1、第七章 万有引力与宇宙航行一、万有引力定律的理解和计算【典例1】如图所示为一质量为M的球形物体，密度均匀，半径为R，在距球心为2R处有一质量为m的质点，若将球体挖去一个半径为的小球(两球心和质点在同一直线上，且挖去的球的球心在原来球心和质点连线之间，两球表面相切)，则：(1)球体挖去部分的质量是多大？(2)剩余部分对质点的万有引力的大小是多少？【解析】(1)根据m=V=r3知，挖去部分的半径是球半径的一半，则质量是球体质量的，所以挖去部分的质量M=M。(2)没挖之前，球体对m的万有引力F1=G，挖去部分对m的万有引力F2=G=，则剩余部分对质点的引力大小F=F1-F2=答案：(1)M(2)【方
2、法技巧】1.万有引力定律应用技巧：(1)万有引力定律公式只适用于计算质点间的相互作用，故求一般物体间的万有引力时，应把物体进行分割，使之能视为质点后再用F=G求质点间的各个作用力，最后求其合力。(2)对于两个质量分布均匀的球体间的相互作用，可用万有引力定律的公式来计算，式中的r是两个球体球心间的距离；一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也可用公式F=G计算，式中r是球体球心到质点的距离。(3)对于一般情况物体间的万有引力中学阶段无法求解，但某些特殊情况下我们应用“补偿法”可以求出其万有引力的大小。2.万有引力和重力的比较：一般认为万有引力等于重力，即mg=，重力加速度g=。在地球表面一般近似
3、认为mg=，若考虑地球自转，则万有引力的一个分力是重力，另外一个分力是提供圆周运动的向心力。在赤道地区，由于两个分力方向一致，所以有=mg+mR，其中周期T为地球自转周期。不考虑地球自转，在地球表面附近的重力加速度g：mg=G，得g=。在地球上空距离地心r=R+h处的重力加速度为g，mg=，得g=，所以=。【素养训练】1.(多选)在讨论地球潮汐成因时,地球绕太阳运行的轨道与月球绕地球运行的轨道均可视为圆轨道。已知太阳质量约为月球质量的2.7107倍,地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍。关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力,下列说法正确的是()A.太阳引力远大于月
4、球引力B.太阳引力与月球引力相差不大C.月球对不同区域海水的引力大小相等D.月球对不同区域海水的引力大小有差异【解析】选A、D。根据F=G,可得=,代入数据可知,太阳对地球上相同质量海水的引力远大于月球对地球上相同质量海水的引力,则A正确,B错误;由于月心到不同区域海水的距离不同,所以引力大小有差异,C错误,D正确。2.假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为 ()A.1- B.1+C.()2D.()2【解析】选A。如图所示，根据题意，地面与矿井底部之间的环形部分对处于矿井底部的物体引力为零。设
5、地面处的重力加速度为g，地球质量为M，地球表面的物体m受到的重力近似等于万有引力，故mg=G；设矿井底部处的重力加速度为g，等效“地球”的质量为M，其半径r=R-d，则矿井底部处的物体m受到的重力mg=G，又M=V=R3，M=V=(R-d)3，联立解得=1-，A对。3.如图所示，一个质量为M的匀质实心球，半径为2R，如果从球的正中心挖去一个半径为R的球，放在距离为d的地方，求两球之间的万有引力是多大(引力常量为G)。【解析】根据割补法可得左侧球充满时两球间万有引力F=G半径为R的球体对m有F1=被挖去的球体质量m=。则被挖去后两球之间的引力F2=F-F1=。答案：二、天体质量和密度的计算【典例
6、2】(多选)宇航员抵达一半径为R的星球后，做了如下的实验：取一根细绳穿过光滑的细直管，细绳的一端拴一质量为m的砝码，另一端连接在一固定的拉力传感器上，手捏细直管抡动砝码，使它在竖直平面内做圆周运动。若该星球表面没有空气，不计阻力，停止抡动细直管，砝码可继续在同一竖直平面内做完整的圆周运动，如图所示，此时拉力传感器显示砝码运动到最低点与最高点两位置时读数差的绝对值为F。已知万有引力常量为G，根据题中提供的条件和测量结果，可知()A.该星球表面的重力加速度为B.该星球表面的重力加速度为C.该星球的质量为D.该星球的质量为【解析】选B、C。设砝码在最高点的速率为v1，受到的弹力为F1，在最低点的速率
7、为v2，受到的弹力为F2，则有F1+mg=m，F2-mg=m砝码由最高点到最低点，由机械能守恒定律得：mg2R+m=m拉力传感器读数差为F=F2-F1=6mg故星球表面的重力加速度为g=，A错误，B正确；在星球表面附近有：G=mg，则M=，故C正确，D错误。【方法技巧】估算中心天体的质量和密度的两条思路1.测出中心天体表面的重力加速度g，由G=mg求出M，进而求得=。2.利用环绕天体的轨道半径r、周期T，由G=mr可得出M=。若环绕天体绕中心天体表面做匀速圆周运动时，轨道半径r=R，则=。【素养训练】1.“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km的圆形轨道上运行，运
8、行周期为127分钟。已知引力常量G=6.6710-11 Nm2/kg2，月球半径约为1.74103 km。利用以上数据估算月球的质量约为()A.8.11010 kgB.7.41013 kgC.5.41019 kg D.7.41022 kg【解析】选D。对“嫦娥一号”探月卫星，由于万有引力提供其做圆周运动的向心力，则G=m(R+h)，整理得：M=(R+h)3，代入数据可得M7.41022 kg，则D正确。2.(多选)通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量。假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量。这两个物理量可以是()A.卫星的速度和角速度
9、B.卫星的质量和轨道半径C.卫星的质量和角速度D.卫星的运行周期和轨道半径【解析】选A、D。根据线速度和角速度可以求出半径r=，根据万有引力提供向心力，则有G=m，整理可得M=，故选项A正确；由于卫星的质量m可约掉，故选项B、C错误；若知道卫星的运行周期和轨道半径，则G=m()2r，整理得M=，故选项D正确。3.宇航员在地球上的水平地面将一小球水平抛出，使小球产生一定的水平位移，当他登陆一半径为地球半径2倍的星球后，站在该星球水平地面上以和在地球完全相同的方式水平抛出小球，测得小球的水平位移大约是在地球上平抛时的4倍，由此宇航员估算该星球的质量M星约为(式中M为地球的质量)()A.M星=MB.
10、M星=2MC.M星=MD.M星=4M【解析】选C。根据平抛规律可计算星球表面加速度，竖直方向h=gt2，水平方向x=vt，可得g星 =g地，根据星球表面万有引力公式G=mg星，R星=2R地，可得M星=，C正确。三、天体运动与人造卫星【典例3】如图，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是 ()A.甲的向心加速度比乙的小B.甲的运行周期比乙的小C.甲的角速度比乙的大D.甲的线速度比乙的大【解析】选A。卫星绕行星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，G=ma=mr()2=m=mr2，解得a=，T=2，v=，=，由此可知，在半径一定时，中心天体质量越大，
11、卫星的向心加速度、线速度、角速度越大，周期越小，因此A项正确，B、C、D项错误。【方法技巧】1.卫星的各物理量随轨道半径变化的规律：2.卫星变轨问题分析：两类变轨离心运动近心运动变轨起因卫星速度突然增大卫星速度突然减小受力分析Gm变轨结果变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨道上运动变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨道上运动应用卫星的发射和回收3.宇宙多星模型的规律：(1)“双星”模型。两颗行星做匀速圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力提供的，故两行星做匀速圆周运动的向心力大小相等。两颗行星均绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，因此它们的运行周期和角速度是相等的。两颗行星做匀速圆周运动的半径r1和
12、r2与两行星间距L的大小关系：r1+r2=L。(2)“三星”模型。如图所示，三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位置不动，另外两颗行星围绕它做圆周运动。这三颗行星始终位于同一直线上，中心行星受力平衡。运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力：+=ma两行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。如图所示，三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做圆周运动。每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供。2cos30=ma其中L=2rcos30。三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。【素养训练】1.(多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的
13、三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，万有引力常量为G，则()A.每颗星做圆周运动的线速度为B.每颗星做圆周运动的角速度为C.每颗星做圆周运动的周期为2D.每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关【解析】选A、B、C。由题图可知，每颗星做匀速圆周运动的半径r=R。由牛顿第二定律得：2cos30=m=m2r=mr=ma，可解得v=，=，T=2，a=，故A、B、C均正确，D错误。2.近年来，人类发射的多枚火星探测器已经相继在火星上着陆，正在进行着激动人心的科学探究
14、，为我们将来登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础。如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该运动的周期为T，则火星的平均密度的表达式为(k为某个常数)()A.=kTB.=C.=kT2D.=【解析】选D。火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动时，G=mR，又M=R3，可得=，故只有D正确。【补偿训练】1.已知一质量为m的物体静止在北极与赤道对地面的压力差为N，假设地球是质量分布均匀的球体，半径为R。则地球的自转周期为()A.T=2B.T=2C.T=2D.T=2【解析】选A。在北极，物体所受的万有引力F与支持力N大小相等，在赤道处有F-N=N =mR()2，解得T=2，A正确。2.为研究太阳系内行星的运动，需要知道太阳的质量，已知地球半径为R，地球质量为m，太阳与地球中心间距为r，地球表面的重力加速度为g，地球绕太阳公转的周期为T，则太阳的质量为()A.B.C.D.【解析】选D。根据万有引力定律得：G=mr，根据地球表面的万有引力等于重力得：对地球表面物体m有G=mg，两式联立得M=。