1、2007年全国名校考创新最后冲刺模拟卷及答案 数学(文理) 本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分 共150分 考试时间120分钟 第卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 （ ）A 2 i B 2 +iC 2 i D 2 + i 2 若奇函数f ( x ) ( xR)满足f ( 2 ) = 1 , f ( x + 2 ) = f ( x ) + f ( 2 )，则f ( 5 ) = （ ）A 0B 1C D 53 （理）球O的截面把垂直截面的直径分成1 ：3 两部分，若截面半径为，则球O的体积为
2、（ ）A 16B C D （文）已知直线m平面，直线n平面，则下列命题正确的是（ ）A 若, 则mn B 若, 则mn C 若mn , 则D 若n, 则4 集合P = x , 1 , Q = y , 1, 2 ， 其中x , y1 , 2 , 3 , , 9 ，且PQ 把满足上述条件的一对有序整数对( x、y )作为一个点的坐标，则这样的点的个数是（ ）A 9个B 14C 15D 21个5 下列函数中周期为2的是（ ）A y = 2cos2x 1 B y = sin2x + cos2x C y = tan ()D y = sin xcos x6 （理）如果复数z = a2 a 2 + (a2
3、3a + 2 ) i 为纯虚数，那么实数a的值为（ ）A 1 B 2 C 1 D -1或2 （文）若等比数列an 的前n项和为Sn , 且S1 = 18 , S2 = 24 , 则S4 =（ ）A B C D 7 P为曲线=1的右支上一点，M、N分别是圆 ( x + 5 )2 + y2 = 4和( x 5 )2 + y2 = 1上的点，则|PM| |PN| 的最大值为（ ）A 6B 7C 8D 98 正四面体PABC中，M为棱AB的中点，则PA与CM所成角的余弦值为（ ）A B C D 9 抛物线y2 = 4x ，按向量a平移后所得抛物线的焦点坐标为（3，2），则平移后的抛物线的顶点坐标为（
4、）A （4，2）B （2，2）C （2，2）D （2，3）10 （理）若N ( 2 , a2 ),且P (24= 04，则P的值为（）A03 B01 C 04 D以上均不对（文）在100个产品中，一等品20个，二等品30个，三等品50个，用分层抽样的方法抽取一个量为20的样本，则二等品中产品A被抽取到的概率（ ）A 等于B 等于C 等于D 不确定11若f ( x ) = logx , A = f(), G = f (), H = f () , a、b为实数，则A、G、H的大小关系为（ ）A AGH B AHG C HGA D GHA 12 如果关于x的方程 ( 2|x|2 )2 a 2 = 0
5、有实数根，则a的取值范围是（ ）A B C D 第卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上 13 若ABC的内角A满足sin 2A =,则cos A sin A = _ 14 设数集M =，N =，且M、N都是集合的子集，定义b a 为集合的“长度”，那么集合MN的“长度的最小值为_15 已知函数f ( x ) =,那么f ( 1 ) + f ( 2 ) + f ( 3 ) + f ( 4 ) + f () + f () + f () = _16 （理）已知函数y = f ( x ) = x3 + px2 + qx 的图象与x轴切于非原点的一
6、点，且y极小 = 4 ,那么p + q的值为 _ （文）若tan () =,则tan 2的值是_ 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （本题满分12分）已知函数f ( x ) =（）求函数f ( x )的最小正周期；（）求函数f ( x )取得最大值的所有x组成的集合 18 （本题满分12分）设等差数列an的前n项和为Sn，若a3 = 12 , S120，S130，请指出S1 , S2 ，S12中哪个最大？说明理由 19 （本题满分12分）如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在的平面，AB =2， E是PB的中点，与夹角的余弦值为 （）建立适当的
7、坐标系，写出点E的坐标；（）在平面PAD内求上一点F，使EF平面PCB 20 （本小题满分13分）已知二次函数f ( x ) = x2 + 2bx + c ( b , cR)，满足f ( 1 ) = 0 , 且关于x的方程f ( x ) + x + b = 0的两个实数根分别在区间（3，2）、（0，1）内 （）求实数b的取值范围；（）（理）若函数F ( x ) = logbf ( x ) 在区间 (1 c , 1 c )具有单调性，求实数c的取值范围 （文）若f ( x )0的解集为，求实数b、c的值 21 （本题满分12分）已知向量= ( sin,1 ) , = ( 1 , cos ) ,
8、.（）若，求；（）求| + |的最大值 22 （本题满分13分）（理）已知抛物线方程为y =x2 + h , P（2，4）、A、B三点都在抛物线上，且直线PA、PB的倾斜角互为补角 （）求证：向量与共线；（）若直线AB经过点（0，1），试在抛物线上求一点Q，使Q在直线AB上方，且QAB的面积为最大 （文）如图所示，点F( a , 0 )( a0 )，点P在y轴上运动，M在x轴上，N为动点，且=0，=0 （）求点N的轨迹C的方程；（）过点F( a , 0 )的直线l（不与x轴垂直）与曲线C交于A、B两点，设点K ( a,0 ) ,与的夹角为，求证：02007年全国名校考创新最后冲刺模拟卷及答案
9、数学(文理) 参考答案1 C2 C3 （理）C（文）A4 B5 C6 （理）C（文）A7 D8 B9 B10 （理）B（文）A11 A12 D13 14 15 16 17 （）f ( x ) =+ 1 = =2sin+1 = 2sin+1函数f ( x )的最小值周期为T =（）当f ( x )取最大值时，sin=1 此时有2x = 2k+即x = k+(kZ)所求x的集合为点评此题是对三角函数知识的考查 18 设等差数列的首项为a1,公差为d 依题意解得Sn = na1 + =又d0，所以最小时，最大 又由d3，可得66 5故当n = 6时，Sn最大，S1，S2，S12中S6最大 另法：等差
10、数列an的前n项和为Sn，由S120，S130，得最大.点评从函数的角度观察、分析数列问题，开辟了数列问题求解的新天地，给我们一个全新的视角 19 （）以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设P（0，0，2m），（m0） 则A（2，0，0）、B（2，2，0）、C（0，2，0）E（1，1，m），从而=（1，1，m），=（0，0，2m），cos=得m = 1,所以E点的坐标为（1，1，1）（）由于点F在平面PAD内，故可设F点坐标为 ( x , 0 , z )，由平面PCB得：= 0，即=( x 1 , 1, z 1 )( 2 , 0 , 0 ) = 0x = 1(
11、x 1 , 1 , z 1 )( 0, 2 , 2 ) = 0z = 0 所以点F的坐标为 ( 1 , 0 , 0 ), 即点F是DA的中点时，可使EF平面PCB 点评对平面上存在一点的问题，一般情况下思维量和运算量比较大，通过对空间图形的理解，寻找面的特殊性，巧妙构建坐标，将使问题更加简单 20 （）由题知, f ( 1 ) = 1 + 2b + c = 0 ,c = 1 2b 记g ( x ) = f ( x ) + x + b = x2 + ( 2b + 1 )x + b + c = x2 + ( 2b + 1 )x b 1 则即b(,)（）（理）令a = f ( x ) , 0b1lo
12、gbu在区间（0，+）上是减函数 而 1 c = 2b b , 函数f ( x ) = x2 + 2bx + c 的对称轴为x = b ,f ( x ) 在区间( 1 c , 1 c )上单调递增;从而函数F ( x ) = logbf ( x )在区间 ( 1 c ,1 c ) 上为减函数 且f ( x )在区间( 1 c ,1 c )上恒有f ( x )0,只需要f ( 1 c )0（文）由题知x1 = 1 , x2 = 1是方程x2 + 2bx + c = 0的两个根由韦达定理得b=0,c=-1点评函数类题目是每年高考考查的重点内容 21 （），则sin+cos= 0由此得tan= 1
13、( )所以=（）由 = (sin , , 1 ) , = ( 1 , cos )得 + = (sin+1 , 1 + cos)| + | =当sin (+) = 1时，| + |取得最大值，即当=时，| + |的最大值为 22 （理）（）把点P的坐标（2，4）代入抛物线方程，得h = 6，所以抛物线方程为y =设PA的斜率为k，则PB的斜率为 k ,又设A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ),直线PA ：y 4 = k ( x 2 ) 由消去y，得x2 + 2kx 4k + 4 = 0 ,设其二根为x1和x2所以A点横坐标为 x1 = 2k 2 将 k换成k，得B点横坐标为
14、x2 = 2k 2 kAB =,而kOP =所以ABOP，即向量与共线（）如右图，作抛物线的切线QTAB，Q为切点，Q到AB的距离最大，所以QAB的面积为最大，即切点Q ( x0 , y0 ) 为所求，对y =求y= x , = kAB = 2 x0 = 2 即x0 = 2 ，从而y0 = 4 即所求点Q的坐标为 ( 2 , 4 )（文）（）设N ( x , y ) , M ( x0 , 0 ) , P ( 0 , y0 )则= (x0 , y0 ) = ( x , y y0 )由=0得ax0 +=0由+= 0，得( x + x0 , y 2y0 ) = 0 即代入得，y2 = 4ax 即为所
15、求 （）设l方程为y =k ( x a ) , 由消去x，得y2 =0设A (x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , 则y1y2 = 4a2 ;= ( x1 + a , y1 ) , = ( x2 + a , y2 ) = ( x1 + a ) ( x2 + a ) + y1y2 = x1x2 + a ( x1 + x2 ) + a2 + y1y2 =+a2 4a2 =cos=00点评理科题（）是解析几何与向量的综合，求证向量与共线就是求证ABOP，以下思路明确，但有计算上的难点 解决这个难点的方法是“类比计算”，如上解法，先求点A (x1,y1)的横坐标x1的公式，类比地得到x2，直至求得kAB 本题之 （）有几种初等解法，但都没有上面的导数法简捷，还要注意：数形结合始终是本题思路的主线，向量及其运算是新课程的新增内容，由于向量融数、形于一体，具有代数形式和几何形式的双重身份，使它成为中学数学知识的一个交点，成为联系多项内容的媒介