1、 7正 切 函 数71正切函数的定义72正切函数的图像与性质73正切函数的诱导公式1问题导航(1)用正切线作正切函数的图像与作哪个三角函数的图像的方法类似？该方法有什么优缺点？(2)正切函数的定义域能写成(kZ)吗？为什么？(3)正切函数的诱导公式的实质是什么？2例题导读P39例1.通过本例学习，学会已知一个角的正切值，求这个角的正弦值和余弦值的方法 试一试：教材P40习题17 A组T1、T2你会吗？ P40例2.通过本例学习，学会利用正切函数的诱导公式进行化简求值 试一试：教材P41习题17 A组T7(1)你会吗？ 1正切函数的定义在直角坐标系中，如果角满足：R，k(kZ)，且角的终边与单位
2、圆交于点P(a，b)，那么比值叫作角的正切函数，记作ytan_，其中 R，k，kZ根据正切函数与正弦函数、余弦函数的定义可知tan (比值叫作角的余切函数，记作ycot ，其中R且k，kZ)2正切线(1)定义：在直角坐标系中，设单位圆与x轴的非负半轴的交点为A(1，0)，过点A(1，0)作x轴的垂线，与角的终边或其终边的延长线相交于T点，则称线段AT为角的正切线(2)画法：3正切函数的图像与性质解析式ytan x图像定义域x|xR，xk，kZ值域R周期k(kZ，k0)，最小正周期是奇偶性奇函数单调性在开区间(kZ)上都是增函数对称性正切曲线是中心对称图形，其对称中心是(kZ)4.正切函数的诱导
3、公式(1)tan(2)tan_(1.16)；(2)tan()tan_(1.17)；(3)tan(2)tan_(1.18)；(4)tan()tan_(1.19)；(5)tan()tan_(1.20)；(6)tancot (1.21)；(7)tancot (1.22)1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)正切函数在整个定义域内是增函数()(2)存在某个区间，使正切函数为减函数()(3)正切函数图像相邻两个对称中心的距离为周期.()(4)函数ytan x为奇函数，故对任意xR都有tan(x)tan x()解析：(1)错误如x1，x2，但tantan，不符合增函数的定义(2)错误正切函数在每个
4、单调区间上都为增函数(3)错误正切函数图像相邻两个对称中心的距离为半周期，故此说法是错误的(4)错误当xk(kZ)时，tan x没有意义，此时式子tan(x)tan x不成立答案：(1)(2)(3)(4)2ytan(x)是()A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数解析：选A.因为ytan(x)tan x，所以ytan(x)是奇函数3函数f(x)tan的定义域是_，f_解析：由题意知xk(kZ)，即xk(kZ)故定义域为，且ftan.答案：4化简：_解析：原式tan .答案：tan 1对正切函数图像的理解(1)正切函数的图像是由被互相平行的直线xk(kZ)所隔开的无数多支曲线组成的
5、，这些直线叫作正切曲线各支的渐近线(2)正切函数的图像向上、向下无限延伸，但永远不和xk(kZ)相交，与x轴交于点(k，0)(kZ)(3)正切函数的简图可用“三点两线”画出来，“三点”是指(0，0)，；“两线”是指x和x.作简图时只需先作出一个周期中的两条渐近线x，x，然后描出三点(0，0)，用光滑的曲线连接得一条曲线，再平行移动至各个周期内即可注意：直线xk，kZ叫作正切曲线的渐近线，正切曲线与渐近线无限接近但不相交2对正切函数的性质的理解(1)正切函数的单调性表现为在每一单调区间内只增不减，这一点必须注意(2)正切函数的图像的对称中心为(kZ)，而不是(k，0)(kZ)，它没有对称轴3对正
6、切函数的诱导公式的理解(1)公式的特点与记忆2，的正切函数值等于的正切函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号为了便于记忆，也可简单地说成“函数名不变，符号看象限”(2)利用“化切为弦”的方法证明正切函数的诱导公式“化切为弦”是指利用tan ，R，且k，kZ，把某角的正切函数值转化为该角正弦函数值与余弦函数值的商，再根据正弦、余弦的有关结论解决问题例如，tan()tan .(3)诱导公式的应用利用诱导公式可把任意角的正切函数转化为锐角三角函数即正切函数的图像求函数f(x)tan |x|的定义域与值域，并作其图像(链接教材P42习题17 B组T4)解f(x)tan |x|(kZ)，可知，函
7、数的定义域为，值域为R.当x0时，函数ytan |x|在y轴右侧的图像即为ytan x的图像不变；x0时，ytan |x|在y轴左侧的图像为ytan x在y轴右侧的图像关于y轴对称的图像，如图所示(实线部分)本例中“函数f(x)tan |x|”若换为“函数f(x)|tan x|”，其他条件不变，其结论又如何呢？解：函数f(x)|tan x|的定义域是，值域是0，)，图像如图实线部分所示方法归纳(1)作正切函数的图像时，先画一个周期的图像，再把这一图像向左、右平移从而得到正切函数的图像，通过图像的特点，可用“三点两线法”，这三点是，(0，0)，两线是直线x.(2)如果由yf(x)的图像得到yf(
8、|x|)及y|f(x)|的图像，可利用图像中的对称变换法完成；即只需作出yf(x)(x0)的图像，令其关于y轴对称便可以得到yf(|x|)(x0)的图像；同理只要做出yf(x)的图像，令图像“上不动，下翻上”便可得到y|f(x)|的图像1(1)函数ysin x与ytan x在区间上的交点个数是()A3 B4C5 D6(2)函数ytan xsin x|tan xsin x|在区间内的图像是如图中的_解析：(1)如图，函数ysin x与ytan x在区间上的交点个数是3.(2)函数ytan xsin x|tan xsin x|答案：(1)A(2)正切函数的性质求函数f(x)tan 的定义域、最小正
9、周期和单调区间(链接教材P40练习T2)解由题意，知2xk(kZ)，所以x(kZ)，即函数的定义域为.由于f(x)tan tan f，所以最小正周期T.因为k2xk(kZ)，所以kxk(kZ)，即函数的递增区间为(kZ)方法归纳求函数yAtan(x)定义域、周期、单调区间的方法(1)定义域：由xk，kZ，求出x的取值集合即为函数的定义域，即.(2)周期性：利用周期函数的定义来求(3)单调区间：在求函数yAtan(x)(A，为常数，A0)的单调区间时，首先要用诱导公式把x的系数化为正值，再利用整体代换的思想和正切函数的单调性求出单调区间，即由kxk(kZ)，求出x的所在区间即可提醒：注意A的正负
10、对函数单调性的影响2函数f(x)tan(3x)的图像的一个对称中心是，其中0，试求函数f(x)的单调区间解：由于ytan x的对称中心为，kZ，故令3x，其中x，即，由于0，所以当k2时，.故f(x)tan.由于正切函数ytan x在(kZ)上为增函数，则令k3xk，解得x，kZ.故该函数的递增区间为(kZ)正切函数诱导公式的应用已知tan(3)，求的值(链接教材P40例2)解因为tan(3)tan()tan ，所以tan .原式tan .方法归纳解决条件求值问题的基本思路是分别将已知条件和所求问题进行化简，进而寻找已知条件和所求问题间的关系，从而求得结论3(1)已知tan()2，则tan()
11、()A2 B2C1 D1(2)已知cos，且|，则tan _；(3)已知tan()lg，求tan的值解：(1)选D.tan()tan 2，即0，解得tan 1.所以tan()tan 1.(2)因为cossin ，所以sin .因为|，所以，所以tan tantan .故填.(3)因为tan()lg，所以tan .tantantan tan 3.思想方法换元法的应用设函数ytan2x2tan x2，且x，求函数的值域解因为x，所以tan x，1，令tan xt，t，1，则yt22t2(t1)21.当t1时，y取得最小值，为1；当t1时，y取得最大值，为5.所以函数ytan2x2tan x2的值域
12、为1，5感悟提高(1)三角函数与二次函数的综合问题，一般是研究函数的值域或最值，求解方法是通过换元或整体代换将问题转化为二次函数型的函数值域问题(2)利用换元法时，要注意新变量的取值范围，把原变量的范围转化给新变量1已知点P(tan ，cos )在第三象限，则角是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角解析：选B.由(tan ，cos )在第三象限，知tan 0，cos 0，所以角是第二象限角2已知tan5，则tan()A5 B5C5 D不能确定解析：选B.tantantan5，故tan5.3若tan x0，则x的取值范围是_解析：由题意，知tan x.由正切函数的图像，知kxk(
13、kZ)答案：4函数ytan x，x的值域是_解析：函数ytan x在上是增加的 ，则tan 0ytan ，即0y1.答案：0，1, 学生用书单独成册)A.基础达标1函数y3tan的定义域是()A.B.C.D.解析：选C.由2xk(kZ)，得x(kZ)2若tan sin 0，则位于()A第一、二象限B第一、三象限C第二、三象限D第二、四象限解析：选C.依题意，tan sin 0，sin 0时，为第三象限角当tan 0时，为第二象限角3函数y|tan x|的周期为()A. BC2 D3解析：选B.结合函数y|tan x|的图像可知周期为.4关于x的函数f(x)tan(x)，下列说法不正确的是()A
14、对任意的，f(x)都是非奇非偶函数B不存在，使f(x)既是奇函数，又是偶函数C存在，使f(x)为奇函数D对任意的 ，f(x)都不是偶函数解析：选A.当k(kZ)时，f(x)tan(xk)tan x为奇函数5在下列函数中，同时满足以下三个条件的是()(1)在上是递减的(2)最小正周期为2.(3)是奇函数Aytan x Bycos xCysin(x3) Dysin 2x解析：选C.ytan x在上是递增的，不满足条件(1)B函数ycos x是偶函数，不满足条件(3)C函数ysin(x3)sin x，满足三个条件D函数ysin 2x的最小正周期T，不满足条件(2)6直线ya(a为常数)与函数ytan
15、 的图像相交，两相邻交点间的距离为_解析：结合图像可知(图略)，两相邻交点间的距离恰为一个最小正周期答案：27比较大小：tan 211_tan 392.解析：tan 211tan(18031)tan 31.tan 392tan(36032)tan 32，因为tan 31tan 32，所以tan 211tan 392.答案：bc Babac Dbatan 2tan(5)3已知f(x)asin xbtan x1满足f7，则f_解析：依题意得fasin btan 17，所以asin btan 6，所以fasin btan 1asinbtan1asin btan 11615.答案：54给出下列命题：函
16、数ytan x的图像关于点(kZ)对称；函数f(x)sin |x|是最小正周期为的周期函数；函数ycos2xsin x最小值为1；设为第二象限的角，则tan cos，且sincos.其中正确的命题序号是_解析：函数ytan x的图像关于点(kZ)对称，正确；函数f(x)sin|x|是最小正周期为的周期函数，错误，函数f(x)sin|x|不是周期函数；因为函数ycos2xsin xsin2xsin x1，所以其最小值为1，正确；设为第二象限的角，即2k2k，kZ，所以kk，kZ，即为第一象限或第三象限的角，所以不对答案：5已知函数f(x).(1)求函数的定义域；(2)用定义判断f(x)的奇偶性；
17、(3)在，上作出f(x)的图像；(4)写出f(x)的最小正周期及单调性解：(1)因为由cos x0，得xk(kZ)，所以函数的定义域是.(2)由(1)知函数的定义域关于原点对称又因为f(x)f(x)，所以f(x)是奇函数(3)f(x)则f(x)在其定义域上的图像如图所示(4)f(x)的最小正周期为2，递增区间是(kZ)，递减区间是，(kZ)6(选做题)已知f(x)x22xtan 1，x1，其中.(1)当时，求函数f(x)的最大值与最小值；(2)求的取值范围，使yf(x)在区间1， 上是单调函数解：(1)当时，f(x)x2x1，x1，所以当x时，f(x)的最小值为，当x1时，f(x)的最大值为.(2)因为f(x)x22xtan 1(xtan )21tan2，所以原函数的图像的对称轴方程为xtan .因为yf(x)在1，上是单调函数，所以tan 1或tan ，即tan 1或tan ，所以kk或kk，kZ.又，所以的取值范围是.