1、微型专题6机械能守恒定律的应用学习目标1.会判断系统机械能是否守恒问题.2.能灵活应用机械能守恒定律的三种表达形式.3.会分析多个物体组成系统的机械能守恒问题.4.会分析链条类物体的机械能守恒问题一、多物体组成的系统机械能守恒的判断判断系统机械能是否守恒，常根据能量转化情况进行判断：若只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变成其他形式的能(如没有内能增加)，则系统的机械能守恒例1(多选)如图1所示，斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止于水平面上，现将一小球从图示位置静止释放，不计一切摩擦，则在小球从释放到落至地面的过程中，下列说法正确的是()图1
2、A斜劈对小球的弹力不做功B斜劈与小球组成的系统机械能守恒C斜劈的机械能守恒D小球机械能的减少量等于斜劈动能的增加量答案BD解析小球有竖直方向的位移，所以斜劈对小球的弹力对球做负功，故A选项错误；小球对斜劈的弹力对斜劈做正功，所以斜劈的机械能增加，故C选项错误不计一切摩擦，小球下滑过程中，小球和斜劈组成的系统中只有动能和重力势能相互转化，系统机械能守恒，故B、D选项正确二、多物体组成的系统中机械能守恒定律的应用1多个物体组成的系统，就单个物体而言，机械能一般不守恒，但就系统而言机械能往往是守恒的2关联物体注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系3机械能守恒定律表达式的选取技巧(1)当研
3、究对象为单个物体时，可优先考虑应用表达式Ek1Ep1Ek2Ep2或EkEp来求解(2)当研究对象为两个物体组成的系统时：若两个物体的重力势能都在减小(或增加)，动能都在增加(或减小)，可优先考虑应用表达式EkEp来求解若A物体的机械能增加，B物体的机械能减少，可优先考虑用表达式EAEB来求解例2如图2所示，斜面的倾角30，另一边与地面垂直，高为H，斜面顶点上有一定滑轮，物块A和B的质量分别为m1和m2，通过轻而柔软的细绳连接并跨过定滑轮开始时两物块都位于与地面距离为H的位置上，释放两物块后，A沿斜面无摩擦地上滑，B沿斜面的竖直边下落若物块A恰好能达到斜面的顶点，试求m1和m2的比值滑轮的质量、
4、半径和摩擦以及空气阻力均可忽略不计图2答案12解析设B刚下落到地面时速度为v，由系统机械能守恒得：m2gm1gsin 30(m1m2)v2A以速度v上滑到顶点过程中机械能守恒，则：m1v2m1gsin 30，由得12.【考点】系统机械能守恒的应用【题点】机械能守恒定律在多物体问题中的应用机械能守恒定律的研究对象是几个相互作用的物体组成的系统时，在应用机械能守恒定律解决系统的运动状态的变化及能量的变化时，经常出现下面三种情况：(1)系统内两个物体直接接触或通过弹簧连接这类连接体问题应注意各物体间不同能量形式的转化关系(2)系统内两个物体通过轻绳连接如果和外界不存在摩擦力做功等问题时，只有机械能在
5、两物体之间相互转移，两物体组成的系统机械能守恒解决此类问题的关键是在绳的方向上两物体速度大小相等(3)系统内两个物体通过轻杆连接轻杆连接的两物体绕固定转轴转动时，两物体转动的角速度相等三、链条类物体的机械能守恒问题链条类物体机械能守恒问题的分析关键是分析重心位置，进而确定物体重力势能的变化，解题要注意两个问题：一是零势能面的选取；二是链条的每一段重心的位置变化和重力势能变化例3如图4所示，有一条长为L的均匀金属链条，一半长度在光滑斜面上，斜面倾角为，另一半长度沿竖直方向下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条滑动，求链条刚好全部滑出斜面时的速度是多大图4答案解析释放后的链条，竖直方向的一半向下运
6、动，放在斜面上的一半向上运动，由于竖直部分越来越多，所以链条做的是变加速运动，不能用一般运动学公式去解因为斜面光滑，所以机械能守恒，链条得到的动能应是由势能转化的，重力势能的变化可以用重心的位置确定设斜面最高点为零势能点，链条总质量为m，开始时左半部分的重力势能Ep1gsin ，右半部分的重力势能Ep2g，机械能E1Ep1Ep2gL(1sin )当链条刚好全部滑出斜面时，重力势能Epmg，动能Ekmv2，机械能E2EpEkLmv2.由机械能守恒得E1E2，所以(1sin )mv2，整理得v.【考点】系统机械能守恒的应用【题点】机械能守恒定律在链条类物体问题中的应用四、利用机械能守恒定律分析多过
7、程问题例4如图5所示，在竖直平面内有一固定光滑轨道，其中AB是长为R的水平直轨道，BCD是圆心为O、半径为R的圆弧轨道，两轨道相切于B点在外力作用下，一小球从A点由静止开始做匀加速直线运动，到达B点时撤去外力已知小球刚好能沿圆弧轨道经过最高点C，重力加速度大小为g，不计空气阻力求：图5(1)小球在AB段运动的加速度的大小；(2)小球从D点运动到A点所用的时间答案(1)g(2)()解析(1)小球在最高点C所受轨道的正压力为零设小球在C点的速度大小为vC，根据牛顿第二定律有mgm小球从B点运动到C点的过程中，机械能守恒，设小球在B点的速度大小为vB，则有mvB2mvC22mgR小球在AB段由静止开
8、始做匀加速直线运动，设加速度大小为a，由运动学公式得：vB22aR联立以上各式解得ag.(2)设小球运动到D点的速度大小为vD，下落到A点时的速度大小为v，根据机械能守恒定律，小球从B点运动到D点的过程，有mvB2mvD2mgR小球从B点运动到A点的过程，有mvB2mv2设小球从D点运动到A点所用的时间为t，根据运动学公式有gtvvD联立解得t().【考点】机械能守恒定律在多过程问题中的应用【题点】应用机械能守恒定律处理单体多过程问题机械能守恒定律多与其他知识相结合进行综合命题，一般为多过程问题，难度较大解答此类题目时一定要注意机械能守恒的条件，分析在哪个过程中机械能守恒，然后列式求解，不能盲
9、目应用机械能守恒定律.1(系统机械能守恒的判断)(多选)如图6所示，A和B两个小球固定在一根轻杆的两端，mBmA，此杆可绕穿过其中心的水平轴O无摩擦地转动现使轻杆从水平状态无初速度释放，发现杆绕O沿顺时针方向转动，则杆从释放起转动90的过程中(不计空气阻力)()图6AB球的动能增加，机械能增加BA球的重力势能和动能都增加CA球的重力势能和动能的增加量等于B球的重力势能的减少量DA球和B球的总机械能守恒答案BD解析A球运动的速度增大，高度增大，所以动能和重力势能都增大，故A球的机械能增加B球运动的速度增大，所以动能增大，高度减小，所以重力势能减小对于两球组成的系统，只有重力做功，系统的机械能守恒
10、，因为A球的机械能增加，故B球的机械能减少，故A球的重力势能和动能的增加量与B球的动能的增加量之和等于B球的重力势能的减少量，故A、C错误，B、D正确【考点】系统机械能守恒的应用【题点】机械能守恒定律在杆连接体问题中的应用2(杆机械能守恒问题)如图7所示，一均质杆长为r，从图示位置由静止开始沿光滑面ABD滑动，AB是半径为r的圆弧，BD为水平面则当杆全部滑到水平面上时的速度大小为()图7A. B.C. D2答案B解析虽然杆在下滑过程有转动发生，但初始位置静止，末状态匀速平动，整个过程无机械能损失，故有mv2mg，解得：v.【考点】系统机械能守恒的应用【题点】机械能守恒定律在杆连接体问题中的应用
11、3(绳连物体机械能守恒问题)如图8所示，一根很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑轻质定滑轮，轻绳两端各系一小球a和b，a球质量为m，静置于地面；b球质量为3m，用手托住，离地面高度为h，此时轻绳刚好拉紧，从静止开始释放b后，a可能达到的最大高度为(b球落地后不反弹，不计空气阻力)()图8Ah B1.5hC2h D2.5h答案B解析释放b后，在b到达地面之前，a向上加速运动，b向下加速运动，a、b系统的机械能守恒，设b落地瞬间速度为v，取地面所在平面为参考平面，则3mghmghmv2(3m)v2，可得v.b落地后，a向上以速度v做竖直上抛运动，能够继续上升的高度h.所以a能达到的最大高度为1.5h
12、，B正确【考点】系统机械能守恒的应用【题点】机械能守恒定律在绳连接体问题中的应用一、选择题考点一机械能守恒条件的判断1.(多选)如图1所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一固定的竖直墙壁(不与槽粘连)现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落，从A点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是()图1A小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功B小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球的机械能守恒C小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统机械能守恒D小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中，机械能守恒答案BC【考点】机械能守恒
13、条件的判断【题点】多物体系统的机械能守恒的判断2.(多选)如图2所示，光滑细杆AB、AC在A点连接，AB竖直放置，AC水平放置，两相同的中心有小孔的小球M、N，分别套在AB和AC上，并用一不可伸长的细绳相连，细绳恰好被拉直，现由静止释放M、N，在N球碰到A点前的运动过程中下列说法中正确的是()图2AM球的机械能守恒BM球的机械能减小CM和N组成的系统的机械能守恒D绳的拉力对N做负功答案BC解析因M下落的过程中细绳的拉力对M球做负功，对N球做正功，故M球的机械能减小，N球的机械能增加，但M和N组成的系统的机械能守恒，B、C正确，A、D错误【考点】机械能守恒条件的判断【题点】多物体系统的机械能守恒
14、的判断考点二机械能守恒的应用3(多选)内壁光滑的环形凹槽半径为R，固定在竖直平面内，一根长度为R的轻杆，一端固定有质量为m的小球甲，另一端固定有质量为2m的小球乙现将两小球放入凹槽内，小球乙位于凹槽的最低点，如图3所示，由静止释放后()图3A下滑过程中甲球减少的机械能总是等于乙球增加的机械能B下滑过程中甲球减少的重力势能总是等于乙球增加的重力势能C甲球可沿凹槽下滑到槽的最低点D杆从右向左滑回时，乙球一定能回到凹槽的最低点答案AD解析环形凹槽光滑，甲、乙组成的系统在运动过程中只有重力做功，故系统机械能守恒，下滑过程中甲减少的机械能总是等于乙增加的机械能，甲、乙系统减少的重力势能等于系统增加的动能
15、；甲减少的重力势能等于乙增加的势能与甲、乙增加的动能之和；由于乙的质量较大，系统的重心偏向乙一端，由机械能守恒，知甲不可能滑到凹槽的最低点，杆从右向左滑回时乙一定会回到凹槽的最低点【考点】系统机械能守恒的应用【题点】机械能守恒定律在多物体问题中的应用4.如图4所示，物体A、B通过细绳及轻质弹簧连接在光滑轻质定滑轮两侧，物体A、B的质量都为m.开始时细绳伸直，用手托着物体A使弹簧处于原长且A与地面的距离为h，物体B静止在地面上放手后物体A下落，与地面即将接触时速度大小为v，此时物体B对地面恰好无压力，不计空气阻力，则下列说法正确的是()图4A弹簧的劲度系数为B此时弹簧的弹性势能等于mghmv2C
16、此时物体B的速度大小也为vD此时物体A的加速度大小为g，方向竖直向上答案A解析由题意可知，此时弹簧所受的拉力大小等于B的重力，即Fmg，弹簧伸长的长度为xh，由Fkx得k，故A正确；A与弹簧组成的系统机械能守恒，则有mghmv2Ep，则弹簧的弹性势能Epmghmv2，故B错误；物体B对地面恰好无压力时，B的速度为零，故C错误；根据牛顿第二定律对A有Fmgma，Fmg，得a0，故D错误【考点】系统机械能守恒的应用【题点】机械能守恒定律在弹簧类问题中的应用5.如图5所示，质量分别为m和3m的小球A和B可视为质点，系在长为L的细线两端，桌面水平光滑，高为h(hL)A球无初速度地从桌面滑下，落在沙地上
17、静止不动，不计空气阻力，则B球离开桌面的速度为()图5A. B. C. D. 答案A解析由hL，当小球A刚落地时，由机械能守恒得mgh(m3m)v2，解得v，B球以此速离开桌面，选项A正确【考点】系统机械能守恒的应用【题点】机械能守恒定律在绳连接体问题中的应用6.如图6所示，B物体的质量是A物体质量的，在不计摩擦及空气阻力的情况下，A物体自H高处由静止开始下落以地面为参考平面，当物体A的动能与其重力势能相等时，物体A距地面的高度为(B物体与光滑轻质定滑轮的距离足够远)()图6A.H B.HC.H D.H答案B解析设A的质量mA2m，B的质量mBm.物体A的动能等于其重力势能时，A离地面的高度为
18、h，A和B的共同速率为v，在运动过程中，A、B系统的机械能守恒，有2mg(Hh)2mv2mv2，又2mv22mgh，联立解得hH，故选项B正确【考点】系统机械能守恒的应用【题点】机械能守恒定律在绳连接体问题中的应用7.如图7所示的滑轮光滑轻质，不计一切阻力，M12 kg，M21 kg，M1离地高度为H0.5 m，取g10 m/s2.M1与M2从静止开始释放，M1由静止下落0.3 m时的速度为()图7A. m/s B3 m/sC2 m/s D1 m/s答案A解析对系统运用机械能守恒定律得(M1M2)gh(M1M2)v2，代入数据解得v m/s，故A正确，B、C、D错误【考点】系统机械能守恒的应用
19、【题点】机械能守恒定律在绳连接体问题中的应用8(多选)如图8所示，a、b两物块质量分别为m、3m，用不计质量的细绳相连接，悬挂在定滑轮的两侧开始时，a、b两物块距离地面高度相同，用手托住物块b，然后由静止释放，直至a、b物块间高度差为h，不计滑轮质量和一切阻力，重力加速度为g.在此过程中，下列说法正确的是()图8A物块a的机械能守恒B物块b的机械能减少了mghC物块b机械能的减少量等于物块a机械能的增加量D物块a、b与地球组成的系统机械能守恒答案CD解析释放b后物块a加速上升，动能和重力势能均增加，故机械能增加，选项A错误对物块a、b与地球组成的系统，机械能守恒，选项D正确物块a、b构成的系统
20、机械能守恒，有(3m)gmgmv2(3m)v2，解得v，物块b动能增加量为(3m)v2mgh，重力势能减少mgh，故机械能减少mghmghmgh，选项B错误由于绳的拉力对a做的功与b克服绳的拉力做的功相等，故物块b机械能的减少量等于物块a机械能的增加量，选项C正确【考点】系统机械能守恒的应用【题点】机械能守恒定律在绳连接体问题中的应用9.如图9所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的圆环，圆环与竖直放置的轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A点，弹簧处于原长时，圆环高度为h.让圆环沿杆滑下，滑到杆的底端时速度为零则在圆环下滑到底端的过程中(杆与水平方向夹角为30)()图9A圆环机械能
21、守恒B弹簧的弹性势能先减小后增大C弹簧的弹性势能变化了mghD弹簧与光滑杆垂直时圆环动能最大答案C解析圆环与弹簧构成的系统机械能守恒，但圆环机械能不守恒，A错误；弹簧形变量先增大后减小然后再增大，所以弹性势能先增大后减小再增大，B错误；由于圆环与弹簧构成的系统机械能守恒，圆环的机械能减少了mgh，所以弹簧的弹性势能增加mgh，C正确；弹簧与光滑杆垂直时，圆环所受合力沿杆向下，圆环具有与速度同向的加速度，所以做加速运动，D错误【考点】系统机械能守恒的应用【题点】机械能守恒定律在弹簧类问题中的应用二、非选择题10.(机械能守恒的应用)素有“陆地冲浪”之称的滑板运动已深受广大青少年喜爱如图10所示是
22、由足够长的斜直轨道，半径R12 m的凹形圆弧轨道和半径R23.6 m的凸形圆弧轨道三部分组成的模拟滑板组合轨道这三部分轨道依次平滑连接，且处于同一竖直平面内其中M点为凹形圆弧轨道的最低点，N点为凸形圆弧轨道的最高点，凸形圆弧轨道的圆心O与M点在同一水平面上，一可视为质点、质量为m1 kg的滑板从斜直轨道上的P点无初速度滑下，经M点滑向N点，P点距水平面的高度h3.2 m，不计一切阻力，g取10 m/s2.求：图10(1)滑板滑至M点时的速度大小；(2)滑板滑至M点时，轨道对滑板的支持力大小；(3)若滑板滑至N点时对轨道恰好无压力，求滑板的下滑点P距水平面的高度答案(1)8 m/s(2)42 N
23、(3)5.4 m解析(1)对滑板由P点滑至M点，由机械能守恒得mghmvM2，得：vM8 m/s.(2)对滑板滑至M点时受力分析，由牛顿第二定律得Nmgm，得：N42 N.(3)滑板滑至N点时对轨道恰好无压力，则有mgm，则vN6 m/s滑板从P点到N点机械能守恒，则有mghmgR2mvN2，解得h5.4 m.【考点】机械能守恒定律在多过程问题中的应用【题点】应用机械能守恒定律处理单体多过程问题11.(机械能守恒的应用)如图11所示，质量分别为3 kg和5 kg的物体A、B，用足够长轻绳连接跨在一个光滑轻质定滑轮两侧，轻绳正好拉直，且A物体底面与地接触，B物体距地面0.8 m，不计空气阻力，求
24、：(g取10 m/s2)图11(1)放开B物体，当B物体着地时A物体的速度大小；(2)B物体着地后(不反弹)A物体还能上升多高答案(1)2 m/s(2)0.2 m解析(1)解法一根据E1E2对A、B组成的系统，在B着地前系统机械能守恒，以地面为参考平面，则mBghmAgh(mAmB)v2则v代入数据解得v2 m/s解法二根据Ep减Ek增得mBghmAgh(mAmB)v2，代入数据解得v2 m/s解法三根据EB减EA增得mBghmBv2mAghmAv2代入数据解得v2 m/s(2)当B落地后，A以2 m/s的速度竖直上抛，设A还能上升的高度为h，由机械能守恒定律可得mAghmAv2解得h0.2
25、m.【考点】系统机械能守恒的应用【题点】机械能守恒定律在绳连接体问题中的应用12(机械能守恒的应用)如图12所示，半径为R的光滑半圆弧轨道与高为10R的光滑斜轨道放在同一竖直平面内，两轨道之间由一条光滑水平轨道CD相连，水平轨道与斜轨道间有一段圆弧过渡在水平轨道上，轻质弹簧被a、b两小球挤压但不与球连接，处于静止状态同时释放两个小球，a球恰好能通过圆弧轨道的最高点A，b球恰好能到达斜轨道的最高点B.已知a球质量为m1，b球质量为m2，重力加速度为g.求：图12(1)a球离开弹簧时的速度大小va；(2)b球离开弹簧时的速度大小vb；(3)释放小球前弹簧的弹性势能Ep.答案(1)(2)2(3)(m110m2)gR解析(1)由a球恰好能到达A点知：m1gm1 由机械能守恒定律得：m1va2m1vA2m1g2R解得va.(2)对于b球由机械能守恒定律得：m2vb2m2g10R解得vb2.(3)由机械能守恒定律得：Epm1va2m2vb2解得Ep(m110m2)gR.【考点】机械能守恒定律在多过程问题中的应用【题点】应用机械能守恒定律处理多体多过程问题