1、海淀区2018-2019高一年级期末统一考试数学一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接进行交集的运算即可【详解】，；故选：A【点睛】本题考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算2.已知向量，且，则 ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据可得出，解出m即可【详解】；故选：D【点睛】本题考查向量坐标的概念，以及平行向量的坐标关系3.下列函数中，既是奇函数又在上是增函数的是 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，
2、综合即可得答案【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，是指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于B，为幂函数，既是奇函数又在上是增函数，符合题意；对于C，是对数函数，不是奇函数，不符合题意；对于D，是正弦函数，在上不是增函数；故选：B【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性4.命题，则是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由全称命题的否定是特称命题，得解【详解】命题p：，则是：，故选：C【点睛】本题考查特称命题与全称命题的否定，属简单题5.已知，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由已知结合平方关系即可求得的值【详
3、解】由，得，即，代入，得，为第三象限角，则故选：D【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题6.若角的终边经过点，则下列三角函数值恒为正的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，得出结论【详解】角的终边经过点，故，而，正负号不确定，正负号不确定，故选：B【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题7.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点 （ ）A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度【答案】A【解析】【分析】由题意利用诱导公式、
4、函数的图象变换规律，得出结论【详解】把函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，可得的图象，故选：A【点睛】本题主要考查诱导公式、函数的图象变换规律，属于基础题8.如图，在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆相交于点.过点的圆的切线交轴于点，点的横坐标关于角的函数记为. 则下列关于函数的说法正确的（ ）A. 的定义域是B. 的图象的对称中心是C. 的单调递增区间是D. 对定义域内的均满足【答案】B【解析】【分析】由三角函数的定义可知：P（cos，sin），则以点P为切点的圆的切线方程为：xcos+ysin=1，得：函数f（）=，结合三角函数的性质得解【详解】由三角函数的定义可知：P（cos
5、，sin），则以点P为切点的圆的切线方程为：xcos+ysin=1，由已知有cos0，令y=0，得：x=，即函数f（）=，由cos0，得：2k，即函数f（）的定义域为：，kz，故A错误，由复合函数的单调性可知：函数f（）的增区间为：2k，2k），（2k2k+，kZ，故C错误， f（）,故D错误，函数f（）的对称中心为（k，0），kZ，故B正确故选：B【点睛】本题考查了三角函数的定义、圆的切线方程、及三角函数的性质，属中档题二、填空题，把答案填在题中横线上.9.已知，则_【答案】2【解析】【分析】由，得，由此能求出结果【详解】，故答案为：2【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考
6、查运算求解能力，是基础题10.已知 ，则_；_.【答案】 (1). 11 (2). 【解析】【分析】由数量积的坐标运算可求；由可求结果【详解】，故答案为：11；【点睛】本题考查向量的数量积的应用，坐标运算，考查计算能力11.已知集合，集合满足，.则一个满足条件的集合是_【答案】（或或）【解析】【分析】利用子集、并集的定义直接求解【详解】集合2，3，4，集合S满足SA，一个满足条件的集合S是2，3，或2，4，或2，故答案为：2，3，或2，4，或2，【点睛】本题考查集合的求法，考查补集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题12.已知是定义域为的偶函数，当时，则不等式的解集是_【答案】或【
7、解析】【分析】容易判断偶函数在上单调递增，且，从而根据可得出，从而得出，解该绝对值不等式即可得出原不等式的解集【详解】，为增函数，是R上的偶函数；由得；解得，或；原不等式的解集为或故答案为：或【点睛】本题考查偶函数的定义，清楚和的单调性，以及增函数的定义，绝对值不等式的解法是解本题的关键13.如图，扇形中，半径为1，的长为2，则所对的圆心角的大小为_ 弧度；若点是上的一个动点，则当取得最大值时，_. 【答案】 (1). 2 (2). 0【解析】【分析】由弧长公式得：，可求圆心角的大小，由三角函数定义可建立以点O为坐标原点，OA所在直线为x轴的直角坐标系，易得：，结合两角和差的正弦公式则，进而即
8、可得解.【详解】由弧长公式得：，即所对的圆心角的大小为2弧度，由三角函数定义可建立以点O为坐标原点，OA所在直线为x轴的直角坐标系，易得：，设，则，则，又，所以，当即时，取得最大值，故答案为：2，0【点睛】本题考查了弧长公式及三角函数的定义及二倍角公式，两角和差的正弦公式，属中档题14.已知函数（）若函数没有零点，则实数的取值范围是_；（）称实数为函数的包容数，如果函数满足对任意，都存在，使得.在； ；中，函数的包容数是_（填出所有正确答案的序号）【答案】 (1).或 (2).【解析】【分析】考虑指数函数的值域和二次函数的单调性，即可得到所求范围；由题意可得的值域为的值域的子集，分别讨论五种情
9、况，由指数函数的单调性和二次函数的单调性，求得值域，即可判断【详解】函数，由时，无零点；若时，当时，无零点；当时，由，即，由时，递增，可得，由，可得，无零点；综上可得或；由题意可得的值域为的值域的子集，当时，由时，；由时，不满足题意；当时，由时，；由时，满足题意；当时，由时，；由时，满足题意；当时，由时，；由时，不满足题意；当时，由时，；由时，不满足题意综上可得函数的包容数是故答案为：或；【点睛】本题考查函数的零点问题和函数的任意性、存在性问题解法，注意运用转化思想和函数的单调性，考查化简运算能力，属于中档题三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数.（）求的最小正周期
10、；（）求的单调递增区间；（）在给定的坐标系中作出函数的简图，并直接写出函数在区间上的取值范围.【答案】（）（）函数的单调递增区间是：， （）见解析【解析】【分析】利用正弦函数的周期公式即可计算得解；利用正弦函数的单调性即可求解；利用五点作图法即可画出函数在一个周期内的图象，根据正弦函数的性质即可求解【详解】（）.（）由，得， . 所以函数的单调递增区间是：， .（）函数的简图如图所示.函数在区间上的取值范围是.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，考查了五点法作函数的图象，考查了数形结合思想的应用，属于中档题16.已知函数，存在不等于1的实数使得.（）求的值；（）判断函数在上的单调性，并
11、用单调性定义证明；（）直接写出与的大小关系.【答案】（）（）见证明；（）【解析】【分析】根据题意，分析可得，变形可得，分析可得b的值；根据题意，任取，由作差法分析可得答案；根据题意，对c的值分2种情况讨论，结合函数的单调性分析可得答案【详解】（）因为实数使得，所以 ，即.因为 ，所以 ，即. 经检验，满足题意，所以 .（）函数在上单调递增，证明如下： 任取， ，当时，. 所以 . 所以 ，即.所以 函数在上单调递增.（）当时，；当时，.【点睛】本题考查函数单调的判定以及应用，涉及函数解析式的计算，关键是求出b的值17.如图，在四边形中，且.（）用表示；（）点在线段上，且，求的值.【答案】（）
12、（）【解析】【分析】直线利用向量的线性运算即可以OA为坐标原点，OA所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系可得，即可【详解】（）因为 ，所以 .因为 ，所以 （）因为 ，所以 .因为 ，所以点共线.因为，所以.以为坐标原点，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 因为 ，所以 .所以 ，.因为 点在线段上，且，所以 所以 .因为 ，所以 .【点睛】本题考查了向量的线性运算，向量夹角的计算，属于中档题18.设函数定义域为，对于区间，如果存在，使得，则称区间为函数的区间.（）判断是否是函数的区间;（）若是函数（其中）的区间，求的取值范围;（）设为正实数，若是函数的区间，求的取值范围
13、.【答案】（）见证明；（） （）【解析】【分析】根据新定义，即可求出判断，根据新定义和对数函数的性质，即可求出a的取值范围，根据新定义和余弦函数的性质可得存在k，使得，再分类讨论即可求出的取值范围【详解】（）不是函数的区间，理由如下：因为 对，所以 . 所以 均有，即不存在，使得.所以不是函数的区间（）由是函数（其中）的区间，可知 存在，使得.所以 .因为 所以 ，即.又因为 且，所以 . （）因为 是函数的区间，所以 存在，使得.所以 所以 存在，使得不妨设. 又因为 ，所以 .所以 .即在区间内存在两个不同的偶数.当时，区间的长度，所以 区间内必存在两个相邻的偶数，故符合题意.当时，有，所
14、以 .（i）当时，有即.所以 也符合题意. （ii）当时，有即.所以 符合题意.（iii）当时，有即此式无解.综上所述，的取值范围是.【点睛】本题考查了抽象函数问题，以及指数函数、对数函数，余弦函数的性质，考查了运算求解能力，转化与化归思想，属于难题19.声音靠空气震动传播，靠耳膜震动被人感知.声音可以通过类似于图和图的波形曲线来描述，图和图是一位未成年女性和一位老年男性在说“我爱中国”四个字时的声波图，其中纵坐标表示音量（单位：50分贝），横坐标代表时间（单位：秒）.声音的音调由其频率所决定，未成年女性的发声频率大约为老年男性发声频率的2倍.下面的图和图依次为上面图和图中相同读音处的截取的局
15、部波形曲线，为了简便起见，在截取时局部音量和相位做了调整，使得二者音量相当，且横坐标从0开始.已知点位于图中波形曲线上.（）描述未成年女性声音的声波图是_；（填写或）（）请你选择适当的函数模型来模仿图中的波形曲线：_（函数模型中的参数取值保留小数点后2位）.【答案】 (1). (2). ，【解析】【分析】由题意可设未成年女性的发声周期大约为老年男性发声周期的一半，结合图和图，即可得到结论；由图可设，代入，结合图形，计算可得所求解析式【详解】未成年女性的发声频率大约为老年男性发声频率的2倍，即有未成年女性的发声周期大约为老年男性发声周期的一半，由图和图，可得图的周期为图周期的2倍，描述未成年女性声音的声波图为；由图可设，由，可得，由图可得，可得，故答案为：，【点睛】本题考查三角函数在实际问题中的应用，考查数形结合思想和待定系数法，考查运算能力，属于基础题