1、4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4.4单位圆的对称性与诱导公式, )1问题导航(1)由于与的终边关于x轴对称，故若与的终边关于x轴对称，则必有，这样说对吗？(2)角与角的所有三角函数值都相等，则与有什么关系？(3)在应用诱导公式时，公式中的角必须是锐角吗？2例题导读P20例3.通过本例学习，学会利用与，与，与的正弦、余弦函数关系求三角函数值试一试：教材P20练习1T1你会吗？ P22例4.通过本例学习，学会利用诱导公式求三角函数值 试一试：教材P23习题14A组T2你会吗？ P22例5.通过本例学习，学会利用诱导公式化简三角函数式 试一试：教材P24习题14A组T8你会吗？ 1根据单
2、位圆理解正弦函数ysin x的性质根据正弦函数ysin x的定义，我们不难从单位圆看出函数ysin x有以下性质：(1)定义域是R；(2)最大值是1，最小值是1，值域是1，1；(3)它是周期函数，其周期是2k(kZ，k0)，最小正周期为2；(4)正弦函数ysin x在区间，(kZ)上是增加的，在区间(kZ)上是减少的2特殊角的终边的对称关系(1)的终边与角的终边关于原点对称；(2)的终边与角的终边关于x轴对称；(3)的终边与角的终边关于y轴对称3诱导公式(1)sin(2k)sin_，cos(2k)cos ，.(1.8)(2)sin()sin_，cos()cos .(1.9)(3)sin(2)s
3、in ，cos(2)cos_(1.10)(4)sin()sin ，cos()cos_(1.11)(5)sin()sin_，cos()cos .(1.12)(6)sincos_，cossin .(1.13)(7)sincos ，cossin_(1.14)1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)由公式(1.9)知cos()cos()()(2)在ABC中，sin(AB)sin C()(3)sincos .()(4)若为第二象限角，则sincos .()(5)sincos.()解析：(1)错误由公式(1.9)知cos()cos()，故cos()cos()是不正确的(2)正确因为ABC，所以ABC
4、，所以sin(AB)sin(C)sin C.(3)错误因为sinsincos ，所以sincos 是错误的(4)正确诱导公式中的角为任意角，在化简时先限定为锐角(5)正确因为，所以成立答案：(1)(2)(3)(4)(5)2已知sin x，则cos()A.B.C. D解析：选A.coscoscossin x.3化简_解析：原式cos .答案：cos 对正弦、余弦函数诱导公式的理解(1)利用诱导公式，可以将任意角的正弦、余弦函数问题转化为锐角的正弦、余弦函数问题具体步骤是：首先将任意负角的三角函数利用公式转化为任意正角的三角函数，其次转化为0360的三角函数，然后转化为锐角的三角函数，最后运用特殊
5、角的三角函数值求值步骤可简记为“负化正，大化小，化到锐角再求值”如：coscoscoscoscoscos.(2)所有诱导公式可用口诀“奇变偶不变，符号看象限”来记忆，其中：“变”与“不变”是指互余的两个角的三角函数名改变“奇”、“偶”是对k中的整数k来讲的“象限”指k中，将看作锐角时，k所在象限，再根据“一全正，二正弦，四余弦”的符号规律确定原函数值符号例如，将cos写成cos，因为1是奇数，则“cos”变为正弦函数符号“sin”，又将看作锐角时，是第二象限角，cos的符号为“”，故有cossin .给角求值求下列各角的三角函数值：(1)cos(1 290)；(2)sin 1 230；(3)c
6、os；(4)sincossincos.(链接教材P22例4)解(1)cos(1 290)cos 1 290cos(2103360)cos 210cos(18030)cos 30.(2)sin 1 230sin(1503360)sin 150sin(18030)sin 30.(3)coscoscoscoscos.(4)sincossincossincossincossincossin0.方法归纳求正弦、余弦函数值的一般步骤1(1)代数式sin 120cos 210的值为()AB.C D(2)求下列各三角函数式的值：sin 1 320；cos.解：(1)选A.由诱导公式可得，sin 120cos
7、210sin 60(cos 30)，故选A.(2)法一：sin 1 320sin(3360240)sin 240sin(18060)sin 60.法二：sin 1 320sin(4360120)sin(120)sin(18060)sin 60.法一：coscoscoscoscos.法二：coscoscoscos.给值求值(1)已知sin，则cos()A.B.C D(2)已知sin，则sincos2_(链接教材P23练习2 T3，P24习题14B组T1)解析(1)由，故x，有coscossin.(2)因为，所以sinsinsin.又因为，所以coscossin.所以sincos2.答案(1)A(
8、2)若本例(1)中条件不变，求“cos”解：因为，故x，coscossin.方法归纳(1)解答这类给值求值的问题，首先应把所给的值进行化简，再结合被求值的式子的特点，观察所给值的式子与被求式的特点，找出它们之间的内在联系，特别是角之间的关系，恰当地选择诱导公式(2)常见的角之间的关系有；ABC，(A，B，C是ABC的三个内角)等2(1)已知sin，那么cos ()A BC. D(2)已知cos，求cos的值解：(1)选C.sinsinsincos .(2)coscoscos.利用诱导公式化简式子设k为整数，化简下面的式子：.解法一：当k为偶数时，设k2m(mZ)，则原式1；当k为奇数时，可设k
9、2m1(mZ)，同理可得，原式1.故不论k为奇数还是偶数，原式1.法二：由(k)(k)2k，(k1)(k1)2k，得sin(k)sin(k)，cos(k1)cos(k1)cos(k)，sin(k1)sin(k)故原式1.方法归纳(1)化简三角函数式的过程，实质上是“统一角”“统一函数名”的过程，所以在三角函数式的化简过程中应学会“看角、看函数名”的分析方法(2)化简三角函数式时，若遇到k的形式时，需分k为奇数和k为偶数两种情况进行讨论，然后再正确运用诱导公式进行化简常见的一些关于参数k的结论有sin(k)(1)ksin (kZ)cos(k)(1)kcos (kZ)sin(k)(1)k1sin
10、(kZ)cos(k)(1)kcos (kZ)3化简下列各式(1)；(2).解：(1)原式1.(2)原式.易错警示诱导公式记忆不清导致出错 求sin的值解sinsin sinsin sin .错因与防范(1)对“奇变偶不变，符号看象限”的理解错误易出现sincos，是不成立的(2)诱导公式起着变名、变号、变角等作用，在三角函数的化简求值，证明中经常使用，因此必须熟记公式4(1)化简：(nZ)_(2)化简.解：(1)当n为偶数时，设n2k，kZ，原式；当n为奇数时，设n2k1，kZ，原式.故填(2)原式.1sin 210()A. BC. D解析：选D.sin 210sin(18030)sin 30
11、.2已知cos，则cos_解析：coscoscos.答案：3化简：_解析：原式1.答案：1, 学生用书单独成册)A.基础达标1如果sin()，则cos ()A BC D解析：选A.因为sin()sin ，所以sin ，所以cossin .下列三角函数中，与sin数值相同的是()sin；cos；sin；cos ；sin(nZ)A BC D解析：选C.中n为偶数时，sinsin；中coscossin；中sinsin；中coscossin；中sinsinsin.故正确3已知sin，那么cos ()A BC. D解析：选C.sincos ，故cos ，故选C.4已知600角的终边上有点P(a，3)，则
12、a的值为()A. BC. D解析：选B.cos 600cos(360240)cos 240cos(18060)cos 60，而cos 600，所以，所以a0.解得a.cos()A. BC D解析：选C.coscoscoscoscoscos.已知sin，则cos_解析：因为，所以coscossin.答案：7化简的值等于_解析：原式.答案：计算：coscoscoscoscoscos_解析：原式0.答案：0化简cos(nx)cos(nx)(nZ)解：当n为奇数时，设n2k1(kZ)，原式cos (2k1)xcos (2k1)xcos(x)cos(x)cos xcos x2cos x；当n为偶数时，设
13、n2k(kZ)，原式cos(2kx)cos(2kx)cos xcos(x)2cos x，故原式计算下列各式的值：(1)coscoscoscos；(2)sin 420cos 330sin(690)cos(660)解：(1)原式0.(2)原式sin(36060)cos(36030)sin(236030)cos(236060)sin 60cos 30sin 30cos 601.B.能力提升1在ABC中，若sin(ABC)sin(ABC)，则ABC必是()A等腰三角形B直角三角形C等腰或直角三角形D等腰直角三角形解析：选C.因为sin(ABC)sin (ABC)，所以sin(2C)sin(2B)，即s
14、in 2Csin 2B，所以2C2B或2C2B，即CB或CB，所以ABC是等腰或直角三角形2设函数f(x)(xR)满足f(x)f(x)sin x当0x时，f(x)0，则f()A. BC0 D解析：选A.因为f(x)f(x)sin x，所以f(x2)f(x)sin x.所以f(x2)f(x)sin xsin xf(x)所以f(x)是以2为周期的周期函数又fff，ffsin，所以ff.因为当0x时，f(x)0，所以f0，所以ff.故选A.3若是三角形的一个内角，且coscos，则_解析：因为cossin ，所以sin .又因为是三角形的一个内角，所以或.答案：或4若函数f(x)asin(x)bco
15、s(x)，其中a，b，都是非零实数，且满足f(2 014)2，则f(2 015)_解析：因为f(2 014)asin(2 014)bcos(2 014)2，所以f(2 015)asin(2 015)bcos(2 015)asin (2 014)bcos (2 014)asin(2 014)bcos(2 014)2.答案：25已知f().(1)化简f()；(2)若为第四象限角且sin，求f()的值；(3)若，求f()解：(1)f()cos .(2)因为sinsincos ，所以f()cos .(3)fcoscoscoscos.6(选做题)已知f(k)sin，kZ.(1)求证：f(1)f(2)f(
16、8)f(9)f(10)f(16)；(2)求f(1)f(2)f(2 015)的值解：(1)证明：因为sinsinsin(kZ)，所以f(k)f(k8)，所以f(1)f(2)f(8)f(9)f(10)f(16)(2)由(1)可知f(k)是以8为一个周期的周期函数，而2 01525187，所以f(1)f(2)f(2 015)251f(1)f(2)f(8)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)又因为f(1)f(2)f(8)sinsinsin0，所以f(1)f(2)f(2 015)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)sinsinsinsinsin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 0.
