1、江苏省苏州市2021届高三苏州八校联盟第一次适应性检测数学试题202010一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1已知集合A，B，若1AB，则A BA1，2，3 B1，2，3，4 C0，1，2 D0，1，2，32命题“(0，1)，”的否定是A(0，1)， B(0，1)，C(0，1)， D(0，1)，3的部分图象大致是4函数在x1处的切线方程为A B C D5在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cos2B2sinAsinC1，则B的 最大值为 A B C D6如图直角坐标系中，角(
2、0)、角()的终边分别交单位圆于A，B两点，若B点的纵坐标为，且满足SAOB，则的值为 A B C D7已知a0，b0，则 A B C D 第11题 第6题8函数的值域为 A5，10 B，10 C7，10 D7，二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9下面命题正确的是A“a1”是“”的充分不必要条件B在ABC中，“sinAcosAsinBcosB”是“AB”的充要条件C设x，yR，则“x2且y2”是“x2y24”的必要而不充分条件D设a，bR，则“a0”是“ab0”的必要不充分条件10已知函数
3、，是的导函数，则下列结论中正确的是A函数的值域与的值域不相同 B把函数的图象向右平移个单位长度，就可以得到函数的图象 C函数和在区间(，)上都是增函数D若是函数的极值点，则是函数的零点11设a0，b0，称为a，b的调和平均数，称为a，b的加权平均数如图，C为线段AB上的点，且ACa，CBb，O为AB中点，以AB为直径作半圆，过点 C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E，取弧 AB的中点F，连接FC，则AOD的长度是a，b的几何平均数 BDE的长度是a，b的调和平均数CCD的长度是a，b的算术平均数 DFC的长度是a，b的加权平均数12关于函数，下列判断正确
4、的是Ax2是的极大值点B函数有且只有1个零点C存在正实数k，使得成立 D对任意两个正实数，且，若，则三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分请把答案填写在答题卡相应位置上）13若关于x的不等式axb0的解集是(1，)，则关于x的不等式的解集是 14已知函数，则 ；若实数a满足，则a的取值范围是 15如图，在P地正西方向8km的A处和正东方向1km的B处各有一条正北方向的公路 AC和BD，现计划在AC和BD路边各修建一个物流中心E和F，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE和PF，设EPA()，为了节省建设成本，要使得 PEPF的值最小，则当PEPF的值最小时，AE km 第1
5、5题16已知，(，)，且，则的最大值为 四、解答题（本大题共6小题，共计70分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分10分）（1）已知，求的值；（2）求值：18（本小题满分12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c2有以下3个条件：2ccosAb；2ba2ccosA；ab2c请在以上3个条件中选择一个，求ABC面积的最大值注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分19（本小题满分12分）如图，A、B是一矩形OEFG边界上不同的两点，且AOB45，OE1，EF，设AOE（1）写出AOB的面积关于的函数关系式；（2）求（1）中函数的值
6、域20（本小题满分12分）对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”（1）已知二次函数(aR)，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）若为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围21（本小题满分12分）在非直角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（1）若ac2b，求角B的最大值；（2）若acmb(m1)（i）证明：；（可能运用的公式有）（ii）是否存在函数，使得对于一切满足条件的m，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明之；若不存在，请给出一个理由22（本小题满分12分）已知函数，其中e2.71828为自然对数的底数（1）设，恒成立，
7、求a的最大值；（2）设a0，讨论函数在0，上的零点个数（参考数据：ln20.69，ln31.10）江苏省苏州市2021届高三苏州八校联盟第一次适应性检测数学试题202010一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1已知集合A，B，若1AB，则A BA1，2，3 B1，2，3，4 C0，1，2 D0，1，2，3答案：D解析：若1AB，B1，3，又A0，1，2，AB0，1，2，3，故选D2命题“(0，1)，”的否定是A(0，1)， B(0，1)，C(0，1)， D(0，1)，答案：B解析：全称量词命题
8、的否定，首先全称量词变存在量词，同时否定结论，故选B3的部分图象大致是答案：A解析：首先可判断函数是奇函数，其次可判断x0，当x0时，0，综上，选A4函数在x1处的切线方程为A B C D答案：C解析：设切线斜率为k，首先求得切点是(1，2)，故k4，根据点斜式得，y24(x1)，即，故选C5在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cos2B2sinAsinC1，则B的 最大值为 A B C D答案：C解析：由cos2B2sinAsinC1，得sinAsinCsin2B，即acb2， cosB，则B的最大值为，故选C6如图直角坐标系中，角(0)、角()的终边分别交单位圆于A，B两点
9、，若B点的纵坐标为，且满足SAOB，则的值为 A B C D答案：B解析：，且，故，又0，0，即AOB(0，)，根据SAOB，得sinAOB，故选B7已知a0，b0，则 A B C D答案：C解析：a0，b0，故0a1，0b1，故，故选C8函数的值域为 A5，10 B，10 C7，10 D7，答案：D解析：， ，01，故4950，又0，7，故选D二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9下面命题正确的是A“a1”是“”的充分不必要条件B在ABC中，“sinAcosAsinBcosB”是“AB”的
10、充要条件C设x，yR，则“x2且y2”是“x2y24”的必要而不充分条件D设a，bR，则“a0”是“ab0”的必要不充分条件答案：AD解析：选项A，a1，故A正确； 选项B，sinAcosAsinBcosBAB或AB，故B错误； 选项C，“x2且y2”是“x2y24”的充分不必要条件，故C错误； 选项D，a0时，ab0不一定成立，而ab0，则a0一定成立，故D正确 综上，选AD10已知函数，是的导函数，则下列结论中正确的是A函数的值域与的值域不相同 B把函数的图象向右平移个单位长度，就可以得到函数的图象 C函数和在区间(，)上都是增函数D若是函数的极值点，则是函数的零点答案：CD解析：，所以函
11、数的值域与的值域相同，A错误，把函数的图象向右平移个单位长度，得到，并不是函数的图象，故B错误； 选项C，D都正确，故选CD11设a0，b0，称为a，b的调和平均数，称为a，b的加权平均数如图，C为线段AB上的点，且ACa，CBb，O为AB中点，以AB为直径作半圆，过点 C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E，取弧 AB的中点F，连接FC，则 AOD的长度是a，b的几何平均数 BDE的长度是a，b的调和平均数CCD的长度是a，b的算术平均数 DFC的长度是a，b的加权平均数答案：BD解析：OD的长度是a，b的算术平均数，CD的长度是a，b的算术平均数，DE
12、的长度是a，b的调和平均数，FC的长度是a，b的加权平均数，故选BD12关于函数，下列判断正确的是Ax2是的极大值点B函数有且只有1个零点C存在正实数k，使得成立 D对任意两个正实数，且，若，则答案：BD解析：，选项A，x2是的极小值点，故A错误；选项B，y在(0，)上单调递减，当x1时，y0，当x2时，y0，故函数有且只有1个零点，B正确；选项C，由，当，知C错误；选项D，欲证，则证，即证，显然成立，故D正确，故选BD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分请把答案填写在答题卡相应位置上）13若关于x的不等式axb0的解集是(1，)，则关于x的不等式的解集是 答案：(1，2)解析：
13、不等式axb0的解集是(1，)， a0，1x2，解集为(1，2)14已知函数，则 ；若实数a满足，则a的取值范围是 答案：2；(，1解析：，解得a115如图，在P地正西方向8km的A处和正东方向1km的B处各有一条正北方向的公路 AC和BD，现计划在AC和BD路边各修建一个物流中心E和F，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE和PF，设EPA()，为了节省建设成本，要使得 PEPF的值最小，则当PEPF的值最小时，AE km 答案：4解析：由PEPF，由权方和知， 故AE8tan416已知，(，)，且，则的最大值为 答案：4解析：由已知齐次化得， 故四、解答题（本大题共6小题，共计70
14、分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分10分）（1）已知，求的值；（2）求值：解：（1）由可得：且， 所以， 即.（2） 因为18（本小题满分12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c2有以下3个条件：2ccosAb；2ba2ccosA；ab2c请在以上3个条件中选择一个，求ABC面积的最大值注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分解：若选择 由正弦定理可将化为： 又，所以 所以即， 所以（当时取到等号） 所以面积的最大值为2.若选择由正弦定理可将化为： 又，所以所以即，又，又由余弦定理可得：（当且仅当时取等号） 所以面积的最
15、大值为. 若选择因为，所以（当且仅当时取等号）又由余弦定理得：（当且仅当时取等号）（当且仅当时取等号） 所以面积的最大值为.19（本小题满分12分）如图，A、B是一矩形OEFG边界上不同的两点，且AOB45，OE1，EF，设AOE（1）写出AOB的面积关于的函数关系式；（2）求（1）中函数的值域解：（1）OE=1，EF=EOF=60当，15时，AOB的两顶点A、B在E、F上，且AE=tan ,BE=tan(45+ )f()=SAOB=tan(45+ )tan =当（15,45时，A点在EF上，B点在FG上，且OA=，OB=SAOB=OAOBsin45=sin45=综上得：f()= （2）由（1
16、）得：当0，时f()= ,1且当=0时，f()min=；=时，f()max=1；当时,2 ，f（）=,且当=时，f() min=；当=时，f() max=所以f() ,20（本小题满分12分）对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”（1）已知二次函数(aR)，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）若为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围解：（1）当时，方程即有解，所以为“局部奇函数” （2）当时，可化为设，则， 从而在有解即可保证为“局部奇函数” 令，1 当，在有解，由，即，解得； 2 当时，在有解等价于解得（说明：也可转化为大根大于等于2求解）综上，所求
17、实数m的取值范围为21（本小题满分12分）在非直角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（1）若ac2b，求角B的最大值；（2）若acmb(m1)（i）证明：；（可能运用的公式有）（ii）是否存在函数，使得对于一切满足条件的m，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明之；若不存在，请给出一个理由解：（1）因为， 所以由余弦定理可得： （当且仅当时取等号） 又， 所以角B的最大值为. （2）（i）由及正弦定理得，所以（或者由可得上式）因为，所以有，展开整理得，故， （ii）由及半角正切公式可得，对其展开整理得即，即，即与原三角式作比较可知存在且22（本小题满分12分）已知
18、函数，其中e2.71828为自然对数的底数（1）设，恒成立，求a的最大值；（2）设a0，讨论函数在0，上的零点个数（参考数据：ln20.69，ln31.10）解：（1）设函数，所以，令得，（a0） 且当时，；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以 因为要使得恒成立，只要恒成立 即 设，且 ，在上单调递减 又， 且图象连续不断，所以满足的的最大值为3. （2）， 设，则， 因为，所以在内必存在唯一的实数，使得 所以为增函数 ，为减函数（说明单调性同样给分） 下面先证明：. 因为，所以，（法一）当时，有，（不证明不扣分），下证，即证，即证.（法二）当时，有，（不证明不扣分），下证，令，则即证，即证令，则为单调递增函数当时，.（法三）欲证，即证因为，所以只需证，即证，即证即证，又只需证，即证即证又，所以显然成立.接下来，求函数在上的零点个数，且函数在上单调递减在上有唯一零点，即函数在上的零点个数为1最后，求函数在上的零点个数，且函数在上单调递增 当时，所以函数在上没有零点， 即函数在上的零点个数为0 当时，所以函数在上有唯一零点， 即函数在上的零点个数为1综上所述：当时，在上的零点个数为1 ； 当时，在上的零点个数为2 .
