安排6节课，上午安排数学2节，语文和音乐各1节，下午安排英语、体育各1节，则2节数学恰好相邻的概率为ABCD6（5分）牙雕套球又称“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，工艺要求极高明代曹昭在格古要论珍奇鬼工毬中写道：“尝有象牙圆毬儿一箇，中直通一窍，内车数重，皆可转
2、动，故谓之鬼工毬”现有某“鬼工球”，由外及里是两层表面积分别为和的同心球（球壁的厚度忽略不计），在外球表面上有一点，在内球表面上有一点，连接线段若线段不穿过小球内部，则线段长度的最大值是ABCD7（5分）已知，分别为双曲线的左、右焦点，为坐标原点，在双曲线上存在点，使得设的面积为若，则该双曲线的离心率为ABCD8（5分）已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围是ABCD二、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。9（5分）下列不等式中成立的是ABCD10（5分）如图所示，点是函数图象的
3、最高点，、是图象与轴的交点，若，且，则ABCD11（5分）嫦娥奔月是中华民族的千年梦想.2020年12月我国嫦娥五号“探月工程”首次实现从月球无人采样返回某校航天兴趣小组利用计算机模拟“探月工程”，如图，飞行器在环月椭圆轨道近月点制动（俗称“踩刹车”）后，以vkm/s的速度进入距离月球表面nkm的环月圆形轨道（月球的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为ts，已知远月点到月球表面的最近距离为mkm，则（）A圆形轨道的周长为（2vt）kmB月球半径为C近月点与远月点的距离为D椭圆轨道的离心率为12（5分）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对
4、棱分别相等的四面体关于“等腰四面体”，以下结论正确的是A“等腰四面体”每个顶点出发的三条棱一定可以构成三角形B“等腰四面体”的四个面均为全等的锐角三角形C三组对棱长度分别为5，6，7的“等腰四面体“的体积为D三组对棱长度分别为，的“等腰四面体“的外接球直径为三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）的展开式中，第5项为常数项，则14（5分）已知向量，的夹角为，则15（5分）双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点在第二象限，在第一象限），则双曲线的离心率为16（5分）设数列的前项和为，写出一个同时满足条件的等差数列的通项公式存在最小值且最小值不
5、等于；不存在正整数，使得且四、 解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分）已知等差数列的前项和为，（1）求数列的通项公式；（2）记为在区间，中正整数的个数，求数列的前项和18（12分）已知函数（1）求函数的单调递减区间；（2）在锐角中，角，所对的边分别为，若（C），为的中点，求的最大值19（12分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，已知，（1）若为中点，求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值20（12分）张先生到一家公司参加面试，面试的规则是：面试官最多向他提出五个问题，只要正确回答出三个问题即终止提问，通过面试根据经验，张先生能够正确回答
6、面试官提出的任何一个问题的概率为，假设回答各个问题正确与否互不干扰（1）求张先生通过面试的概率；（2）记本次面试张先生回答问题的个数为，求的分布列及数学期望21（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上的一动点，且的最小值是1，当垂直长轴时，（1）求椭圆的方程；（2）是否存在斜率为的直线与以线段为直径的圆相交于、两点，与椭圆相交于、两点，且？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由22（12分）设函数，其中为常数，且（）讨论函数的单调性；（）设函数，是函数的两个极值点，证明：高三模拟考试卷（十四）答案1解：由，得，则，由，得，则，故选：2解：因为，所以，对应的点故选：3解：函数的定义域
7、为，故选项错误；当时，（1），故选项错误；当时，则，故选项错误综上，选项符合题意故选：4解：因为，所以，则故选：5解：某学校高一年级星期五随机安排6节课，上午安排数学2节，语文和音乐各1节，下午安排英语、体育各1节，基本事件总数，其中2节数学恰好相邻包含的基本事件个数，则2节数学恰好相邻的概率为故选：6解：过球心作截面圆如图，外层与内层的表面积分别为和，大球与小球的半径分别为5与4，则的最大值为故选：7解：由可得，设，由可得：，所以，又因为，即，所以，可得离心率，故选：8解：当时，当时，单调递减，当时，单调递增，作出的图象如图：令，则函数恰有5个零点，即方程恰有5个根，即有两个不等实根，且一个
8、根属于，一个根属于，内令，则，解得实数的取值范围是故选：9解：函数，在上单调递增，故错误；函数，在上单调递减，函数，在上单调递增，故正确；函数单调递减，故正确；，故错误，故选：10解：,是等腰直角三角形，,的周期为，且，又,故选：11解：由题，以vkm/s的速度进入距离月球表面nkm的环月圆形轨道，环绕周期为ts，则可得环绕的圆形轨道周长为vtkm，半径为km，故A错误；则月球半径为（）km，故B正确；则近月点与远月点的距离为（m+n）km，故C正确；设椭圆的方程为（ab0），则m+Ra+c，n+Rac，解得2am+n+2R，2cmn所以椭圆的离心率为e，故D错误，故选：BC12解：如图，将“
9、等腰四面体”补成一个长方体，设此“等腰四面体”的对棱棱长分别为，与之对应的长方体的长宽高分别为，则，得，结合图形，容易判断出选项都是正确的；对于，由，得，因为“等腰四面体”的体积是对应长方体的体积减去四个小三棱锥的体积，所以“等腰四面体”的体积为，故选项正确；对于，三组对棱长度分别为，的“等腰四面体”的外接球直径为，故选项错误故选：13解：二项式的展开式的第5项为，令，解得，故答案为：614解：因为向量，的夹角为，所以，所以故答案为：15解：如图，由，可得，则在以为圆心，以为半径的圆上，联立，解，设，则，又，解得，代入，得，即，双曲线的离心率为故答案为：416解：因为等差数列的前项和为，其对应
10、图像为开口向上的抛物线，对称轴为，若存在最小值且最小值不等于，则，且，整理得，不存在正整数，使得且，且存在最小值且最小值不等于，则连续两项取得最小值，令，即，整理得，所以，令，则有，令，则为一个符合题意的通项公式故答案为：17解：（1）设等差数列的公差为，由，可得，解得，则；（2）为在区间，中正整数的个数由，则，可得正整数，即，同理可得，即，所以，则数列的前项和18解：，（1）由，得：，故递减区间，（2）由（C），得，锐角中，为锐角，所以，所以，即，由余弦定理得，又，故有：，由，（当时取等号）即：的最大值为6所以：的最大值为19（1）证明：设交于，因为为正方形，所以为中点，连接，因为为中点，所
11、以，因为平面，平面，所以平面（2）解：因为平面，平面，所以，又底面为正方形，所以，又因为，所以平面，又平面，所以平面平面，过作于，连接，又因为平面平面，所以平面，所以，所以为直线与平面所成的角，其正弦值为直线与平面所成角的正弦值为20解：（1）记张先生第次答对面试官提出的问题为事件，2，3，4，则，张先生前三个问题均回答正确为事件，前三个问题回答正确两个且第四个又回答正确为事件前四个问题回答正确两个且第五个又回答正确为事件，张先生通过面试为事件，则根据题意，得，因为事件，互斥，所以，即张先生能够通过面试的概率为（2）根据题意，4，5表明前面三个问题均回答错误（淘汰）或均回答正确（通过），所以；
12、表明前面三个问题中有两个回答错误且第四个问题又回答错误（淘汰）或者前面三个问题中有两个回答正确且第四个问题回答正确（通过），所以；表明前面四个问题中有两个回答错误，两个回答正确，所以所以的分布列为：345故21解：（1）由题意，点在椭圆上的一个动点，且的最小值为1，得，因为当垂直长轴时，所以，即，又由，解得，所以椭圆的标准方程为（2）假设存在斜率为的直线，设为，由（1）知，所以以线段为直径的圆为，由题意，圆心到直线的距离，得，所以，联立，得，由题意，解得，又，所以，设，则，所以，若，则，所以，解得，或，又，所以，即，故存在符合条件的直线，其方程为或22解：（）函数的定义域为，令，当时，在上单调递增，当时，由解得，所以，所以当时，单调递增，当，时，单调递减，当，时，单调递增，综上所述，当时，在上单调递增，在，上单调递减，在，上单调递增，当时，在上单调递增（）由（）知函数的两个极值点为，则，所以，所以，记（a），（a），因为，所以，所以（a），（a）在上单调递增，所以（a），即，所以