1、22向量的减法1问题导航(1)两个向量共线时，如何作出其差向量？(2)点O，A，B为平面中的任意三点，则对吗？(3)在向量运算中abcd，是否有acdb成立？2例题导读 P79例4.通过本例学习，学会作已知向量的和或差 P80例5.通过本例学习，学会利用向量加减法的几何意义求向量的和或差的模 试一试：教材P81习题22 A组T4你会吗？ 向量的减法定义：与a长度相等，方向相反的向量，叫作a的相反向量，记作a，零向量的相反向量仍是零向量定义：aba(b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量几何意义：已知a、b，在平面内任取一点O，作a，b，则ba，即ba可以表示为从向量a的终点指向向量b
2、的终点的向量性质：(a)a，a(a)(a)a0，如果a与b互为相反向量，则ab，ba，ab01判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)任意两个向量的差向量不可能与这两个向量共线()(2)向量a与向量b的差与向量b与向量a的差互为相反向量()(3)相反向量是共线向量()解析：(1)错误当两个向量共线时，其差向量就与这两个向量中的任一向量共线，所以该说法错误(2)正确因为两个向量的差仍然是一个向量，所以向量a与向量b的差与向量b与向量a的差互为相反向量(3)正确根据相反向量的定义知，该说法正确答案：(1)(2)(3)2下列等式中，正确的个数是()abba；abba；0aa；(a)a；a(a)0
3、.A1 B2C3 D4解析：选C.由向量的加法及几何意义，可得：abba，正确；由向量的减法及其几何意义，得ab(ba)，即错误；0aa，正确；根据相反向量的定义及性质得(a)a，正确；而a(a)00，错误3._解析：().答案：4若a与b反向，且|a|b|1，则|ab|_.解析：因为a与b反向，所以|ab|a|b|2.答案：21相反向量满足的两个条件(1)两个向量的方向相反(2)两个向量的长度相等2相反向量的意义(1)在相反向量的基础上，可以通过向量加法定义向量减法(2)为向量的“移项”提供依据利用(a)a0在向量等式的两端加上某个向量的相反向量，实现向量的“移项”3对向量减法的三点说明(1
4、)减法的几何意义ab的几何意义是：当向量a，b的起点相同时，从向量b的终点指向向量a的终点的向量(2)与向量加法的关系aba(b)，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量(3)向量减法运算法则把减向量与被减向量的起点重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点已知向量作差向量如图，已知向量a、b、c不共线，求作向量abc.(链接教材P79例4)解法一：如图，在平面内任取一点O，作a，b，c，连接BC，则bc.过点A作AD綊BC，连接OD，则bc，所以abc.法二：如图，在平面内任取一点O，作a，b，连接OB，则ab，再作c，连接CB，则abc.法三：如图，在平面内任取一点O，作a，b，连接
5、OB，则ab，再作c，连接，则abc.方法归纳求两向量的差向量关键是把两向量平移到首首相接的位置，然后利用向量减法的三角形法则来运算平移作两向量的差的步骤此步骤可以简记为“作平移，共起点，两尾连，指被减”1(1)如图，已知向量a，b，c，求作向量abc.(2)如图所示，O为ABC内一点，a，b，c，求作向量bca.解：(1)作向量a，b，则向量ab，再作向量c，则向量abc.(2)以，为邻边作OBDC，连接OD，AD，则bc，bca.向量的减法运算化简下列各式：(1)()()；(2)；(3)()()(链接教材P81习题22A组T5)解(1)法一：原式()().法二：原式()0.(2)法一：原式
6、.法二：原式().(3)法一：原式()()0.法二：()()()0.方法归纳(1)(2)向量加减法化简的两种形式首尾相接且相加；起点相同且相减做题时，注意观察是否有这两种形式的向量出现同时注意向量加法、减法法则的逆向运用2(1)在平行四边形ABCD中，设a，b，c，d，则下列等式中不正确的是()Aabc BabdCbad Dcab(2)化简下列各式：；()()()解：(1)选B.根据向量加法的平行四边形法则知，即abc，bad.cab，故选B.(2)0.()()()()()().用已知向量表示其他向量设O是ABC内一点，且a，b，c，若以线段OA，OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以O
7、C，OD为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H.试用a，b，c表示，.解由题意可知四边形OADB为平行四边形，所以ab.所以c(ab)又四边形ODHC为平行四边形，所以cab.所以abcbac.若题中的条件不变，如何用向量a，b，c表示出向量？解：由例题解析可得cab，则cababc.方法归纳用已知向量表示其他向量的三个关注点(1)搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形三向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道(2)注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及加法的结合律、交换律来分析解决问题(3)注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则例如四边形ABCD中，0.3.(1
8、)如图，O为平行四边形ABCD内一点，a，b，c，则_(2)如图所示，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且a，b，c，试用向量a，b，c表示向量，及.解：(1)因为，所以，所以abc.故填abc.(2)因为四边形ACDE是平行四边形，所以c，ba，ca，cb，所以bac.易错警示向量加减法的几何意义应用中的误区已知D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则()A.0B.0C.0D.0解析因为D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，所以，所以0，故A成立0，故B不成立，0，故C不成立0，故D不成立答案A错因与防范(1)解答本题的过程中，若忽视利用几何图形的性
9、质和相等向量的定义，则不能推出相等向量，从而导致推导变形无法进行；或因应用向量减法的几何意义时字母顺序出错而导致错误(2)解答以几何图形为背景的向量加减运算问题，首先应重视向量知识与平面几何知识的结合，利用平面几何中线线平行、线段相等可以推出向量共线，向量相等等结论，为向量式的变形提供依据其次，要记准向量减法的几何意义，根据向量减法的几何意义作两个向量的差的基本步骤：作平移，共起点，两尾连，指被减4(1)如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC，BD的交点，设a，b，c，则bca等于()A. BC. Db(2)如图，在ABC中，若D是边BC的中点，E是边AB上一点，则_解析：(1)法一：因
10、为四边形ABCD是平行四边形，所以，所以bc，所以bca.法二：因为四边形ABCD是平行四边形，所以，所以ca.因为b，所以b，所以b.所以cab，即bca.(2)，因为0，所以0.答案：(1)A(2)01若a，b，则等于()A0 BabCba Dab解析：选D.ab.故选D.2如图，在四边形ABCD中，设a，b，c，则()Aabc Bb(ac)Cabc Dbac解析：选A.abc.3已知a、b为非零向量，则下列命题中真命题的序号是_若|a|b|ab|，则a与b方向相同；若|a|b|ab|，则a与b方向相反；若|a|b|ab|，则a与b有相等的模；若|a|b|ab|，则a与b方向相同解析：当a
11、、b方向相同时有|a|b|ab|，|a|b|ab|，当a、b方向相反时有|a|b|ab|，|a|b|ab|，因此为真命题答案：, 学生用书单独成册)A.基础达标1若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()A.B.C. D解析：选B.根据向量的减法的定义可得.2下列式子不正确的是()Aa0aBabbaC.0D.解析：选C.根据向量加法的三角形法则，A正确；向量加法满足交换律，B正确；因为与是一对相反向量，相反向量的和为零向量，所以C不正确；根据向量加法的多边形法则，D正确3在ABC中，D是BC边上的一点，则等于()A. BC. D解析：选C.在ABC中，D是BC边上的一点，则由两个
12、向量的减法的几何意义可得.4.如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，则()A.B.C. D解析：选B.因为，又与互为相反向量，与互为相反向量，所以0，0.所以()().5若|8，|5，则|的取值范围是()A3，8 B(3，8)C3，13 D(3，13)解析：选C.当与不共线时，有(如图所示)，由三角形三边的不等关系可知85|85，即3|13，当与共线反向时，|13；当与共线同向时，|3，所以3|13.6如图，在梯形ABCD中，ADBC，AC与BD交于O点，则_解析：()().答案：7化简：(1)()()_(2)()()_解析：(1)()()().(2)()()().答案：
13、(1)(2)8四边形ABCD是边长为1的正方形，则|_解析：|.答案：9.如图，已知a，b，c，d，e，f，试用a，b，c，d，e，f表示以下向量：(1)；(2)；(3).解：(1)ca.(2)ad.(3)0.10如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，a，b，c，试作出下列向量，并分别求出其长度(1)abc；(2)abc.解：(1)由已知得ab，又c，所以延长AC到E，使|.则abc，且|2.所以|abc|2.(2)作，连接CF.则，而aab，所以abc且|2.所以|abc|2.B.能力提升1给出下列各式：；.对这些式子进行化简，则其化简结果为0的式子的个数是()A4 B3C2 D1解析：
14、选A.0；()0；0；0.2平面内有四边形ABCD和点O，若，则四边形ABCD的形状是()A梯形 B平行四边形C矩形 D菱形解析：选B.因为，所以，即，又A，B，C，D四点不共线，所以|，且BACD，故四边形ABCD为平行四边形3若菱形ABCD的边长为2，则|_解析：因为菱形ABCD的边长为2，所以|2.答案：24如图，在正六边形ABCDEF中，与相等的向量有_；.解析：因为四边形ACDF是平行四边形，所以，因为四边形ABDE是平行四边形，所以，综上知与相等的向量是.答案：5在五边形ABCDE中，设m，n，p，q，r，求作向量mpnqr.解：因为mpnqr(mn)(pqr)()().延长AC到M，使|，则，所以.所以向量为所求作的向量，如图所示6(选做题)如图，已知点O是ABC的外心，H为垂心，BD为外接圆的直径求证：(1)；(2).证明：(1)由题意，可得AHBC，DCBC，所以AHDC.又DAAB，CHAB，所以DACH，所以四边形AHCD为平行四边形所以.(2)在OAH中，而，所以.又在ODC中，而，所以.所以.